O astrônomo Galileu Galilei em seu Il Saggiatore escreveu que ” é escrito na linguagem da matemática, e seus personagens são triângulos, círculos e outras figuras geométricas.”Os artistas que se esforçam e buscam estudar a natureza devem primeiro, na visão de Galileu, entender plenamente a matemática. Matemáticos, por outro lado, procuraram interpretar e analisar a arte através da lente da geometria e da racionalidade. O matemático Felipe Cucker sugere que a matemática, e especialmente a geometria, é uma fonte de regras para a “criação artística guiada por regras”, embora não seja a única. Algumas das muitas vertentes da complexa relação resultante são descritas abaixo.
o matemático Jerry P. King descreve a matemática como uma arte, afirmando que “as chaves da matemática são a beleza e elegância e não a monotonia e a tecnicidade”, e que a beleza é a força motivadora para a pesquisa matemática. King cita o ensaio de 1940 do matemático G. H. Hardy um pedido de desculpas do matemático. Nele, Hardy discute por que ele encontra dois teoremas dos tempos clássicos como primeira taxa, ou seja, a prova de Euclides há infinitamente muitos números primos, e a prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional. King avalia este último contra os critérios de Hardy para elegância matemática: “seriousness, depth, generality, unexpectedness, inevitability, and economy” (King’s italics), and describes the proof as “aesthetically pleasing”. O matemático Húngaro Paul Erdős concordou que a matemática possuía beleza, mas considerou as razões além da explicação: “por que os números são bonitos? É como perguntar porque é bonita A Nona Sinfonia de Beethoven. Se não percebes porquê, alguém não te pode dizer. Sei que os números são lindos.”
ferramentas matemáticas para artEdit
outras informações: List of mathematical artists, fractal art, and computer art
Mathematics can be discerned in many of the arts, such as music, dance, painting, architecture, and sculpture. Cada um deles é ricamente associado com a matemática. Entre as conexões com as artes visuais, a matemática pode fornecer ferramentas para artistas, como as regras de perspectiva linear descritas por Brook Taylor e Johann Lambert, ou os métodos de Geometria Descritiva, agora aplicados na modelagem de software de sólidos, datando de Albrecht Dürer e Gaspard Monge. Artistas de Luca Pacioli na Idade Média e Leonardo Da Vinci e Albrecht Dürer no Renascimento fizeram uso e desenvolveram ideias matemáticas na busca de seu trabalho artístico. O uso da perspectiva começou, apesar de alguns usos embrionários na arquitetura da Grécia antiga, com pintores italianos como Giotto no século XIII; regras como o ponto de desaparecimento foram formuladas pela primeira vez por Brunelleschi em cerca de 1413, sua teoria influenciando Leonardo e Dürer. O trabalho de Isaac Newton sobre o espectro óptico influenciou a teoria das cores de Goethe e, por sua vez, artistas como Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, os pré-rafaelitas e Wassily Kandinsky. Os artistas também podem optar por analisar a simetria de uma cena. As ferramentas podem ser aplicadas pelos matemáticos que estão explorando a arte ou artistas inspirados pela matemática, tais como M. C. Escher (inspirado H. S. M. Coxeter) e o arquiteto Frank Gehry, que de forma mais ténue argumentou que, computer aided design, permitiu-lhe expressar-se em uma situação completamente nova forma.
O artista Richard Wright argumenta que os objetos matemáticos que podem ser construídos pode ser visto “como os processos para simular fenômenos” ou como obras de “arte”. He considers the nature of mathematical thought, observing that fractals were known to mathematicians for a century before they were recognised as such. Wright conclui afirmando que é apropriado submeter objetos matemáticos a quaisquer métodos usados para “chegar a termos com artefatos culturais como a arte, a tensão entre objetividade e subjetividade, seus significados metafóricos e o caráter dos sistemas representativos. Ele dá como instâncias uma imagem do conjunto Mandelbrot, uma imagem gerada por um algoritmo de autômato celular, e uma imagem renderizada por computador, e discute, com referência ao teste de Turing, se os produtos algorítmicos podem ser arte. Matemática e arte de Sasho Kalajdzievski: An Introduction to Visual Mathematics takes a similar approach, looking at appropriately visual mathematics topics such as mallings, fractals and hyperbolic geometry.
