stres Deviatoryczny i niezmienniki
dodane przez: Pantelis Liolios | Wrzesień 2010 16, 2020
tensor naprężenia można wyrazić jako sumę dwóch tensorów naprężenia, a mianowicie: tensora naprężenia hydrostatycznego i tensora naprężenia deviatorycznego. W tym artykule zdefiniujemy hydrostatyczną i dewiatoryczną część tensora naprężeń oraz obliczymy niezmienniki tensora odkształceń naprężeń. Niezmienniki stresu deviatorycznego są często używane w kryteriach niepowodzenia.
rozważmy tensor naprężeń \( \sigma_{ij} \) działający na ciało. Zestresowane ciało ma tendencję do zmiany zarówno swojej objętości, jak i kształtu. Część tensora naprężeń, która ma tendencję do zmiany objętości ciała, nazywana jest średnim tensorem naprężeń hydrostatycznych lub tensorem naprężeń objętościowych. Część, która ma tendencję do zniekształcania ciała, nazywana jest tensorem dewiacji naprężeń. Stąd tensor naprężeń może wyrażać się jako:
gdzie \ (\delta_{ij} \) jest deltą Kroneckera (z \ (\delta_{ij} = 1\) Jeśli \ (I = j \) i \ (\delta_{IJ} = 0\) jeśli\(i \ neq j\)), \ (p \) jest średnim stresem podanym przez:
gdzie \ (I_{1} \) jest pierwszą niezmiennikiem tensora naprężeń (Zobacz też: naprężenia główne i niezmienniki naprężeń). Iloczyn \ (p \ delta_{IJ} \) jest tensorem naprężeń hydrostatycznych i zawiera tylko naprężenia normalne. Tensor naprężeń dewiatorycznych można otrzymać przez odjęcie tensora naprężeń hydrostatycznych od tensora naprężeń:
w celu obliczenia niezmienników tensora dewiatora naprężeń zastosujemy tę samą procedurę, co w artykule naprężenia główne i niezmienniki naprężeń. Należy wspomnieć, że główne kierunki tensora dewiatora naprężeń pokrywają się z głównymi kierunkami tensora naprężeń. Równanie charakterystyczne dla \ (s_{IJ}\) jest:
gdzie \ (j_{1} \), \ (J_{2} \) i \ (J_{3}\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim niezmiennikiem stresu dewiatorycznego. Pierwiastkami wielomianu są trzy główne naprężenia dewiatoryczne \( s_{1} \), \( s_{2} \) i \( s_{3} \). \( J_{1}\), \ (J_{2} \) i \ (J_{3}\) można obliczyć za pomocą następujących wyrażeń:
gdzie \ (I_{1} \), \ (I_{2} \) i \( i_{3} \) są trzema niezmiennikami tensora naprężeń, a \( \det(s_{IJ}) \) jest wyznacznikiem \( s_{IJ} \). Należy wspomnieć, że ponieważ \ (J_{1} = s_{kk} = 0\), tensor dewiatora naprężeń opisuje stan czystego ścinania.
przykład
Oblicz tensor dewiacji naprężeń i jego niezmienniki dla następującego tensora naprężeń:
Pokaż rozwiązanie…
najpierw obliczamy średnie ciśnienie \ (p \):
z równania (3) obliczamy tensor dewiatora naprężeń:
dla niezmienników tensora dewiatora naprężeń użyjemy równań (5) i otrzymamy:
ostatecznie równanie charakterystyczne jest:
Tagi: algebra| wartości własne| niezmienniki| mechanika / tensory