Chezy i Manning opracowali równania, które są używane do określenia średniego przepływu objętościowego w otwartych kanałach. W tym artykule wyjaśniono metodę laboratoryjną, która została opracowana i przetestowana w celu dalszej identyfikacji i określenia ilościowego parametrów, które składają się na współczynniki chropowatości tych równań. Metoda ta wykorzystuje strumień hydrauliczny i wykorzystuje technikę jednorodności wymiarowej i nową wykładniczą formę równania do kalibracji przyrządu.
dokładne pomiary średnich prędkości w kanałach lub przepustach z powierzchniami otwartymi na atmosferę były wyzwaniem od wieków. Im większy obszar przekroju przepływu, tym większa niedokładność lub niepewność pomiaru.
przepływ w otwartym kanale jest regulowany przez relację Froude ’ a, stosunek sił inercyjnych do sił grawitacyjnych. Tak więc na początku historii hydrauliki uznano, że wzór na taką średnią prędkość musiałby być równowagą między grawitacją, powodującą przepływ, a chropowatością kanału, starając się opóźnić przepływ. Uznano również, że każdy taki wzór musiałby być dla przepływu jednorodnego, czyli dla przepływu w stanie ustalonym, tak aby głębokość wody względem dna drogi wodnej była stała, czyli d (y) / dx = 0.
zauważono, że w przepływie rurowym lub ciśnieniowym słowo mundur ma inne znaczenie. W tym zastosowaniu oznacza to, że profil prędkości ma stałą prędkość w całym przekroju. Z drugiej strony, hydraulika otwartego kanału nie ma słowa o stałej prędkości w przekroju poprzecznym. W tym artykule „normalny” oznacza pierwszą z tych dwóch definicji, to jest stan stacjonarny i stała głębokość. Wszystkie jednostki w tym artykule są jednostkami inżynieryjnymi powszechnie stosowanymi w USA
równania opracowane przez Chezy i Manninga
pierwszy uznany i najbardziej trwały wzór „oporu” dla stanu ustalonego, przepływ w otwartym kanale jest przypisywany Antoine ’ owi Chezy. Jego zadaniem było określenie przekroju poprzecznego i obliczenie zrzutu dla paryskiego wodociągu oraz zwiększenie jego natężenia przepływu. Dokonał tego w 1768 roku, porównując warunki przepływu między dwoma ciekami wodnymi, kanałem Courpalet i Sekwaną. Jego formuła została opublikowana w swoim raporcie na Canal de l ’ Yvette jako:
Vavg = C x R1/2 x S1/2
gdzie Vavg jest średnią prędkością w stopach na sekundę; C jest współczynnikiem oporu przepływu Chezego w stopach1/2 / S; R jest promieniem hydraulicznym (obszar przekroju poprzecznego podzielony przez obwód zwilżony) w stopach; i S jest nachyleniem, które jest bezwymiarowe. Jednak prace Chezego nie cieszyły się dużym zainteresowaniem aż do wielu lat po jego śmierci.
w 1889 roku Irlandczyk Robert Manning, który był głównym inżynierem irlandzkiego biura Robót Publicznych, przedstawił pracę zatytułowaną „On the Flow of Water in Open Channels and Pipes.”Chociaż jego głównym zainteresowaniem wydaje się hydrologia, wyciągnął średnią formułę „oporności” dla otwartych kanałów ze wszystkich różnych formuł oporności opublikowanych do tego czasu. W dzisiejszym formacie to równanie, które na przyszłość nazwiemy równaniem 1, to:
Vavg = (1.486/n) x R2 / 3 x S1 / 2
gdzie n jest współczynnikiem chropowatości Manninga, który jest taki sam numerycznie w systemach wymiarowych USA lub metrycznych. W systemie amerykańskim posiada jednostki drugiej / stopy 1/3. Jeśli używa się jednostek metrycznych, 1.486 zastępuje się przez 1.0, a jego jednostkami są second/meter1/3.
