Análise funcional

resultados da análise funcional incluem:

Uniforme boundedness principleEdit

ver artigo Principal: Banach-Steinhaus teorema

O uniforme boundedness princípio ou de Banach–Steinhaus teorema é um dos resultados fundamentais em análise funcional. Juntamente com o teorema de Hahn–Banach e o teorema do mapeamento aberto, é considerado uma das pedras angulares do campo. Em sua forma básica, ele afirma que para uma família de Operadores Lineares contínuos (e, portanto, operadores limitados) cujo domínio é um espaço de Banach, a vinculação pontiaguda é equivalente à uniformidade na norma do operador.O teorema foi publicado pela primeira vez em 1927 por Stefan Banach e Hugo Steinhaus, mas também foi provado independentemente por Hans Hahn.

Teorema (Princípio Da Uniformidade). Que X seja um espaço Banach e Y seja um espaço vetorial normalizado. Suponha que F é uma coleção de Operadores Lineares contínuos de X A Y. Se para todo x em X tem

sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}

\sup\nolimits_{T \F} \|T(x)\|_Y \infty,

em seguida,

sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\ / T\ / _{B (X,Y)}<\infty .}

\sup\nolimits_{t \in F} \ / T\ / _{B (X,Y)} \infty.

teoremas espectrais

artigo principal: Teorema espectral

existem muitos teoremas conhecidos como Teorema espectral, mas um em particular tem muitas aplicações em análise funcional.

Teorema: Permitir que Um ser limitado auto-membro adjunto do operador em um espaço de Hilbert H. em Seguida, há uma medida de espaço (X, Σ, µ) e um real valorizado essencialmente limitada mensuráveis função f em X e um operador unitário U:H → L2µ(X) tais que a

U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=A\;}

 U^* T U = UM \;

onde T é o operador de multiplicação:

( x ) = f ( x ) φ ( x ) . {\displaystyle(x)=f (x)\varphi (x).\;}

 (x) = f(x) \varphi(x). \;

e ‖ T ‖ = ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}

\|T\|=\|f\|_{\infty }

Este é o início de uma vasta área de pesquisa em análise funcional e chamado de operador de teoria; ver também o espectro de medida.

There is also an analogous spectral theorem for bounded normal operators on Hilbert spaces. A única diferença na conclusão é que agora f {\displaystyle f}

f

pode ser de valor complexo. Artigo principal: O teorema de Hahn-Banach é uma ferramenta central na análise funcional. Ele permite que a extensão do delimitada linear funcionais definidas em um subespaço de algum espaço vetorial para todo o espaço, e ele também mostra que não são “suficientes” contínuo linear funcionais definidos em cada padronizadas espaço vetorial para fazer o estudo do duplo espaço “interessante”.

Hahn–Banach theorem: If p: v → R is a sublinear function, and φ: U → R is a linear functional on a linear subspace U ⊆ V which is dominated by p on U, i.e.

φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\U}

\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U

, em seguida, existe uma extensão linear ψ : V → R de φ para todo o espaço V, i.é., existe um funcional linear ψ tais que

ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}

\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\U,

ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\leq p (x)\qquad \forall x\in V.}

\psi(x) \le p(x)\qquad\forall x\in V.

Abrir mapeamento theoremEdit

ver artigo Principal: Abrir o mapeamento teorema (análise funcional)

O mapeamento aberto teorema, também conhecido como o de Banach–teorema de Schauder (em homenagem a Stefan Banach e Juliusz Schauder), é um resultado fundamental que diz que, se um contínuo operador linear entre espaços de Banach é surjective em seguida, ele é um mapa aberto. Mais precisamente,:

teorema do mapeamento aberto. Se X e Y são espaços de Banach e a : X → Y é um operador linear contínuo surjetivo, então A é um mapa aberto (i.e. SE U é um conjunto aberto em X, então A (U) é aberta em Y).

the proof uses the Baire category theorem, and completeness of both X and Y is essential to the theorem. A afirmação do teorema não é mais verdadeira se qualquer espaço é apenas assumido como um espaço normado, mas é verdade se X e Y são tomados como espaços Fréchet.

Fechada gráfico theoremEdit

ver artigo Principal: Fechada gráfico teorema

fechada gráfico teorema afirma o seguinte:Se X é um espaço topológico e Y é um espaço Hausdorff compacto, então o grafo de um mapa linear T de X para Y é fechado se e somente se T é contínuo.Artigo principal: Lista dos tópicos de Análise Funcional

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