końcowy wynik eksperymentu chemicznego, taki jak wartość ΔH dla konkretnej reakcji lub średnia kilku molarności uzyskanych z miareczkowania kwasowo-zasadowego, jest często obliczany na podstawie kilku różnych zmierzonych wartości. Niepewność wyniku zależy od niepewności każdego z poszczególnych pomiarów. Załóżmy na przykład, że można znaleźć gęstość (masa/objętość) kawałka metalu, ważąc go na wadze analitycznej (niepewność masy ± 0.0001 g) i określić jego objętość przez wodę, którą przemieszcza się w cylindrze miarowym (niepewność objętości ± 0,5 mL). Błąd lub niepewność w obliczonej gęstości musi zawierać błędy z obu pomiarów i dlatego musimy nauczyć się sumować nasze błędy razem poprzez obliczenia, aby móc zgłosić naszą ostateczną odpowiedź z rozsądną wartością niepewności / błędu. Analiza niepewności (znana również jako propagacja błędów) to proces obliczania niepewności wartości, która została obliczona z kilku mierzonych wielkości. Analiza niepewności rządzi się kilkoma prostymi zasadami. Przedstawimy zasady bez ich pochodnych opartych na rachunku różniczkowym. Kilka problemów praktycznych podano na końcu tej sekcji. Zanim zaczniesz, zapoznaj się z podsumowaniem istotnych liczb w załącznikach do podręcznika laboratoryjnego.
niepewność (znana również jako błąd)
niepewność jest również znana jako „błąd.”Każda zmierzona lub obliczona wartość ma pewną niepewność w zgłoszonej wartości. Nie dotyczy to błędów, ale raczej nieuniknionych błędów ze względu na charakter eksperymentu. Na przykład, jeśli mierzysz szerokość winogrona za pomocą miarki, możesz zgłosić wartość 12,3 mm, ale na pewno w tej ostatniej cyfrze pojawiłby się błąd. Korzystając ze znaczników na linijce, oszacowano ostatnią wartość pomiaru, dlatego ostatnia cyfra w dowolnym pomiarze ma niepewność.
wszystkie niepewności są zgłaszane do 1 znaczącej liczby. Wartość zgłoszoną należy następnie zaokrąglić do tej samej cyfry, co niepewność. Jeśli znasz niepewność, istotne liczby zgłaszanej wartości powinny być określone przez niepewność, a nie przez standardowe reguły sig fig.
ważne jest również, aby podczas obliczeń niepewności używać kilku znaczących liczb, aby uzyskać dokładną reprezentację ogólnej niepewności. Jeśli wykonujesz serię obliczeń, zachowaj wszystkie cyfry w swoich obliczeniach, dopóki nie wykonasz wszystkich obliczeń. Tylko zaokrąglić swoją „ostateczną niepewność” do jednej znaczącej liczby.
zgłoś wszystkie końcowe obliczone odpowiedzi z zaokrągloną niepewnością bezwzględną, a nie niepewnością względną.
są dwa sposoby reprezentowania niepewności:
- niepewność bezwzględna (ang. Absolute uncertainty, AU) – miara niepewności o takich samych jednostkach jak podana wartość. Na przykład szerokość winogron wynosi 12,3 ± 0,2 mm, gdzie 0,2 mm to AU.
- niepewność względna (RU) reprezentuje AU jako ułamek (lub procent). Uwaga: użyj frakcji podczas obliczeń.
na przykład 0,2 mm/12,3 mm = 0,02 (2%). Szerokość winogron wynosi 12,3 mm ± 0,02, gdzie 0.02 (2%) to RU.
niepewność bezwzględna (AU)
zmierzona ilość jest często podawana z niepewnością. Niepewność bezwzględna to niepewność podana w tych samych jednostkach co pomiar:
meas = (23,27 ± 0,01) g
gdzie 0,01 g jest niepewnością bezwzględną.
istnieją dwa główne elementy absolutnej niepewności: dokładność i precyzja.