algumas das primeiras obras de arte computacional foram criadas pela “Drawing Machine 1” de Desmond Paul Henry, uma máquina analógica baseada em um computador de mira de bombas e exibida em 1962. A máquina era capaz de criar desenhos de linha complexos, abstratos, assimétricos, curvilíneos, mas repetitivos. Mais recentemente, Hamid Naderi Yeganeh criou formas sugestivas de objetos do mundo real, como peixes e aves, usando fórmulas que são sucessivamente variadas para desenhar famílias de curvas ou linhas anguladas. Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen criam obras de arte gerativa ou algorítmica escrevendo scripts para um sistema de software como o synth estrutura: o artista efetivamente dirige o sistema para aplicar uma desejada combinação de operações matemáticas a um conjunto escolhido de dados.
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Matemáticas escultura e bate-seba Grossman, 2007
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Fractal escultura: 3D Fraktal 03/H/dd por Hartmut Skerbisch, 2003
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Fibonacci palavra: detalhe da obra de arte por Samuel Monnier, 2009
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arte de Computador a imagem produzida por Paul Desmond Henry “Máquina de Desenho 1”, exibido 1962
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Um Pássaro em Vôo, por Hamid Naderi Yeganeh, 2016, construído com uma família de curvas matemáticas.
da matemática a artEdit
O matemático e físico teórico Henri Poincaré a Ciência e a Hipótese foi amplamente lido pelo Cubists, incluindo Pablo Picasso e Jean Metzinger. Estando completamente familiarizado com o trabalho de Bernhard Riemann sobre geometria não euclidiana, Poincaré estava mais do que ciente de que a geometria euclidiana é apenas uma das muitas configurações geométricas possíveis, ao invés de ser uma verdade objetiva absoluta. A possível existência de uma quarta dimensão inspirou os artistas a questionar a perspectiva Renascentista clássica: a geometria não-euclidiana tornou-se uma alternativa válida. O conceito de que a pintura poderia ser expressa matematicamente, em cor e forma, contribuiu para o cubismo, o movimento artístico que levou à arte abstrata. Metzinger, em 1910, escreveu que: “estabelece uma perspectiva livre e móvel, a partir da qual o engenhoso matemático Maurice Princet deduziu toda uma geometria”. Mais tarde, Metzinger escreveu em suas memórias:
Maurice Princet juntava-se a nós muitas vezes … foi como um artista que ele conceituou a matemática, como um esteticista que ele invocou continuums n-dimensional. Ele adorava fazer com que os artistas se interessassem pelas novas vistas sobre o espaço que haviam sido abertas por Schlegel e alguns outros. Ele conseguiu.
the impulse to make teaching or research models of mathematical forms naturally creates objects that have symmetries and surprising or pleasing shapes. Alguns destes inspiraram artistas como os Dadaists Man Ray, Marcel Duchamp e Max Ernst, e seguindo Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotografou alguns dos modelos matemáticos no Institut Henri Poincaré, em Paris, incluindo Objet mathematique (objeto Matemático). He noted that this represented Enneper surfaces with constant negative curvature, derived from the pseudo-sphere. Esta fundação Matemática foi importante para ele, pois permitiu-lhe negar que o objeto era “abstrato”, em vez de afirmar que era tão real quanto o urinol que Duchamp transformou em uma obra de arte. Man Ray admitiu que a fórmula do objeto “não significava nada para mim, mas as próprias formas eram tão variadas e autênticas como qualquer outra natureza. Ele usou suas fotografias dos modelos matemáticos como figuras em sua série que ele fez nas peças de Shakespeare, como sua pintura de 1934 Antônio e Cleópatra. A arte repórter Jonathan Keats, escrita em ForbesLife, argumenta que Man Ray fotografado “o elī parabolóides e cônica pontos no mesmo sensual luz como as suas imagens de Kiki de Montparnasse” e “engenhosamente repurposes o legal cálculos de matemática para revelar a topologia do desejo”. Escultores do século XX, como Henry Moore, Barbara Hepworth e Naum Gabo se inspiraram em modelos matemáticos. Moore escreveu sobre sua mãe e filho de 1938: “sem dúvida a fonte de minhas figuras de cordas foi o Museu da ciência … Fiquei fascinado pelos modelos matemáticos que vi lá … Não foi o estudo científico destes modelos, mas a capacidade de olhar através das cordas como com uma gaiola de pássaro e ver uma forma dentro de outra que me excitou.”
