transformaties in driedimensionsedit
in driedimensionale ruimte heeft een stijve transformatie zes vrijheidsgraden, drie vertalingen langs de drie coördinaatassen en drie uit de rotatiegroep SO(3). Vaak worden deze transformaties afzonderlijk behandeld omdat ze zeer verschillende geometrische structuren hebben, maar er zijn manieren om ermee om te gaan die ze behandelen als een enkel zesdimensionaal object.
schroeftheoriedit
in de schroeftheorie worden hoek-en lineaire snelheid gecombineerd tot één zesdimensionaal object, een twist genaamd. Een soortgelijk object, een moersleutel, combineert krachten en draaimomenten in zes dimensies. Deze kunnen als zesdimensionale vectoren worden behandeld die lineair bij het veranderen van referentiekader veranderen. Vertalingen en rotaties kunnen niet op deze manier worden gedaan, maar zijn gerelateerd aan een twist door exponentiatie.
Fasespacedit
Faseportret van de Van der Pol oscillator
faseruimte is een ruimte die bestaat uit de positie en het momentum van een deeltje, dat samen in een fasediagram kan worden uitgezet om de relatie tussen de grootheden te benadrukken. Een algemeen deeltje dat zich in drie dimensies beweegt heeft een faseruimte met zes dimensies, te veel om te plotten, maar ze kunnen wiskundig worden geanalyseerd.
rotaties in vier dimensies edit
De rotatiegroep in vier dimensies, dus(4), heeft zes vrijheidsgraden. Dit kan worden gezien door de 4 × 4 matrix te beschouwen die een rotatie voorstelt: omdat het een orthogonale matrix is, wordt de matrix bepaald, tot een verandering in teken, door bijvoorbeeld de zes elementen boven de hoofddiagonaal. Maar deze groep is niet lineair, en het heeft een complexere structuur dan andere toepassingen tot nu toe gezien.
een andere manier om naar deze groep te kijken is met quaternionvermenigvuldiging. Elke rotatie in vier dimensies kan worden bereikt door te vermenigvuldigen met een paar eenheidsquaternionen, één voor en één na de vector. Deze quaternion zijn uniek, tot een verandering in teken voor beide, en genereren alle rotaties wanneer deze manier gebruikt, dus het product van hun groepen, S3 × S3, is een dubbele dekking van SO (4), die zes dimensies moet hebben.
hoewel de ruimte waarin we leven als driedimensionaal wordt beschouwd, zijn er praktische toepassingen voor de vierdimensionale ruimte. Quaternionen, een van de manieren om rotaties in drie dimensies te beschrijven, bestaan uit een vierdimensionale ruimte. Rotaties tussen quaternionen, bijvoorbeeld voor interpolatie, vinden plaats in vier dimensies. Ruimtetijd, die drie ruimtedimensies heeft en een tijddimensie is ook vierdimensionaal, maar met een andere structuur dan de Euclidische ruimte.Elektromagnetisme
bij het elektromagnetisme wordt het elektromagnetisch veld over het algemeen beschouwd als zijnde gemaakt van twee dingen, het elektrische veld en het magnetische veld. Ze zijn beide driedimensionale vectorvelden, met elkaar verbonden door Maxwell ‘ s vergelijkingen. Een tweede benadering is om ze te combineren in een enkel object, de zesdimensionale elektromagnetische tensor, een tensor of bivector gewaardeerde weergave van het elektromagnetische veld. Met behulp van deze Maxwell vergelijkingen kunnen worden gecondenseerd van vier vergelijkingen in een bijzonder compacte enkele vergelijking:
∂ F = J {\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}
waar F de bivectorvorm van de elektromagnetische tensor is, J de Vierstroom is en ∂ een geschikte differentiaaloperator is.
Snaartheoriedit
in de natuurkunde is de snaartheorie een poging om de algemene relativiteit en de kwantummechanica te beschrijven met één enkel wiskundig model. Hoewel het een poging is om ons universum te modelleren, vindt het plaats in een ruimte met meer dimensies dan de vier ruimtetijd die we kennen. In het bijzonder een aantal snaartheorieën vinden plaats in een tiendimensionale ruimte, die een extra zes dimensies toevoegt. Deze extra dimensies zijn vereist door de theorie, maar omdat ze niet kunnen worden waargenomen, wordt gedacht dat ze heel anders zijn, misschien compactificeerd om een zesdimensionale ruimte te vormen met een bepaalde geometrie te klein om waarneembaar te zijn.Sinds 1997 is een andere snaartheorie aan het licht gekomen die in zes dimensies werkt. Kleine snaartheorieën zijn niet-gravitationele snaartheorieën in vijf en zes dimensies die ontstaan bij het overwegen van grenzen van de tiendimensionale snaartheorie.