een hoogleraar wil de scores van haar studenten vergelijken met het nationale gemiddelde. Ze kiest een simple random sample (SRS) van 20 studenten, die gemiddeld 50,2 scoren op een gestandaardiseerde test. Hun scores hebben een standaarddeviatie van 2,5. Het nationale gemiddelde van de test is 60. Ze wil weten of haar studenten beduidend lager scoorden dan het landelijk gemiddelde.
Significantietesten volgen een procedure in verschillende stappen.
stap 1dit
geef eerst het probleem aan in termen van een verdeling en identificeer de relevante parameters. Noem het monster. We gaan ervan uit dat de scores (X) van de studenten in de klas van de professor ongeveer normaal verdeeld zijn met onbekende parameters μ En σ
stap 2Edit
geven de hypothesen in symbolen en woorden.
H o: μ = 60 {\displaystyle H_{O}: \ quad \ mu =60}
de nulhypothese is dat haar studenten op gelijke voet scoorden met het nationale gemiddelde.
H A : μ < 60 {\displaystyle H_{a}: \ quad \ mu <60}
de alternatieve hypothese is dat haar studenten lager scoorden dan het nationale gemiddelde.
stap 3Edit
ten tweede, identificeer de te gebruiken test. Aangezien we een SRS van kleine omvang hebben en de standaardafwijking van de populatie niet kennen, zullen we een T-test met één monster gebruiken.
de formule voor de T-statistiek T voor een test met één monster is als volgt:
T = X − 60 S / 20 {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{S/{\sqrt {20}}}}}
waar X {\displaystyle {\overline {X}}}
is het steekproefgemiddelde en de S is de standaarddeviatie van de steekproef.
een veel voorkomende fout is te zeggen dat de formule voor de T-teststatistiek:
T = x-μ s / n {\displaystyle T = {\frac {{\overline {x}} – \mu }{s / {\sqrt {n}}}}}
dit is geen statistiek, omdat μ onbekend is, wat het cruciale punt is in zo ‘ n probleem. De meeste mensen merken het zelfs niet. Een ander probleem met deze formule is het gebruik van x en s. zij moeten worden beschouwd als de steekproefstatistieken en niet hun waarden.
de juiste algemene formule is:
T = X-c S / n {\displaystyle T = {\frac {{\overline {X}} – c}{S / {\sqrt {n}}}}}
waarin c de hypothetische waarde voor μ is die door de nulhypothese wordt gespecificeerd.
(de standaardafwijking van het monster gedeeld door de vierkantswortel van de steekproefgrootte wordt de “standaardfout” van het monster genoemd.)
stap 4Edit
Geef de verdeling van de teststatistiek onder de nulhypothese. Onder H0 volgt de statistiek T de verdeling van een Student met 19 vrijheidsgraden: t τ τ ⋅ ( 20 − 1) {\displaystyle T\sim \ tau \ cdot (20-1)}
.
stap 5Edit
Bereken de waargenomen waarde t van de teststatistiek T door de waarden als volgt in te voeren:
t = x-60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-60}{s / {\sqrt {20}}}} = {\frac {50.2-60.0}{2.5/{\sqrt {20}}}} = {\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\frac {-9.8}{0.559}}=-17.5}
Stap 6Edit
het Bepalen van de zogenaamde p-waarde van de waarde van t van de test statistiek T. We verwerpen de nulhypothese voor te kleine waarden van T, dus we berekenen de linker p-value:
p-waarde = P ( T ≤ t ; H 0 ) = P ( T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\displaystyle =P(T\leq t;H_{0})=P(T(19)\leq -17.5)\ca 0}
de verdeling van de Student geeft T ( 19) = 1,729 {\displaystyle T(19)=1.729}
met kansen 0,95 en vrijheidsgraden 19. De p-waarde wordt geschat op 1,777 e-13.
stap 7Edit
ten slotte, interpreteer de resultaten in de context van het probleem. De p-waarde geeft aan dat de resultaten vrijwel zeker niet toevallig zijn gebeurd en we hebben voldoende bewijs om de nulhypothese te verwerpen. De studenten van de professor scoorden beduidend lager dan het nationale gemiddelde.