Chezy e Manning desenvolveram equações que são usadas para determinar o caudal volumétrico médio em canais abertos. Este artigo explica um método laboratorial que foi desenvolvido e testado para identificar e quantificar melhor os parâmetros que compõem os coeficientes de rugosidade dessas equações. Este método utiliza uma chaminé hidráulica e utiliza a técnica de homogeneidade dimensional e uma nova forma exponencial de uma equação para a calibração de instrumentos.A medição precisa das velocidades médias em canais ou cultos com superfícies abertas à atmosfera tem sido um desafio há séculos. Quanto maior for a área transversal do fluxo, maior será a imprecisão ou a incerteza de medição.
o fluxo de canal aberto é governado pela relação de Froude, a razão entre forças inerciais e forças gravitacionais. Assim, foi reconhecido no início da história da hidráulica que a fórmula para tal velocidade média precisaria ser um equilíbrio entre a gravidade, causando o fluxo, e rugosidade do canal, procurando retardar o fluxo. Também foi reconhecido que qualquer fórmula teria que ser para fluxo uniforme, ou seja, para fluxo de estado estacionário, tal que a profundidade de água em relação ao fundo da via navegável é uma constante, ou d(y)/dx = 0.
note-se que em tubulação ou fluxo pressurizado a palavra uniforme tem um significado diferente. Nessa aplicação, significa que o perfil de velocidade tem uma velocidade constante em toda a secção transversal. Por outro lado, a hidráulica de canal aberto não tem palavra para velocidade constante numa secção transversal. Neste artigo, “normal” significa a primeira destas duas definições, ou seja, estado estacionário e profundidade constante. Todas as unidades neste artigo são unidades de engenharia como comumente usadas nos Estados Unidos, equações desenvolvidas por Chezy e Manning, a primeira fórmula de “resistência” reconhecida e mais duradoura para o estado estacionário, fluxo de canal aberto é creditado a Antoine Chezy. Ele foi encarregado de determinar a seção transversal e calcular a descarga para o abastecimento de água de Paris, e aumentar sua taxa de fluxo. Ele fez isso em 1768, comparando as condições de fluxo entre dois cursos de água, o Canal de Courpalet e o Rio Sena. Sua fórmula resultante foi publicado em seu relatório sobre o Canal de l”Yvette como:
Vavg = C x R1/2 x S1/2
onde Vavg é a velocidade média, em metros por segundo; C é Chezy do fator de resistência de fluxo em pés1/2/s; R é o raio hidráulico (a área da seção transversal dividido pelo molhadas perímetro), em metros; e S é a inclinação, o que é adimensional. No entanto, o trabalho de Chezy recebeu pouca atenção até muitos anos após sua morte.Em 1889, um irlandês chamado Robert Manning, que era engenheiro chefe do Escritório de Obras Públicas da Irlanda, apresentou um artigo intitulado ” On the Flow of Water in Open Channels and Pipes.”Embora seu principal interesse pareça ter sido a hidrologia, ele derivou uma fórmula média de “resistência” para canais abertos de todas as diferentes fórmulas de resistência publicadas até aquele momento. No formato de hoje, esta equação, que vamos chamar equação 1 para referência futura, é:
Vavg = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
, onde n é o peyton Manning coeficiente de rugosidade, que é o mesmo numericamente nos EUA ou métrico dimensional sistemas. No sistema americano, tem unidades de second / feet1 / 3. Se usar unidades métricas, o 1.486 é substituído por 1.0 e suas unidades são segundo / meter1 / 3.A equação de Manning tem sido a mais bem sucedida de todas as equações empíricas de canal aberto, baseadas na resistência ao fluxo e derivadas da observação. Na verdade, não é exagero dizer que é a pedra angular da ciência atual da engenharia hidráulica.
no entanto, no sentido clássico, tanto as equações de Chezy como as de Manning têm várias deficiências semelhantes. Em primeiro lugar, eles não têm homogeneidade dimensional, ou seja, as unidades do lado esquerdo não são as mesmas que as unidades do lado direito. Tais equações são geralmente derivadas pela experimentação ou observação e rapidamente perdem precisão se extrapoladas para além da sua gama de observação. Sabe-se que a equação de Manning perde precisão com encostas muito íngremes ou rasas. Em segundo lugar, para alcançar a homogeneidade dimensional, as suas constantes ou coeficientes não são números puros, mas são unidades atribuídas artificialmente.Além disso, a equação de Manning sugere que a velocidade média é mais sensível ao raio hidráulico do que ao declive. Isto é realmente uma incompatibilidade, porque a própria natureza do fluxo de canal aberto é uma função do componente da inclinação da gravidade. A forma da passagem da água, calculada pelo raio hidráulico, exerce um efeito sobre a rugosidade absoluta, mas não é um efeito primário sobre a velocidade média em si. Quanto menor a razão raio hidráulico, maior a percentagem do fluxo que está em contacto com a rugosidade dos limites.
