w algebrze liniowej macierz rozszerzona jest macierzą otrzymaną przez dołączenie kolumn dwóch podanych macierzy, zwykle w celu wykonania tych samych podstawowych operacji wiersza na każdej z podanych macierzy.
biorąc pod uwagę macierze a i B , gdzie
A=, B=, {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}
macierz Rozszerzona (A|B) zapisywana jest jako
( A | B ) = . {\displaystyle (A / B)= \ left.}
jest to przydatne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych.
dla danej liczby niewiadomych liczba rozwiązań układu równań liniowych zależy tylko od rangi macierzy reprezentującej układ i rangi odpowiadającej jej macierzy rozszerzonej. W szczególności, zgodnie z twierdzeniem Rouché-Capellego, każdy układ równań liniowych jest niespójny (nie ma rozwiązań), jeśli ranga macierzy rozszerzonej jest większa niż ranga macierzy współczynnika; jeśli natomiast szeregi tych dwóch macierzy są równe, układ musi mieć co najmniej jedno rozwiązanie. Rozwiązanie jest unikalne wtedy i tylko wtedy, gdy ranga jest równa liczbie zmiennych. Inaczej rozwiązanie ogólne ma parametry K swobodne, gdzie k jest różnicą między liczbą zmiennych a rangą; stąd w takim przypadku istnieje nieskończoność rozwiązań.
macierz rozszerzona może być również używana do znalezienia odwrotności macierzy poprzez połączenie jej z macierzą tożsamościową.