do ważnych wyników analizy funkcjonalnej należą:
zasada jednorodnościedytuj
zasada jednorodności lub twierdzenie Banacha–Steinhausa jest jednym z podstawowych wyników analizy funkcjonalnej. Wraz z twierdzeniem Hahna-Banacha i otwartym twierdzeniem mapowania jest uważane za jeden z kamieni węgielnych pola. W swojej podstawowej postaci twierdzi, że dla rodziny ciągłych operatorów liniowych (a więc operatorów ograniczonych), których dziedziną jest przestrzeń Banacha, granica punktowa jest równoważna granicy jednorodnej w normie operatora.
twierdzenie zostało po raz pierwszy opublikowane w 1927 roku przez Stefana Banacha i Hugo Steinhausa, ale zostało również udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna.
Twierdzenie (Zasada Jednorodności). Niech X będzie przestrzenią Banacha, A Y będzie przestrzenią wektorową. Załóżmy, że F jest zbiorem ciągłych operatorów liniowych od X do Y. Jeśli dla wszystkich x W X Jeden ma
sup T ∈ F ‖ T(x) Y Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(X)\|_{Y}<\infty ,}
następnie
sup T ∈ F ‖ T ‖ B (X , Y ) <∞. {\displaystyle \ sup \nolimits _{t \ in F}\ / T\/ _ {B (X,Y)}< \ infty .}
twierdzenie Spektralneedytuj
istnieje wiele twierdzeń znanych jako twierdzenie spektralne, ale jedno w szczególności ma wiele zastosowań w analizie funkcjonalnej.
twierdzenie: Niech a będzie ograniczonym operatorem samoaddytywnym na przestrzeni Hilberta H. wtedy istnieje przestrzeń miary (X, Σ, μ) i rzeczywista zasadniczo ograniczona funkcja wymierna f na X oraz operator unitarny U:H → L2µ(X) taki, że
U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=a\;}
gdzie T jest operatorem mnożenia:
(x ) = F ( X ) φ (x ) . {\displaystyle (x)=f (x)\varphi (x).\;}
i ‖ T ‖ = f F ∞ ∞ {\displaystyle \ / T\/ = \ / f\ / _{\infty }}
jest to początek rozległego obszaru badawczego analizy funkcjonalnej zwanego teorią operatorów; Zobacz też miara spektralna.
istnieje również analogiczne twierdzenie widmowe dla ograniczonych operatorów normalnych na przestrzeniach Hilberta. Jedyną różnicą we wniosku jest to, że teraz f {\displaystyle f}
mogą być złożone.
twierdzenie Hahna–Banacha
twierdzenie Hahna-Banacha jest centralnym narzędziem w analizie funkcjonalnej. Pozwala na rozszerzenie ograniczonych funkcji liniowych zdefiniowanych na podprzestrzeni pewnej przestrzeni wektorowej na całą przestrzeń, a także pokazuje, że istnieje” wystarczająco „ciągłych funkcji liniowych zdefiniowanych na każdej znormalizowanej przestrzeni wektorowej, aby badanie przestrzeni dualnej było „interesujące”.
twierdzenie Hahna–Banacha: Jeśli p : V → R jest funkcją podliniową, a φ : U → R jest funkcją liniową na podprzestrzeni liniowej U ⊆ V, która jest zdominowana przez p na U, tzn.
φ ( x ) ≤ p ( X ) ∀ x ∈ w U {\właściwości wyświetlania stylu wartość \varphi (x)\leq i p(x)\qquad \forall X\U}
wtedy istnieje liniowe rozszerzenie ψ : V → R, φ dla całej przestrzeni V, czyli istnieje liniowa funkcje ψ taka, że
ψ ( x ) = φ ( X) ∀ X ∈ U , {\właściwości wyświetlania stylu wartość \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall X\U,}
ψ ( x ) ≤ p ( X ) ∀ x ∈ V w . {\displaystyle \psi (x) \ leq p (x) \ qquad \ forall x\in V.
twierdzenie o otwartym mapowaniu edytuj
twierdzenie o otwartym mapowaniu, znane również jako twierdzenie Banacha–Schaudera (nazwane na cześć Stefana Banacha i Juliusza Schaudera), jest wynik fundamentalny, który stwierdza, że jeśli ciągły operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest surjektywny, to jest to mapa otwarta. Dokładniej:
twierdzenie o otwartym mapowaniu. Jeśli X i Y są przestrzeniami Banacha, A A : X → Y jest surjektywnym ciągłym operatorem liniowym, to a jest mapą otwartą (tzn. jeśli U jest zbiorem otwartym w X, to a (U) jest zbiorem otwartym w Y).
dowód wykorzystuje twierdzenie kategorii Baire ’ a, a kompletność zarówno X, jak i Y jest niezbędna do twierdzenia . Twierdzenie twierdzenia nie jest już prawdziwe, jeśli któreś z przestrzeni jest po prostu zakłada się, że jest przestrzenią normowaną, ale jest prawdziwe, jeśli x I Y są wzięte za przestrzenie Frécheta.
twierdzenie o grafie Zamknionymedytuj
twierdzenie o grafie zamkniętym stwierdza, co następuje:Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, A Y jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, to Wykres mapy liniowej t od X do Y jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy T jest ciągły.