adicionalmente, a própria natureza das equações é uma contradição. As equações descrevem uma velocidade média que existe em uma seção transversal perpendicular ao fluxo. Tal seção transversal tem uma espessura infinitesimal na direção do fluxo, enquanto as equações dependem de coeficientes que são referidos como “coeficientes de rugosidade”.”Mas o efeito de tal rugosidade precisa de um comprimento finito para existir-não pode ter um efeito sobre uma espessura infinitesimal. Isto significa que a rugosidade em si deve atuar em algum outro parâmetro que pode existir ao longo de um comprimento infinitesimal para retardar a velocidade do fluxo.
teoria por trás de um experimento laboratorial
as exatidões das equações de Chezy e Manning dependem da seleção de seus coeficientes de rugosidade individuais. Isto é geralmente feito por comparação com córregos similares conhecidos ou a partir de um livro de referência de imagens de córregos. No entanto, no artigo intitulado “Dimensionally Homogeneous Form of the Chezy and Manning Equations”, publicado pela Hydro Review em abril de 2014, eu propus um novo método experimental para determinar as partes constituintes que compõem estes coeficientes de rugosidade.
Para demonstrar a técnica, eu o apresentei para uma classe de pós-graduação em Energias Renováveis Engenharia matriculados no Laboratório de Hidráulica curso de Oregon Institute of Technology (OIT) em Wilsonville, Oregon, uma experiência concebida para identificar e quantificar os componentes dos coeficientes de rugosidade. Este experimento se concentrava na equação de Manning, e foi baseado no princípio da homogeneidade dimensional. A OIT alunos de pós-graduação que participaram deste experimento de laboratório foram Josué Sofá, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Ryan Cullen, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong, e Asmitha Velivela.
primeiro, dois parâmetros foram formados: Hv / s e R. Hv representa a cabeça de Velocidade, Ou seja, Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), Onde α é chamado o Fator de correção da cabeça de velocidade ou o Fator de Coriolis. Este multiplicador representa a energia adicional contida no fluxo de superfície aberta ou de pressão fechada que existe sempre que um perfil de velocidade não é constante sobre uma área transversal. Isto é porque a energia fluida é uma função do quadrado da velocidade, e a soma dos quadrados em cada tubo de fluxo de fluido é maior do que o quadrado da soma das velocidades em cada tubo de fluxo.
numericamente α É sempre igual ou superior a um e é adimensional. O declive ou S poderia ter aparecido em ambos os lados paramétricos, mas foi atribuído ao parâmetro Hv, porque na hidráulica há mais do que ampla evidência de que a velocidade média é uma função da raiz quadrada do declive, ou seja, Vavg ≈ S1/2. Em seguida, um experimento laboratorial foi projetado para permitir que os dados fossem obtidos e plotados como Hv/s versus R, ambos com unidades de pés. Portanto, qualquer equação experimental resultante deve ter homogeneidade dimensional.
as unidades de Hv, a partir da equação de Bernoulli, são libras por libra ou “energia específica”, mas ainda são homogêneas com R, que tem unidades de pés. É de notar que à medida que R se torna maior, o perímetro molhado (P) fica menor em relação à área (A). Isto significa que a resistência friccional ao fluxo deve ficar menor e, portanto, a velocidade média deve ficar maior. Por outras palavras, uma relação linear entre Hv/S E R deve ter um declive positivo.
aparelho de ensaio
uma pequena chaminé de laboratório com uma bomba de recirculação da piscina, que um estudante tinha convenientemente construído no semestre anterior, foi adaptada para utilização. Foi imediatamente evidente que a medição do fator de correção da cabeça de Velocidade em uma pequena mancha seria impossível. A melhor alternativa era medir apenas a inclinação, a velocidade média e a profundidade da água para um fluxo crítico e uniforme.
