Chezy și Manning au dezvoltat ecuații care sunt utilizate pentru a determina debitul volumetric mediu în canalele deschise. Acest articol explică o metodă de laborator care a fost dezvoltată și testată pentru a identifica și cuantifica în continuare parametrii care alcătuiesc coeficienții de rugozitate ai acestor ecuații. Această metodă folosește un canal hidraulic și folosește tehnica omogenității dimensionale și o nouă formă exponențială a unei ecuații pentru calibrarea instrumentului.
măsurarea cu precizie a vitezelor medii în canale sau canale cu suprafețe deschise atmosferei a fost o provocare de secole. Cu cât este mai mare aria secțiunii transversale a debitului, cu atât este mai mare inexactitatea sau incertitudinea măsurării.
fluxul cu canal deschis este guvernat de relația Froude, raportul dintre forțele inerțiale și forțele gravitaționale. Astfel, s-a recunoscut la începutul istoriei hidraulicii că formula pentru o astfel de viteză medie ar trebui să fie un echilibru între gravitație, provocând curgerea și rugozitatea canalului, căutând să întârzie curgerea. S-a recunoscut, de asemenea, că orice astfel de formulă ar trebui să fie pentru un flux uniform, adică pentru un flux constant, astfel încât adâncimea apei în raport cu fundul căii navigabile să fie o constantă sau d(y)/dx = 0.
se remarcă faptul că în țeavă sau flux sub presiune cuvântul uniformă are un sens diferit. În această aplicație, înseamnă că profilul vitezei are o viteză constantă pe întreaga secțiune transversală. Pe de altă parte, hidraulica cu canal deschis nu are niciun cuvânt pentru viteza constantă pe o secțiune transversală. În acest articol,” normal ” înseamnă prima dintre aceste două definiții, adică starea de echilibru și adâncimea constantă. Toate unitățile din acest articol sunt unități de inginerie așa cum sunt utilizate în mod obișnuit în ecuațiile SUA
dezvoltate de Chezy și Manning
prima formulă de „rezistență” recunoscută și cea mai durabilă pentru starea de echilibru, fluxul cu canal deschis este creditat lui Antoine Chezy. El a fost însărcinat cu determinarea secțiunii transversale și calcularea descărcării pentru alimentarea cu apă din Paris și creșterea debitului acesteia. El a făcut acest lucru în 1768 prin compararea condițiilor de curgere între două cursuri de apă, canalul Courpalet și râul Sena. Formula sa rezultată a fost publicată în raportul său despre Canal de l ‘ Yvette ca:
Vavg = C X R1 / 2 X S1/2
unde Vavg este viteza medie în picioare pe secundă; C este factorul de rezistență la curgere al lui Chezy în picioare1/2 / sec; R este raza hidraulică (aria secțiunii transversale împărțită la perimetrul umezit) în picioare; și S este panta, care este adimensională. Cu toate acestea, munca lui Chezy a primit puțină atenție până la mulți ani după moartea sa.
în 1889, un irlandez pe nume Robert Manning, care era inginer șef al Biroului de lucrări publice din Irlanda, a prezentat o lucrare intitulată „Despre fluxul de apă în canale și conducte deschise.”Deși interesul său principal pare să fi fost hidrologia, el a derivat o formulă medie de „rezistență” pentru canalele deschise din toate formulele de rezistență diferite publicate până în acel moment. În formatul de astăzi, această ecuație, pe care o vom numi ecuația 1 pentru referințe viitoare, este:
Vavg = (1.486 / n) x R2/3 X S1/2
unde n este coeficientul de rugozitate al lui Manning, care este același numeric în sistemele dimensionale americane sau metrice. În sistemul american, are unități de secundă / picioare1 / 3. Dacă se utilizează unități metrice, 1.486 se înlocuiește cu 1.0 și unitățile sale sunt secunde / metru1 / 3.
ecuația lui Manning a fost cea mai reușită dintre toate ecuațiile empirice cu canal deschis, bazate pe rezistența la curgere și derivate din observație. De fapt, nu este o exagerare să spunem că este piatra de temelie a științei de astăzi a ingineriei hidraulice.