równanie Manninga było najbardziej udanym ze wszystkich otwartych równań empirycznych, opartych na oporze przepływu i pochodzących z obserwacji. W rzeczywistości nie jest przesadą stwierdzenie, że jest to kamień węgielny dzisiejszej nauki inżynierii hydraulicznej.
jednak w klasycznym sensie zarówno równania Chezego, jak i Manninga mają kilka podobnych wad. Po pierwsze, nie mają jednorodności wymiarowej, to znaczy jednostki po lewej stronie nie są takie same jak jednostki po prawej stronie. Takie równania są zwykle wyprowadzane przez eksperymenty lub obserwacje i szybko tracą dokładność, jeśli ekstrapolowane poza ich zakres obserwacji. Wiadomo, że równanie Manninga traci Dokładność przy bardzo stromych lub płytkich zboczach. Po drugie, aby osiągnąć jednorodność wymiarową, ich stałe lub współczynniki nie są liczbami czystymi, ale są sztucznie przypisanymi jednostkami.
ponadto równanie Manninga sugeruje, że średnia prędkość jest bardziej wrażliwa na Promień hydrauliczny niż na nachylenie. Tak naprawdę jest to niezgodność, ponieważ sama natura przepływu otwartego kanału jest funkcją składowej nachylenia grawitacji. Kształt przejścia wody, obliczony przez promień hydrauliczny, wywiera wpływ na bezwzględną chropowatość, ale nie jest to podstawowy wpływ na samą średnią prędkość. Im niższy współczynnik promienia hydraulicznego, tym większy procent przepływu, który ma kontakt z chropowatością granic.
dodatkowo sama natura równań jest sprzecznością. Równania opisują średnią prędkość, która istnieje w przekroju prostopadłym do przepływu. Taki przekrój ma nieskończoną grubość w kierunku przepływu, podczas gdy równania opierają się na współczynnikach, które są określane jako ” współczynniki chropowatości.”Ale efekt takiej chropowatości potrzebuje skończonej długości, aby istnieć-nie może mieć wpływu na nieskończoną grubość. Oznacza to, że sama chropowatość musi działać na jakiś inny parametr, który może istnieć na nieskończonej długości, aby opóźnić prędkość przepływu.
teoria eksperymentu laboratoryjnego
dokładności równań Chezego i Manninga zależą od wyboru ich indywidualnych współczynników chropowatości. Zwykle robi się to przez porównanie ze znanymi podobnymi strumieniami lub z podręcznika zdjęć strumieni. Jednak w artykule zatytułowanym „Dimensionally Homogenious Form of the Chezy and Manning Equations” opublikowanym przez Hydro Review w kwietniu 2014 zaproponowałem nową eksperymentalną metodę wyznaczania części składowych, które zawierają te współczynniki chropowatości.
aby zademonstrować technikę, przedstawiłem klasie absolwentów inżynierii energii odnawialnej zapisanej na kurs Laboratorium hydraulicznego w Oregon Institute of Technology (OIT) w Wilsonville, Oregon, eksperyment mający na celu identyfikację i kwantyfikację składników współczynników chropowatości. Eksperyment ten koncentrował się na równaniu Manninga i opierał się na zasadzie jednorodności wymiarowej. Absolwentami OIT, którzy uczestniczyli w tym eksperymencie laboratoryjnym byli Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong i Asmitha Velivela.
najpierw powstały dwa parametry: Hv/S I R. Hv reprezentuje głowicę prędkości, to znaczy Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), gdzie α nazywa się współczynnikiem korekcji głowicy prędkości lub współczynnikiem Coriolisa. Mnożnik ten reprezentuje dodatkową energię zawartą w przepływie otwartym lub zamkniętym, który istnieje, gdy profil prędkości nie jest stały na obszarze przekroju poprzecznego. Dzieje się tak, ponieważ energia płynu jest funkcją kwadratu prędkości, a suma kwadratów w każdej rurze strumienia płynu jest większa niż kwadrat sumy prędkości w każdej rurze strumienia.