no fluxo crítico, onde o número de Froude é igual a um, a menor energia hidráulica é contida para uma dada quantidade de fluido em movimento. Consequentemente, não deve existir qualquer energia adicional disponível para formar um perfil de velocidade não constante e o factor de correcção da cabeça da velocidade deve estar próximo de um. Além disso, como a flume era curta, a energia no fluido que entrava na flume precisava ser correspondida ao nível de energia desejado para um dado caudal na flume, de modo que o fluxo uniforme ou em estado estacionário foi imediatamente alcançado.Não foi possível ajustar a bomba da piscina de forma tão fina. Consequentemente, a equipe de pesquisadores optou por trazer um segundo tanque de água, ter a descarga da bomba para aquele tanque, e, em seguida, cuidadosamente sifão desse tanque para a chaminé. Um medidor de vazão sônico ligado à mangueira entre o tanque e a flume deu o caudal volumétrico. Levou uma quantidade considerável de tempo e esforço para obter tudo equilibrado para um único ponto de dados de estado estacionário, uniforme e fluxo crítico em uma tão pequena fumaça. No entanto, em última análise, foram recolhidos três pontos de dados que foram suficientes para demonstrar este método de análise de dados (quadros 1 e 2).
Quadro 1. Esta tabela mostra os dados coletados durante três experimentos de canal aberto realizados no laboratório usando uma chaminé. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
Tabela 2. Esta tabela mostra os dados coletados durante três experimentos de canal aberto realizados no laboratório usando uma chaminé. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
é enfatizado que estes pontos de dados foram muito espaçados em termos de taxa de fluxo volumétrica. Isto porque uma flume de 5 polegadas-operada tanto para fluxos uniformes e críticos-não forneceu uma ampla gama de variabilidade de fluxo. Além disso, este experimento foi feito em um flume de Plexiglas muito suave, onde o n de Manning foi medido como apenas 0,009, enquanto que o 0,012 é o valor mais suave na tabela publicada de protótipos de canais de água. Por conseguinte, quaisquer resultados numéricos devem ser vistos como aplicando-se apenas a este regime hidráulico muito estreito.
no entanto, também é enfatizado que o objetivo deste experimento laboratorial era apenas demonstrar se este método poderia ser usado no futuro, pesquisas mais extensas para fornecer mais informações e precisão sobre a composição dos componentes das equações de Chezy e particularmente de Manning.
técnica de redução de dados
a representação destes três pontos de dados foi feita da mesma forma que a equação de calibração de instrumentos descrita em um artigo I escreveu intitulado “Uma nova equação de calibração para o sistema piezômetro de Inverno-Kennedy”, que foi publicado pela Hydro Review em outubro de 2013. Este método produz uma equação de calibração diretamente em forma exponencial para comparação pronta com as equações de canal aberto comumente usadas, ou seja, log10(Hv/S) foi plotada como o eixo ordenado ou y e log10R foi plotada como o eixo abcissa ou x (Figura 1).
1. Este gráfico mostra o flume do modelo em fluxo crítico e uniforme. Fonte: Lee H. Sheldon, PE
Estes pontos aproximado de uma linha reta e rendeu uma equação da forma: y = mx + b.
log10(Vd/S) = mlog10R + b = log10(Rm) + b
Elevando ambos os lados da equação como potências de 10 rendimentos:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
Então, por logarítmica de identidade:
Hv/S = 10b x Rm
ou
Hv = 10b x S x Rm
Substituindo por Hv resultados em:
aVavg2/2g = 10b x S x Rm
Reorganizando os termos, obtém-se:
Vavg = (2g10b/α)1/2 x S1/2 x Rm/2
Substituindo valores numéricos de m = 0.7497 e b = 1.7328 da Figura 1 fornece:
Vavg = (2g x 101.7328/α)1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
é de notar que a inclinação (m) é positivo, como previsto anteriormente. Portanto:
Vavg = (108.1011 g/α)1/2 x S1/2 x R0.3749
, Resultando na seguinte equação, que será chamada de Equação 2 para referência futura:
Vavg = 10.3972 (gS/α)1/2 x R3/8
agora, nesta forma, a equação de canal aberto contém apenas parâmetros que podem ser determinados através de uma área transversal infinitamente fina. A comparação da equação 2 com a equação 1 fornece uma visão das relações dos parâmetros na equação de Manning.