cu toate acestea, în sensul clasic, atât ecuațiile lui Chezy, cât și cele ale lui Manning au mai multe deficiențe similare. În primul rând, ele nu au omogenitate dimensională, adică unitățile din partea stângă nu sunt aceleași cu unitățile din partea dreaptă. Astfel de ecuații sunt de obicei derivate prin experimentare sau observare și își pierd rapid precizia dacă sunt extrapolate dincolo de domeniul lor de observație. Se știe că ecuația lui Manning pierde precizia cu pante foarte abrupte sau superficiale. În al doilea rând, pentru a obține omogenitatea dimensională, constantele sau coeficienții lor nu sunt numere pure, ci sunt unități atribuite artificial.
mai mult, ecuația lui Manning sugerează că viteza medie este mai sensibilă la raza hidraulică decât la pantă. Aceasta este într-adevăr o incompatibilitate, deoarece însăși natura fluxului cu canal deschis este o funcție a componentei pantei gravitației. Forma trecerii apei, calculată de raza hidraulică, exercită un efect asupra rugozității absolute, dar nu este un efect primar asupra vitezei medii în sine. Cu cât raportul razei hidraulice este mai mic, cu atât este mai mare procentul debitului care este în contact cu rugozitatea limitelor.
în plus, însăși natura ecuațiilor este o contradicție. Ecuațiile descriu o viteză medie care există la o secțiune transversală perpendiculară pe flux. O astfel de secțiune transversală are o grosime infinitezimală în direcția fluxului, în timp ce ecuațiile se bazează pe coeficienți care sunt denumiți „coeficienți de rugozitate.”Dar efectul unei astfel de rugozități are nevoie de o lungime finită pentru a exista—nu poate avea un efect asupra unei grosimi infinitezimale. Aceasta înseamnă că rugozitatea în sine trebuie să acționeze asupra unui alt parametru care poate exista pe o lungime infinitezimală pentru a întârzia viteza de curgere.
teoria din spatele unui Experiment de laborator
preciziile ecuațiilor lui Chezy și Manning depind de selectarea coeficienților lor individuali de rugozitate. Acest lucru se face de obicei prin comparație cu fluxuri similare cunoscute sau dintr-o carte de referință a imaginilor fluxurilor. Cu toate acestea, în articolul intitulat „forma dimensională omogenă a ecuațiilor Chezy și Manning”, publicat de Hydro Review în aprilie 2014, am propus o nouă metodă experimentală de determinare a părților constitutive care cuprind acești coeficienți de rugozitate.
pentru a demonstra tehnica, am prezentat unei clase de absolvenți în ingineria energiei regenerabile înscriși la cursul de laborator hidraulic de la Oregon Institute of Technology (OIT) din Wilsonville, Oregon, un experiment conceput pentru a identifica și cuantifica componentele coeficienților de rugozitate. Acest experiment s-ar concentra pe ecuația lui Manning și s-a bazat pe utilizarea principiului omogenității dimensionale. Studenții absolvenți ai OIT care au participat la acest experiment de laborator au fost Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong și Asmitha Velivela.
în primul rând, s-au format doi parametri: Hv/S și R. Hv reprezintă capul de viteză, adică Hv = (XV x Vavg2) / (2 x g), unde se numește factorul de corecție a capului de viteză sau factorul Coriolis. Acest multiplicator reprezintă energia suplimentară conținută în fluxul de presiune deschis sau închis care există ori de câte ori un profil de viteză nu este constant pe o zonă a secțiunii transversale. Acest lucru se datorează faptului că energia fluidă este o funcție a pătratului vitezei, iar suma pătratelor din fiecare tub de flux fluid este mai mare decât pătratul sumei vitezelor din fiecare tub de flux.
din punct de vedere numeric, cifra este întotdeauna egală sau mai mare decât unu și este adimensională. Panta sau s ar fi putut să apară pe ambele părți parametrice, dar a fost atribuită parametrului Hv, deoarece în hidraulică există dovezi mai mult decât ample că viteza medie este o funcție a rădăcinii pătrate a pantei, adică Vavg S1/2. Apoi, a fost conceput un experiment de laborator care să permită obținerea datelor și reprezentarea grafică ca Hv/s versus R, ambele având unități de picioare. Prin urmare, orice ecuație experimentală rezultată ar trebui să aibă omogenitate dimensională.
unitățile lui Hv, din ecuația lui Bernoulli, sunt lire sterline pe kilogram sau „energie specifică”, dar sunt încă omogene cu R, care are unități de picioare. Trebuie remarcat faptul că, pe măsură ce R devine mai mare, perimetrul udat (P) devine mai mic în raport cu zona (a). Aceasta înseamnă că rezistența la frecare la curgere trebuie să devină mai mică și, prin urmare, viteza medie ar trebui să crească. Cu alte cuvinte, o relație liniară între Hv/S și R ar trebui să aibă o pantă pozitivă.