liczbowo α jest zawsze równe lub większe od jednego i jest bezwymiarowe. Nachylenie lub S mogło pojawić się po obu stronach parametrycznych, ale zostało przypisane do parametru Hv, ponieważ w hydraulice istnieje więcej niż wystarczający dowód na to, że średnia prędkość jest funkcją pierwiastka kwadratowego nachylenia, czyli Vavg ≈ S1/2. Następnie zaprojektowano eksperyment laboratoryjny, który pozwoliłby na uzyskanie danych i wykreślenie ich jako Hv / s w porównaniu z R, z których oba mają jednostki stóp. Dlatego każde powstałe równanie eksperymentalne powinno mieć jednorodność wymiarową.
jednostki Hv, z równania Bernoulliego, są funtami stóp na funt lub „energią właściwą”, ale nadal są jednorodne z R, który ma jednostki stóp. Należy zauważyć, że gdy R staje się większy, zwilżony Obwód (P) staje się mniejszy w stosunku do obszaru (A). Oznacza to, że opór tarcia dla przepływu musi być mniejszy, a zatem średnia prędkość powinna być większa. Innymi słowy, zależność liniowa między Hv / s i R powinna mieć dodatnie nachylenie.
Aparatura testowa
do użytku został przystosowany mały, pochylony basen laboratoryjny z pompą recyrkulacyjną, którą jeden student wygodnie zbudował w poprzednim semestrze. Od razu było oczywiste, że pomiar współczynnika korekcji prędkości głowicy w tak małym strumieniu byłby niemożliwy. Najlepszą alternatywą było zmierzenie tylko nachylenia, średniej prędkości i głębokości wody dla krytycznego i jednolitego przepływu.
przy przepływie krytycznym, gdzie liczba Froude ’ a jest równa 1, minimalna energia hydrauliczna jest zawarta dla danej ilości poruszającego się płynu. W związku z tym nie powinna istnieć żadna dodatkowa energia dostępna do utworzenia niestałego profilu prędkości, a współczynnik korekcji głowicy prędkości powinien być zbliżony do jednego. Ponadto, ponieważ strumień był krótki, energia w płynie wchodzącym do strumienia musiała być dopasowana do poziomu energii pożądanego dla danego natężenia przepływu w strumieniu, aby natychmiast uzyskać jednolity lub stały przepływ w stanie.
nie można było precyzyjnie wyregulować pompy basenowej. W związku z tym zespół naukowców zdecydował się wprowadzić drugi zbiornik na wodę, wyładować pompę do tego zbiornika, a następnie ostrożnie wyssać z tego zbiornika do flume. Przepływomierz soniczny podłączony do węża między zbiornikiem a dymem dał przepływ objętościowy. Zajęło to sporo czasu i wysiłku, aby uzyskać wszystko zrównoważone dla pojedynczego punktu danych o stanie ustalonym, jednolitym i krytycznym przepływie w tak małym strumieniu. Ostatecznie zebrano jednak trzy punkty danych, które były wystarczające do wykazania tej metody analizy danych (tabele 1 i 2).
Tabela 1. Ta tabela pokazuje dane zebrane podczas trzech eksperymentów otwartych kanałów przeprowadzonych w laboratorium przy użyciu flume. Źródło: Lee H. Sheldon, PE
Tabela 2. Ta tabela pokazuje dane zebrane podczas trzech eksperymentów otwartych kanałów przeprowadzonych w laboratorium przy użyciu flume. Źródło: Lee H. Sheldon, PE
podkreśla się, że te punkty danych były ściśle rozmieszczone pod względem przepływu objętościowego. Wynika to z faktu, że przepływ o szerokości pięciu cali-obsługiwany zarówno dla przepływów jednorodnych, jak i krytycznych-nie zapewniał szerokiego zakresu zmienności przepływu. Eksperyment ten przeprowadzono również w bardzo gładkim płacie z pleksiglasu, gdzie n Manninga zostało zmierzone jako tylko 0,009, podczas gdy 0,012 jest najłagodniejszą wartością w opublikowanej tabeli prototypowych kanałów wodnych. Dlatego Wszelkie wyniki liczbowe powinny być postrzegane jako mające zastosowanie tylko do tego bardzo wąskiego układu hydraulicznego.