Vavg = 10.3972 x (gS/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
Agora, o equivalente a apenas dois expressões e cancelar a S1/2 termos dá:
10.3972 x (g/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
Combinando a R termos, resulta em:
10.3972 x (g/α)1/2 = (1.486/n) x R7/24
o Que resulta no seguinte, o que nós vamos chamar a Equação 3 para referência futura:
= 0.1429 x (α/g)1/2 x R7/24
é de notar que a Equação 2 não têm exata homogeneidade dimensional. Negligenciando os valores dos coeficientes numéricos, se o expoente de R tivesse sido 4/8 em vez de 3/8, e com a inclusão de unidades para g (aceleração gravitacional), teria tido homogeneidade exata. Separadamente, observa-se que para a equação de Manning ter homogeneidade dimensional, as unidades de n na Equação 1 tinha sido historicamente atribuído artificialmente como segundos/pés1/3 segundos/feet8/24. Na equação 3, agora, incluindo unidades para g, n tem unidades de segundos / feet5 / 24.
considera-se que estas duas diferenças na equação de Manning e no n de Manning podem ser devidas à incerteza ou imprecisão da medição dos dados na escumalha de teste limitada disponível para os alunos. Portanto, mais uma vez, enfatiza-se que os resultados numéricos finais desta experiência provavelmente têm um grau de incerteza, mas o método para quantificar com mais precisão a equação de Manning é claramente demonstrado.
o termo S (g) é o declive vezes aceleração gravitacional. À medida que a inclinação, d(y)/dx, se torna maior, há uma força gravitacional maior agindo para acelerar o fluxo.Como mencionado anteriormente, a equação de Manning é uma média de todas as equações de canal aberto publicadas antes de 1889. O fato de não incluir o efeito do fator de correção da cabeça de velocidade é bastante compreensível. Não foi até 1877 que o Fator de correção da cabeça de Velocidade de Coriolis foi reconhecido como uma variável e não uma constante.
as relações da equação 2 mostram que n de Manning é uma métrica para o Fator de correção da cabeça de velocidade, ou seja, n é proporcional a α1 / 2. Teoricamente, se n é dobrado, o Fator de correção da cabeça de velocidade é aumentado quatro vezes e a velocidade média é reduzida para metade. Este é o mecanismo através do qual a rugosidade dos limites do fluido atua para retardar a velocidade do fluxo através de uma infinitesimalmente fina seção transversal.Conforme observado, o n de Manning é diretamente afetado pelo raio hidráulico (R7/24). Isso mostra que selecionar n de um Manning não é apenas uma função da rugosidade, mas Da Forma transversal do curso de água. O fato de que os canais podem exibir algumas diferenças no n de Manning devido à sua forma isolada, bem como sua rugosidade, foi previamente documentado em outras literatura.
Em um artigo intitulado “Determinação de Rugosity Coeficiente para revestido e sem revestimento de Canais”, publicado pelo Karnataka Engenharia de Estação de Pesquisa na Índia, ele diz, “de Fluxo nos canais é complicado pelo fato de que a forma de rugosidade elementos e, portanto, a resistência ao fluxo são funções das características do canal, forma e alinhamento. Estes fatores compõem o coeficiente de rugosidade ou o coeficiente de rugosidade.”A razão, como mencionado anteriormente, é quanto menor o raio hidráulico, maior a porcentagem relativa do volume de fluxo que está em contato direto com a rugosidade absoluta dada do limite. Portanto, quanto maior o arrasto que o limite impõe para retardar o fluxo volumétrico, mais não uniforme o perfil de velocidade torna-se, como calculado Por α. Assim, quanto menor o raio hidráulico, maior a perda de energia. Inversamente, quanto maior o raio hidráulico, mais o perfil de velocidade tende a se tornar uniforme sobre a seção transversal. Coincidentemente, o C De Chezy é inversamente proporcional a R1 / 8.
as equações desenvolvidas por Chezy e Manning podem parecer muito simples; no entanto, elas representam interações complexas de parâmetros hidráulicos de fluidos em canais abertos. O processo experimental apresentado neste artigo pode ser usado para estudar essas interações. O uso deste método experimental, na base muito limitada e estreita descrita acima, sugere que a diferença entre as equações de Chezy e Manning pode não ser tão grande quanto parece. A diferença real pode ser mais no grau de dependência que cada coeficiente de resistência ao fluxo tem sobre o Fator de correção da cabeça de velocidade e o raio hidráulico.
—Lee H. Sheldon, PE é um engenheiro hidrelétrico com 50 anos de experiência. Ele publicou 33 artigos técnicos e um livro de faculdade sobre engenharia hidrelétrica, e trabalhou em todos os projetos hidrelétricos federais no noroeste do Pacífico, entre outros. Foi professor em OIT, onde ensinou engenharia hidrelétrica e mecânica de fluidos.