dokładność (Błąd systematyczny)
Błąd systematyczny jest czasami zgłaszany dla określonych instrumentów. Na przykład sondy temperaturowe Vernier twierdzą, że dokładność mieści się w granicach 0,03 º C. Oznacza to, że może wystąpić systematyczny Błąd do 0,03 º C dla każdej określonej sondy temperaturowej. Podobnie wagi analityczne są dokładne z dokładnością do 0,0001 g.
precyzja (błąd odtwarzalności)
błąd odtwarzalności określa się przede wszystkim na dwa różne sposoby:
- umiejętność czytania instrumentu. Na przykład za pomocą linijki podzielonej na cm można określić, że drut ma od 9,2 do 9,6 cm długości. To może być napisane 9,4 ± 0,2 cm. Szacując swoją zdolność czytania linijki, możesz oszacować absolutną niepewność. W tym przypadku błąd odtwarzalności wynosi ± 0,2 cm. Alternatywnie, jeśli używasz wagi analitycznej, a dziesięciotysięczna cyfra waha się między 1 a 5, błąd odtwarzalności wyniesie ± 0,0002 g.
- wiele pomiarów. Jeżeli uśredniono kilka pomiarów, błąd odtwarzalności można przybliżyć przez odchylenie standardowe pomiarów.
w większości przypadków będziemy mieli do czynienia tylko z niepewnością odtwarzalności. Jeśli jednak znamy oba, AU jest obliczane:
AU = Błąd systematyczny + niepewność odtwarzalności
w przypadku wagi analitycznej, o której mowa powyżej:
AU = 0, 0001 g + 0, 0002 G = 0, 0003 G
uwagi:
- AUs są wartościami dodatnimi z jedną znaczącą liczbą.
- AUs mają jednostki, jeśli powiązana wartość ma jednostki.
niepewność względna (RU)
niepewność względna jest wartością ułamkową. Jeśli mierzysz ołówek na 10 cm ± 1 cm, względna niepewność wynosi jedną dziesiątą jego długości (RU = 0,1 lub 10%). RU jest po prostu niepewnością bezwzględną podzieloną przez zmierzoną wartość. Jest ona podawana jako ułamek (lub procent):
dla przykładu podanego pod AU:
meas = (23, 27 ± 0, 01) G
AU = 0, 01 G
uwagi:
- RU są zwykle zgłaszane jako ułamki bez jednostek, ale jak w przypadku każdej frakcji, jest to również procent.
- RUs nie ma jednostek.
- RU × „meas” = AU jeśli kiedykolwiek chcesz przekonwertować z RU z powrotem na AU.
- jeśli poproszono o zgłoszenie RU, proszę zaokrąglić go do jednej znaczącej liczby, tak jak to robisz z AU.
propagacja niepewności
wykonując obliczenia na liczbach, których niepewność jest znana, możesz określić niepewność w obliczonej odpowiedzi za pomocą dwóch prostych zasad. Jest to znane jako propagacja niepewności. Zasady propagacji niepewności są bardzo różne dla operacji dodawania/odejmowania w porównaniu do operacji mnożenia / dzielenia. Zasady te nie są wymienne. Przedstawione tutaj zasady określają maksymalną możliwą niepewność.
- dodawanie i odejmowanie: Zawsze używaj AUs.
przy obliczaniu niepewności dla sumy lub różnicy mierzonych wartości, AU obliczonej wartości jest pierwiastkiem kwadratowym sumy kwadratów bezwzględnej niepewności poszczególnych terminów.
przykład:
w lab dodałeś dwa tomy (A + B) a potem odjąłeś jakąś objętość (C), jaka byłaby twoja ostateczna objętość zgłoszona (V) i jest AU:V = A + B-C
A = 19 ml ± 4 ml
B = 28, 7 mL ± 0, 3 mL
C = 11, 89 mL ± 0, 08 mL
S = A + B-C = 47, 7 mL − 11, 89 mL = 35, 81 mL
AUs = 4.092 mL
ostateczna odpowiedź: s = 36ml ± 4ml
uwagi:
- AU zaokrągla się do jednego sig fig, a odpowiedź końcową zaokrągla się do miejsca dziesiętnego AU.
- RU można obliczyć za pomocą równania RU = AU/|value|.