Os artistas Theo van Doesburg e Piet Mondrian, fundou o movimento De Stijl, o que eles queriam para “estabelecer um vocabulário visual composto de elementares formas geométricas compreensível por todos e adaptável a qualquer disciplina”. Muitas de suas obras de arte consistem visivelmente de quadrados governados e triângulos, às vezes também com círculos. De Stijl artists worked in painting, furniture, interior design and architecture. Após o rompimento de de Stijl, Van Doesburg fundou o movimento Concreto Da Arte de vanguarda, descrevendo sua composição aritmética de 1929-1930, uma série de quatro quadrados negros na diagonal de um fundo quadrado, como “uma estrutura que pode ser controlada, uma superfície definida sem elementos de chance ou caprice individual”, ainda “não faltando em espírito, não faltando o universal e não … vazio como tudo o que se ajusta ao ritmo interno”. O crítico de arte Gladys Fabre observa que duas progressões estão em andamento na pintura, a saber, os quadrados negros em crescimento e os fundos alternados.
The mathematics of tessellation, polyhedra, shaping of space, and self-reference provided the graphic artist M. C. Escher (1898-1972) with a lifetime worth of materials for his woodcuts. No Sketch Alhambra, Escher mostrou que a arte pode ser criada com polígonos ou formas regulares como triângulos, quadrados e hexágonos. Escher usou polígonos irregulares ao puxar o plano e muitas vezes usou reflexões, reflexos deslizantes e traduções para obter mais padrões. Muitas de suas obras contêm construções impossíveis, feitas usando objetos geométricos que estabelecem uma contradição entre projeção de perspectiva e três dimensões, mas são agradáveis à vista humana. A ascensão e descida de Escher é baseada na “escadaria impossível” criada pelo cientista médico Lionel Penrose e seu filho, o matemático Roger Penrose.Alguns dos muitos desenhos de tesselação de Escher foram inspirados em conversas com o matemático H. S. M. Coxeter sobre geometria hiperbólica. Escher estava especialmente interessado em cinco poliedros específicos, que aparecem muitas vezes em seu trabalho. Os sólidos platônicos-tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros—são especialmente proeminentes em ordem e caos e quatro sólidos regulares. Estas figuras esteladas muitas vezes residem dentro de outra figura que distorce ainda mais o ângulo de visão e conformação dos poliedros e fornece uma obra de arte de perspectiva multifacetada.
a complexidade visual das estruturas matemáticas, tais como tesselações e poliedros, inspiraram uma variedade de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin faz quebra-cabeças poliedrais em madeiras raras e bonitas; George W. Hart trabalha sobre a teoria da poliedra e esculpe objetos inspirados por eles; Magnus Wenninger faz modelos “especialmente bonitos” de poliedros.
as perspectivas Distorcidas de anamorfose têm sido exploradas na arte desde o século XVI, quando Hans Holbein, o jovem, incorporou um crânio severamente distorcido em sua pintura de 1533 os Embaixadores. Muitos artistas desde então, incluindo Escher, têm feito uso de Truques anamórficos.