jednak podkreśla się również, że celem tego eksperymentu laboratoryjnego było tylko zademonstrowanie, czy ta metoda może być wykorzystana w przyszłości, bardziej obszernych badaniach w celu zapewnienia dalszego wglądu i dokładności w skład składowych równań Chezego, a zwłaszcza Manninga.
technika redukcji danych
wykreślenie tych trzech punktów danych zostało wykonane w taki sam sposób, jak równanie kalibracji przyrządu opisane w artykule, który napisałem pod tytułem „nowe równanie kalibracji dla systemu Piezometrów Winter-Kennedy 'ego”, który został opublikowany przez Hydro Review w październiku 2013 roku. Metoda ta daje równanie kalibracyjne bezpośrednio w postaci wykładniczej do gotowego porównania z powszechnie stosowanymi równaniami otwartego kanału, to znaczy, log10 (Hv / s)wykreślono jako oś porządkową lub y, a log10R wykreślono jako oś abscissa lub x (Fig. 1).
1. Ten wykres pokazuje modelowy przepływ przy przepływie Krytycznym i jednolitym. Źródło: Lee H. Sheldon, PE
punkty te zbliżały się do prostej i dały równanie o postaci: y = mx + b.
log10(Hv / S) = mlog10R + b = log10(Rm) + B
podnosząc obie strony równania jako potęgi 10 daje:
10^(log10Hv/s) = 10^(log10Rm + b) = 10B x 10^(log10Rm)
następnie logarytmicznie:
Hv/s = 10B X Rm
lub
HV = 10B X S x Rm
wyniki HV w:
aVavg2/2G = 10B x S x Rm
przestawianie terminów daje:
Vavg = (2g10b/α)1/2 X S1/2 x Rm/2
podstawianie wartości liczbowych m = 0,7497 i b = 1,7328 z rysunku 1 daje:
Vavg = (2G x 101,7328/α)1/2 X S1/2 x (R0.7497)1/2
należy zauważyć, że nachylenie (m) jest dodatnie, jak przewidywano wcześniej. Dlatego:
Vavg = (108.1011 g/α)1/2 x S1/2 x R0.3749
w wyniku czego otrzymujemy następujące równanie, które w przyszłości nazwiemy równaniem 2:
Vavg = 10.3972 (GS/α)1/2 x R3 / 8
teraz, w tej postaci, równanie otwartego kanału zawiera tylko parametry, które można wyznaczyć na nieskończenie cienkim obszarze przekroju. Porównanie równania 2 z równaniem 1 zapewnia wgląd w relacje parametrów w równaniu Manninga.
Vavg = 10,3972 x (GS/α)1/2 x R3/8 = (1,486/n) x R2/3 X S1/2
teraz, zrównując tylko dwa wyrażenia i anulując terminy S1/2 daje:
10,3972 x (G/α)1/2 x R3/8 = (1,486/n) x R2/3
łącząc terminy r, daje:
10, 3972 X (G/α)1/2 = (1.486/n) x R7 / 24
co daje następujący wynik, który nazwiemy równaniem 3 dla przyszłego odniesienia:
= 0.1429 x (α/g)1/2 x R7/24
zauważono, że równanie 2 nie ma dokładnej jednorodności wymiarowej. Pomijając wartości współczynników liczbowych, gdyby wykładnik R wynosił 4/8 zamiast 3/8, i z włączeniem jednostek dla G (przyspieszenia grawitacyjnego), miałby dokładną jednorodność. Oddzielnie, należy zauważyć, że aby równanie Manninga miało jednorodność wymiarową, jednostki n w równaniu 1 były historycznie sztucznie przypisywane jako sekundy / stopa1 / 3 lub sekundy / stopa8 / 24. W równaniu 3, Teraz, włączając również jednostki dla g, n ma jednostki sekund/stopy5 / 24.