- nawet jeśli odejmujesz zmierzone wartości, pamiętaj, aby dodać AUs.
przykład: (podkreślenia są używane do wskazania cyfr znaczących)
Oblicz qtotal i związane z nim wartości AU i RU, używając równania:
qtotal = – (qsolution + qcal)
gdzie qsolution i qcal są wartościami mierzonymi:
qsolution = 1450 ± 2×101 j
qcal = 320 ± 5×101 J
rozwiązanie:
- Oblicz qtotal, ignorując niepewność:
- AU dla qtotal:
AU = 53.85 J
- Oblicz niepewność względną z niepewności bezwzględnej:
- Zgłoś swoją ostateczną odpowiedź na prawidłową liczbę znaczących liczb na podstawie UA:
qtotal = – (1450 + 320) J = -1770 J
RUqtotal = AU/|(qtotal)| = 53.85 J/|−1770J| = 0.0304 (3.04%)
qtotal = -1,77×103J ± 5×101J
Uwaga: ostateczna zgłoszona RU = 0,03 (lub 3%), jednak ta odpowiedź rzadko będzie zgłaszana, ponieważ zawsze zgłaszasz ostateczną niepewność jako AU, a nie RU.
- mnożenie i dzielenie: zawsze dodawać RUs, nigdy AUs.
przy obliczaniu niepewności dla produktu lub stosunku mierzonych wartości, RU obliczonej wartości jest pierwiastkiem kwadratowym sumy kwadratów względnej niepewności poszczególnych terminów.
M = A × B
(Uwaga: M × RUM = AUM, które jest potrzebne przy zgłaszaniu ostatecznej odpowiedzi i ostatecznej AU.
przykład:
a = 36ml ± 4ml
B = 28g/mL ± 2G/mL
M = A × B = 36ml × 28g/mL = 1008.000g (podczas obliczeń Zawsze używaj wartości bez zaokrąglenia)
RUM = 0,132
aby zgłosić ostateczną niepewność dla tego obliczenia, musisz przekonwertować RU NA AU dla ostatecznej odpowiedzi, a następnie po zaokrągleniu AU do jednej znaczącej liczby, zaokrąglić odpowiedź do miejsca dziesiętnego AU:
AUM = = 0,132 × 1008.0 g = 133g –> zaokrąglone do 1 sig fig: 1×102g
ostateczna zgłoszona odpowiedź: 1,0×103g ± 1×102g
uwagi:
- AUA×B ≠ AUA + AUB.
- AU zawsze można obliczyć za pomocą równania AU = RU × |value|.
- pamiętaj, aby obliczyć RU za pomocą nieobciążonych wartości AU.
przykład:
Oblicz qcal i jego AU, używając równania:
qcal = CΔT
gdzie C i ΔT są zmierzonymi wartościami:
C = (54 ± 7) J/°C
ΔT = 6,0 ± 0,1 °C
rozwiązanie:
- Oblicz qcal, ignorując niepewność:
- Określ względną niepewność:
- Oblicz całkowity RU dla qcal za pomocą pierwiastka kwadratowego sumy kwadratów wzoru:
RUqcal = 0.131
- Oblicz niepewność bezwzględną na podstawie niepewności względnej:
- zgłoś końcową odpowiedź zaokrąglając AU do jednej znaczącej liczby, a odpowiedź do miejsca po przecinku AU:
qcal = (54 J/°C) × (6,0 °C) = 324 J
RUC = (7J/°C) / (54J/°C) = 0,1296
RUΔT = (0,1°C) / (6,0°C) = 0,0167
AUqcal = ru × |qcal| = 0,131 × 324 J = 42,4 J
qcal = 3,2 × 102J ± 4 × 101J
Uwaga końcowa: podczas łączenia operacji, takich jak dodawanie i mnożenie w tym samym obliczeniu, należy postępować zgodnie ze standardową kolejnością operacji wykorzystujących wartości bez zaokrąglenia w trakcie obliczeń, aż do uzyskania „ostatecznej odpowiedzi.”W tym momencie użyjesz końcowego AU zaokrąglonego do jednej znaczącej liczby, aby zaokrąglić swoją „ostateczną odpowiedź” do miejsca po przecinku twojego AU.