a matemática da topologia inspirou vários artistas nos tempos modernos. O escultor John Robinson (1935-2007) criou trabalhos como o nó górdio e bandas de amizade, exibindo a teoria dos nós em bronze polido. Outros trabalhos de Robinson exploram a topologia dos toros. Gênesis é baseado em anéis Borromeanos – um conjunto de três círculos, nenhum dos quais ligação, mas em que toda a estrutura não pode ser desmontada sem quebrar. O escultor Helaman Ferguson cria superfícies complexas e outros objetos topológicos. Suas obras são representações visuais de objetos matemáticos; a forma oito vezes é baseada no grupo linear especial projetivo PSL(2,7), um grupo finito de 168 elementos. O escultor Bathsheba Grossman também baseia seu trabalho em estruturas matemáticas. O artista Nelson Saiers incorpora conceitos matemáticos e teoremas em sua arte de toposes e esquemas para o teorema das quatro cores e a irracionalidade de π.
a liberal arts inquiry project examines connections between mathematics and art through the Möbius strip, flexagons, origami and panorama photography.Objetos matemáticos incluindo o coletor Lorenz e o plano hiperbólico foram criados usando artes de fibra, incluindo crochê. The American weaver ada Dietz wrote a 1949 monograph Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, defining weaving patterns based on the expansion of multivariate polynomials. O matemático Daina Taimiņa demonstrou características do plano hiperbólico por crochê em 2001. Isso levou Margaret e Christine Wertheim para crochê um recife de coral, consistindo de muitos animais marinhos, como nudibrânquios cujas formas são baseadas em planos hiperbólicos. O matemático J. C. P. Miller usou a regra 90 autômato celular para projetar tapeçarias representando árvores e padrões abstratos de triângulos. Os” mathekniticians ” Pat Ashforth e Steve Plummer usam versões tricotadas de objetos matemáticos como hexaflexagons em seus ensinamentos, embora sua esponja Menger provou ser muito problemática para tricotar e foi feita de tela de plástico em vez disso. Seu projeto “mathghans” (Afegãos para escolas) introduziu o tricô no currículo britânico de matemática e Tecnologia.
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espaço tridimensional ao cubismo: Esprit Jouffret’s 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.
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De Stijl: Theo van Doesburg da Composição geométrica eu (Ainda Vida), 1916
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Pedagogia da arte: Magnus Wenninger com alguns de seus estrelado poliedros, 2009
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Uma tira de Möbius cachecol em crochet, 2007
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Anamorphism: Os Embaixadores de Hans Holbein, o Jovem, 1533, com gravemente distorcida do crânio em primeiro plano
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Malha de recifes de coral: muitos animais modelados como planos hiperbólicos com diferentes parâmetros por Margaret e Christine Wertheim. Utensílios de Recife, em Tübingen, 2013
Ilustrando mathematicsEdit
Modelação está longe de ser a única forma possível para ilustrar conceitos matemáticos. Giotto Stefaneschi Tríptico, 1320, ilustra a recursividade na forma de mise en abyme; o painel central do tríptico contém, inferior esquerdo, o ajoelhando-se a figura do Cardeal Stefaneschi, segurando o tríptico como uma oferta. As pinturas metafísicas de Giorgio De Chirico, como seu grande interior metafísico de 1917, exploram a questão dos níveis de representação na arte retratando pinturas dentro de suas pinturas.
a arte pode exemplificar paradoxos lógicos, como em algumas pinturas do surrealista René Magritte, que pode ser lido como piadas semióticas sobre confusão entre níveis. Em La condition humaine (1933), Magritte retrata um cavalete (sobre a tela real), sustentando perfeitamente uma vista através de uma janela que é enquadrada por cortinas “reais” na pintura. Similarmente, Escher’s Print Gallery (1956) é uma impressão que retrata uma cidade distorcida que contém uma galeria que contém recursivamente a imagem, e assim ad infinitum. Magritte fez uso de esferas e cubos para distorcer a realidade de uma forma diferente, pintando-os ao lado de uma variedade de casas em sua aritmética Mental de 1931 como se fossem blocos de construção de crianças, mas de tamanho de casa. The Guardian observed that the ” eerie toytown image “prophesied Modernism’s usurpation of” cosy traditional forms”, but also plays with the human tendency to seek patterns in nature.
