przekształcenia w trójwymiarachedytuj
w przestrzeni trójwymiarowej przekształcenie sztywne ma sześć stopni swobody, trzy przekładki wzdłuż trzech osi współrzędnych i trzy z grupy rotacji SO(3). Często te przekształcenia są traktowane oddzielnie, ponieważ mają bardzo różne struktury geometryczne, ale istnieją sposoby radzenia sobie z nimi, które traktują je jako pojedynczy obiekt sześciowymiarowy.
teoria śrub
w teorii śrub prędkość kątowa i liniowa są połączone w jeden sześciowymiarowy obiekt, zwany skrętem. Podobny obiekt zwany kluczem łączy siły i momenty obrotowe w sześciu wymiarach. Można je traktować jako wektory sześciowymiarowe, które przekształcają się liniowo przy zmianie ramki odniesienia. Tłumaczenia i obroty nie mogą być wykonane w ten sposób, ale są związane z skręceniem przez wykładnictwo.
portret fazowy oscylatora Van der Pol
przestrzeń fazowa jest przestrzenią składającą się z położenia i pędu cząstki, które można wykreślić razem na diagramie fazowym, aby podkreślić zależność między wielkościami. Ogólna cząstka poruszająca się w trzech wymiarach ma przestrzeń fazową o sześciu wymiarach, zbyt wiele, aby ją wykreślić, ale można je przeanalizować matematycznie.
obroty w czterech wymiarachedytuj
Grupa rotacji w czterech wymiarach, SO(4), ma sześć stopni swobody. Można to zobaczyć rozważając macierz 4 × 4, która reprezentuje obrót: ponieważ jest macierzą ortogonalną, macierz jest wyznaczana, aż do zmiany znaku, przez np. sześć elementów powyżej głównej przekątnej. Ale ta grupa nie jest liniowa i ma bardziej złożoną strukturę niż inne aplikacje widziane do tej pory.
innym sposobem patrzenia na tę grupę jest mnożenie czwartorzędu. Każdy obrót w czterech wymiarach można osiągnąć mnożąc przez parę kwaternionów jednostkowych, jeden przed i jeden po wektorze. Te czwartorzędy są unikalne, aż do zmiany znaku dla obu z nich i generują wszystkie obroty, gdy są używane w ten sposób, więc iloczyn ich grup, S3 × S3, jest podwójną pokrywą SO(4), która musi mieć sześć wymiarów.
chociaż przestrzeń, w której żyjemy, jest uważana za trójwymiarową, istnieją praktyczne zastosowania dla przestrzeni czterowymiarowej. Czwartorzędy, jeden ze sposobów opisywania obrotów w trzech wymiarach, składają się z przestrzeni czterowymiarowej. Rotacje między czwartorzędami, na przykład dla interpolacji, odbywają się w czterech wymiarach. Czasoprzestrzeń, która ma trzy wymiary przestrzenne, a jeden wymiar czasowy jest również czterowymiarowy, choć ma inną strukturę niż przestrzeń euklidesowa.
Elektromagnetyzmedytuj
w elektromagnetyzmie pole elektromagnetyczne jest ogólnie uważane za zbudowane z dwóch rzeczy, pola elektrycznego i pola magnetycznego. Oba są trójwymiarowymi polami wektorowymi, związanymi ze sobą równaniami Maxwella. Drugim podejściem jest łączenie ich w jeden obiekt, sześciowymiarowy tensor elektromagnetyczny, tensor lub dwuwymiarową reprezentację pola elektromagnetycznego. Za pomocą tego równania Maxwella można skondensować z czterech równań do szczególnie zwartego równania pojedynczego:
∂ F = J {\displaystyle \ partial \ mathbf {F} = \ mathbf {J}\,}
gdzie F jest formą dwuśrodkową tensora elektromagnetycznego, J jest czteroprądem, a ∂ jest odpowiednim operatorem różniczkowym.
teoria Strunedytuj
w fizyce teoria strun jest próbą opisu ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej za pomocą jednego modelu matematycznego. Chociaż jest to próba modelowania naszego wszechświata, to odbywa się w przestrzeni o większej liczbie wymiarów niż cztery czasoprzestrzeni, które znamy. W szczególności wiele teorii strun zachodzi w przestrzeni dziesięciowymiarowej, dodając dodatkowe sześć wymiarów. Te dodatkowe wymiary są wymagane przez teorię, ale ponieważ nie można ich zaobserwować, są uważane za zupełnie inne, być może skompaktowane, aby utworzyć sześciowymiarową przestrzeń o określonej geometrii zbyt małej, aby można było ją zaobserwować.
od 1997 roku pojawiła się kolejna teoria strun, która działa w sześciu wymiarach. Małe teorie strun to nie grawitacyjne teorie strun w pięciu i sześciu wymiarach, które powstają przy rozważaniu granic dziesięciowymiarowej teorii strun.