uważa się, że te dwie różnice w równaniu Manninga i N Manninga mogą być spowodowane niepewnością lub niedokładnością pomiaru danych w ograniczonym przepływie testowym dostępnym dla uczniów. Dlatego ponownie podkreśla się, że ostateczne wyniki liczbowe tego eksperymentu prawdopodobnie mają stopień niepewności, ale metoda dokładniejszego określenia równania Manninga jest wyraźnie zademonstrowana.
wyrażenie S (g) jest nachyleniem razy przyspieszenie grawitacyjne. Gdy nachylenie, d (y) / dx, staje się większe, pojawia się większa siła grawitacji działająca w celu przyspieszenia przepływu.
jak wspomniano wcześniej, równanie Manninga jest średnią wszystkich równań otwartego kanału opublikowanych przed 1889 rokiem. Fakt, że nie uwzględniał wpływu współczynnika korekcji głowicy prędkości, jest całkiem zrozumiały. Dopiero w 1877 r. współczynnik korekcji prędkości głowicy Coriolisa został uznany za zmienną, a nie stałą.
relacje równania 2 pokazują, że N jest metryką współczynnika korekcji głowicy prędkości, czyli n jest proporcjonalne do α1 / 2. Teoretycznie, jeśli N jest podwojony, współczynnik korekcji głowicy prędkości zwiększa się czterokrotnie, a średnia prędkość zmniejsza się o połowę. Jest to mechanizm, za pomocą którego chropowatość granic płynu działa w celu opóźnienia prędkości przepływu w nieskończenie cienkim przekroju.
jak wspomniano, n Manninga ma bezpośredni wpływ na Promień hydrauliczny (R7 / 24). To pokazuje, że wybranie N Manninga jest nie tylko funkcją chropowatości, ale także przekrojowego kształtu przebiegu wody. Fakt, że kanały mogą wykazywać pewne różnice w N Manninga ze względu na sam ich kształt, a także chropowatość, został wcześniej udokumentowany w innej literaturze.
w artykule zatytułowanym „Determination of Chroposity Coefficient for Lined and Unlined Channels” opublikowanym przez stację badawczą inżynierii Karnataka w Indiach, mówi: „przepływ w kanałach jest skomplikowany przez fakt, że forma elementów chropowatości, a tym samym opór przepływu, są funkcjami charakterystycznymi kształtu i wyrównania kanału. Czynniki te składają się na współczynnik chropowatości lub współczynnik chropowatości.”Powodem, jak wspomniano wcześniej, jest mniejszy promień hydrauliczny, tym większy względny procent objętości przepływu, który jest w bezpośrednim kontakcie z daną bezwzględną chropowatością granicy. Dlatego im większy opór, jaki granica nakłada na opóźnienie przepływu objętościowego,tym bardziej niejednolity staje się profil prędkości, obliczony przez α. Tak więc, im mniejszy promień hydrauliczny, tym większe straty energii. I odwrotnie, im większy promień hydrauliczny, tym bardziej profil prędkości ma tendencję do jednorodności w przekroju poprzecznym. Przypadkowo, C Chezego jest odwrotnie proporcjonalne do R1 / 8.
równania opracowane przez Chezego i Manninga mogą wydawać się bardzo proste, jednak reprezentują złożone interakcje parametrów hydraulicznych płynów w otwartych kanałach. Eksperymentalny proces przedstawiony w tym artykule może być wykorzystany do badania tych interakcji. Zastosowanie tej metody eksperymentalnej, na bardzo ograniczonej i wąskiej podstawie opisanej powyżej, sugeruje, że różnica między równaniami Chezego i Manninga może nie być tak wielka, jak się wydaje. Rzeczywista różnica może być większa w stopniu zależności, jaki każdy współczynnik oporu przepływu ma na współczynnik korekcji głowicy prędkości i promień hydrauliczny.
—Lee H. Sheldon, PE jest inżynierem energetyki wodnej z 50-letnim doświadczeniem. Opublikował 33 prace techniczne i podręcznik akademicki na temat inżynierii wodnej i pracował nad każdym Federalnym projektem hydroelektrycznym w północno-zachodnim Pacyfiku, między innymi. Wcześniej był profesorem w OIT, gdzie wykładał inżynierię wodną i mechanikę płynów.