Salvador Dalí última pintura, A Cauda de Andorinha (1983), foi parte de uma série inspirada por René Thom catástrofe teoria. O pintor e escultor espanhol Pablo Palazuelo (1916-2007) focou-se na investigação da forma. Ele desenvolveu um estilo que ele descreveu como a geometria da vida e a geometria de toda a natureza. Consisting of simple geometric shapes with detailed patterning and coloring, in works such as Angular I and Automnes, Palazuelo expressed himself in geometric transformations.
o artista Adrian Gray pratica balanceamento de pedra, explorando o atrito e o centro de gravidade para criar composições impressionantes e aparentemente impossíveis.
os artistas, no entanto, não tomam necessariamente a geometria literalmente. Como Douglas Hofstadter escreveu em sua 1980 reflexão sobre o pensamento humano, Gödel, Escher, Bach, por meio de (entre outras coisas) a matemática da arte: “A diferença entre um Escher desenho e geometria não-Euclidiana é que no segundo, compreensível interpretações podem ser encontradas para os termos indefinidos, resultando em um compreensível total do sistema, enquanto que, para os antigos, o resultado final não é conciliável com uma concepção do mundo, não importa quanto tempo um olha para as imagens. Hofstadter discusses the seemingly paradoxical lithograph Print Gallery by M. C. Escher; retrata uma cidade à beira-mar contendo uma galeria de arte que parece conter uma pintura da cidade à beira-mar, havendo um “loop estranho, ou hierarquia emaranhada” para os níveis da realidade na imagem. O próprio artista, observa Hofstadter, não é visto; sua realidade e sua relação com a litografia não são paradoxais. O vazio central da imagem também atraiu o interesse dos matemáticos Bart de Smit e Hendrik Lenstra, que propõem que ela poderia conter uma cópia de efeito Droste de si mesma, rodada e encolhida; esta seria uma outra ilustração da recursão além da observada por Hofstadter.
Analysis of art historyEdit
Algorithmic analysis of images of artworks, for example using X-ray fluorescence spectroscopy, can reveal information about art. Tais técnicas podem revelar imagens em camadas de tinta, mais tarde, coberto por um artista; ajudar os historiadores de arte para visualizar uma obra de arte, antes rachado ou fraca; ajuda para contar uma cópia de um original, ou distinguir o traço estilo de um mestre daqueles de seus aprendizes.
pintura de Jackson Pollock gotejamento estilo tem uma clara dimensão fractal; entre os artistas que podem ter influenciado Pollock caos controlado, Max Ernst pintado figuras de Lissajous diretamente o balanço de um balde furado, de pintar sobre uma tela.O cientista da computação Neil Dodgson investigou se as pinturas de Bridget Riley poderiam ser caracterizadas matematicamente, concluindo que enquanto a distância de separação poderia “fornecer alguma caracterização” e a Entropia global trabalhou em algumas pinturas, a autocorrelação falhou porque os padrões de Riley eram irregulares. A Entropia Local funcionou melhor, e correlacionou-se bem com a descrição dada pelo crítico de arte Robert Kudielka.
a medida estética do matemático americano George Birkhoff em 1933 propõe uma métrica quantitativa da qualidade estética de uma obra de arte. Ele não tenta medir as conotações de uma obra, como o que uma pintura pode significar, mas é limitado aos “elementos de ordem” de uma figura poligonal. Birkhoff combina primeiramente (como uma soma) cinco elementos tais: Se existe um eixo vertical de simetria; se existe equilíbrio óptico; quantas simetrias rotacionais tem; como o papel de parede-como a figura é; e se existem características insatisfatórias como ter dois vértices muito próximos. Esta métrica, o, tem um valor entre -3 e 7. A segunda métrica, C, conta elementos da figura, que para um polígono é o número de linhas retas diferentes contendo pelo menos um de seus lados. Birkhoff então define sua medida estética da beleza de um objeto como o/C. Isto pode ser interpretado como um equilíbrio entre o prazer de olhar para o objeto dá, e a quantidade de esforço necessário para tomá-lo. A proposta de Birkhoff tem sido criticada de várias maneiras, não menos importante para tentar colocar a beleza em uma fórmula, mas ele nunca afirmou ter feito isso.
