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stress Deviatoric and invariants

Posted by: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020

o tensor de tensão pode ser expresso como a soma de dois tensores de tensão, nomeadamente: o tensor de tensão hidrostático e o tensor de tensão desviatorico. Neste artigo definiremos a parte hidrostática e desviatória do tensor de stress e calcularemos os invariantes do tensor de desvio de stress. Os invariantes do estresse deviatorico são usados frequentemente em critérios de falha.

considere um tensor de stress \ (\sigma_{ij}\) actuando sobre um corpo. O corpo stressado tende a mudar tanto o seu volume como a sua forma. A parte do tensor de tensão que tende a mudar o volume do corpo é chamada tensor de tensão hidrostática média ou tensor de tensão volumétrica. A parte que tende a distorcer o corpo é chamada tensor de desvio de stress. Por conseguinte, o tensor de stress pode ser expresso como:

\
(1)

onde \( \delta_{ij} \) é o delta de Kronecker (com \( \delta_{ij}=1 \) se \( i=j \) e \( \delta_{ij}=0 \) se \( i\neq j \) ), \( p \) é a média de estresse dada por:

\
(2)

onde \( I_{1} \) é o primeiro invariante do stress tensor (ver também: Principais tensões e estresse constantes). O produto \ (p\delta_{ij} \) é o tensor de stress hidrostático e contém apenas tensões normais. O deviatoric stress tensor pode ser obtido pela subtração da hidrostática stress tensor de stress tensor:

\\end{array} \]
(3)

a fim de calcular as constantes de estresse deviator tensor nós vamos seguir o mesmo procedimento utilizado no artigo Principal de tensões e estresse constantes. Deve-se mencionar que as principais direções do tensor de desvio de estresse coincidem com as direções principais do tensor de estresse. A equação característica para \ (s_{ij} \) é:

\
(4)

onde \( J_{1} \), \( J_{2} \) e \( J_{3} \) são o primeiro, o segundo e o terceiro deviatoric estresse constantes, respectivamente. As raízes do polinômio são as três principais tensões desviatóricas \ (s_{1} \), \ (s_{2}\) e \( s_{3}\). \( J_{1} \), \( J_{2} \) e \( J_{3} \) podem ser calculados pelas seguintes expressões::

\\\&+\sigma_{12}^2+\sigma_{23}^2+\sigma_{31}^2\\=&\frac{1}{3}I_{1}^{2}-I_{2}\\J_{3}=&\det(s_{ij})\\=&\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}\\=&\frac{2}{27}I_{1}^{3}-\frac{1}{3}I_{1}I_{2}+I_{3}\end{array} \]
(5)

onde \( I_{1} \), \( I_{2} \) e \( I_{3} \) são os três invariantes de stress tensor e \( \det(s_{ij}) \) é o determinante de \( s_{ij} \). Deve-se mencionar que desde \( J_{1}=s_{kk}=0 \), o tensor do desvio de stress descreve um estado de cisalhamento puro.

exemplo

Calcule o tensor do desvio de stress e os seus invariantes para o seguinte tensor de stress:

\ \]
(6)

mostrar a solução…

em Primeiro lugar, vamos calcular a pressão média \( p \):

\
(7)

a Partir da equação (3) vamos calcular o stress tensor deviator:

\ \]
(8)

Para o estresse deviator tensores invariantes, vamos utilizar as equações (5) e podemos obter:

\
(9)

Finalmente, a equação característica é:

\
(10)

Tags: álgebra| autovalores| invariáveis| mecânica| tensores

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