estímulos a estudos matemáticos
Arte tem, por vezes, estimulado o desenvolvimento da matemática, como quando Brunelleschi teoria da perspectiva, na arquitectura e na pintura começou um ciclo de pesquisa que levou ao trabalho de Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert sobre as bases matemáticas do desenho em perspectiva, e, finalmente, para a matemática e a geometria projetiva de Girard Desargues e Jean-Victor Poncelet.
a arte japonesa de dobragem de papel do origami foi reformulada matematicamente por Tomoko Fusé usando módulos, pedaços congruentes de papel como quadrados, e tornando-os em poliedros ou malhas. Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs. The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa’s theorem, Kawasaki’s theorem, and the Huzita–Hatori axioms.
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Stimulus to projective geometry: Alberti’s diagram showing a circle seen in perspective as an ellipse. Della Pitura, 1435-6
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Origami matemático: primavera em ação, por Jeff Beynon, feito a partir de um único retângulo de papel.
Ilusão Op artEdit
ilusões ópticas como a espiral de Fraser demonstram de forma impressionante limitações na percepção visual humana, criando o que o historiador de arte Ernst Gombrich chamou de “truque desconcertante”.”As cordas pretas e brancas que parecem formar espirais são, na verdade, círculos concêntricos. A meados do século xx, Op art ou arte óptica estilo de pintura e gráficos explorados, tais efeitos para criar a impressão de movimento e intermitentes ou padrões de vibração visto no trabalho de artistas como Bridget Riley, Spyros Horemis, e Victor Vasarely.
Sacred geometryEdit
A strand of art from Ancient Greece onwards sees God as the geometer of the world, and the world’s geometry therefore as sacred. A crença de que Deus criou o universo de acordo com um plano geométrico tem origens antigas. Plutarco atribuiu a crença a Platão, escrevendo que” Platão disse Deus geometrizes continuamente ” (Conviialium disputationum, liber 8,2). Esta imagem tem influenciado o pensamento ocidental desde então. O conceito platônico derivado, por sua vez, de uma noção pitagórica de Harmonia na música, onde as notas foram espaçadas em proporções perfeitas, correspondendo ao comprimento das cordas da lira; na verdade, os pitagóricos sustentavam que tudo era organizado por número. Da mesma forma, no pensamento platônico, os sólidos regulares ou platônicos ditam as proporções encontradas na natureza e na arte. Uma luz no século 13 Codex Vindobonensis mostra Deus a desenhar o universo com um par de compassos, que pode se referir a um versículo no Antigo Testamento: “Quando ele estabeleceu os céus, aí estava eu, quando traçava um círculo sobre a face do abismo” (Provérbios 8:27), . Em 1596, o astrônomo matemático Johannes Kepler modelou o universo como um conjunto de sólidos platônicos aninhados, determinando os tamanhos relativos das órbitas dos planetas. O antigo dos dias de William Blake (retratando Urizen, a personificação de Blake da razão e da lei) e sua pintura do físico Isaac Newton, nu, curvado e desenhado com uma bússola, usam o simbolismo de bússolas para criticar a razão convencional e o materialismo como tacanho.A Crucificação de Salvador Dalí em 1954 (Corpus Hypercubus) retrata a cruz como um hipercubo, representando a perspectiva divina com quatro dimensões ao invés das três habituais. Em Dalí, o sacramento da Última Ceia (1955), Cristo e seus discípulos são retratados dentro de um dodecaedro gigante.
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Deus o geómetro. Codex Vindobonensis, c. 1220
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A criação, com o Pantocrator do rolamento . Bíblia de são Luís, c. 1220-40
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Johannes Kepler sólido de Platão modelo de planetário espaçamento no sistema solar a partir de Mysterium Cosmographicum, 1596
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William Blake O Ancião de Dias, 1794
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William Blake é o Newton, c. 1800