aparat de testare
un mic canal de laborator cu pat înclinat, cu o pompă de recirculare a piscinei, pe care un student a construit-o convenabil semestrul anterior, a fost adaptat pentru utilizare. A fost imediat evident că măsurarea factorului de corecție a capului de viteză într-un canal atât de mic ar fi imposibilă. Cea mai bună alternativă a fost măsurarea doar a pantei, a vitezei medii și a adâncimii apei pentru un flux critic și uniform.
la debitul critic, unde numărul Froude este egal cu unu, cea mai mică energie hidraulică este conținută pentru o anumită cantitate de fluid în mișcare. În consecință, nu ar trebui să existe energie suplimentară disponibilă pentru a forma un profil de viteză neconstantă, iar factorul de corecție a capului de viteză ar trebui să fie aproape de unul. În plus, deoarece canalul era scurt, energia din fluidul care intra în canal trebuia să fie potrivită cu nivelul de energie dorit pentru un debit dat în canal, astfel încât fluxul uniform sau constant să fie atins imediat.
nu a fost posibil să se adapteze pompa piscina care fin. În consecință, echipa de cercetători a ales să aducă un al doilea rezervor de apă, să descarce pompa în acel rezervor și apoi să sifoneze cu grijă din acel rezervor în canal. Un debitmetru sonic conectat la furtunul dintre rezervor și canal a dat debitul volumetric. A fost nevoie de o cantitate considerabilă de timp și efort pentru a obține totul echilibrat pentru un singur punct de date de stare constantă, uniformă și flux critic într-un canal atât de mic. Cu toate acestea, în cele din urmă au fost colectate trei puncte de date, care au fost suficiente pentru a demonstra această metodă de analiză a datelor (tabelele 1 și 2).
Tabelul 1. Acest tabel prezintă datele colectate în timpul a trei experimente cu canale deschise efectuate în laborator folosind un canal. Sursa: Lee H. Sheldon, PE
Tabelul 2. Acest tabel prezintă datele colectate în timpul a trei experimente cu canale deschise efectuate în laborator folosind un canal. Sursa: Lee H. Sheldon, PE
se subliniază că aceste puncte de date au fost strâns distanțate în ceea ce privește debitul volumetric. Acest lucru se datorează faptului că un canal larg de cinci inci-acționat atât pentru fluxuri uniforme, cât și critice-nu prevedea o gamă largă de variabilitate a debitului. De asemenea, acest experiment a fost realizat într-un canal de Plexiglas foarte neted, unde N-ul lui Manning a fost măsurat ca doar 0,009, în timp ce 0,012 este cea mai netedă valoare din tabelul publicat al canalelor de apă prototip. Prin urmare, orice rezultate numerice ar trebui privite ca aplicându-se numai acestui regim hidraulic foarte îngust.
cu toate acestea, se subliniază, de asemenea, că obiectivul acestui experiment de laborator a fost doar să demonstreze dacă această metodă ar putea fi utilizată în cercetări viitoare, mai ample, pentru a oferi o perspectivă și o precizie suplimentară asupra compoziției componentelor ecuațiilor lui Chezy și, în special, a lui Manning.
tehnica de reducere a datelor
trasarea acestor trei puncte de date a fost făcută în același mod ca ecuația de calibrare a instrumentului descrisă într-un articol pe care l-am scris intitulat „O nouă ecuație de calibrare pentru sistemul de piezometre Winter-Kennedy”, care a fost publicat de Hydro Review în octombrie 2013. Această metodă produce o ecuație de calibrare direct în formă exponențială pentru comparație gata cu ecuațiile cu canal deschis utilizate în mod obișnuit, adică log10(Hv/s) a fost reprezentat grafic ca ordonată sau axa y și log10R a fost reprezentat grafic ca abscisă sau axa x (Figura 1).
1. Această diagramă arată canalul modelului la fluxul critic și uniform. Sursa: Lee H. Sheldon, PE
aceste puncte au aproximat îndeaproape o linie dreaptă și au dat o ecuație de forma: y = mx + b.
log10 (Hv / S) = mlog10R + b = log10 ( Rm) + b
ridicând ambele părți ale ecuației ca puteri de 10 randamente:
10^(log10Hv/s) = 10^(log10Rm + b) = 10B x 10^(log10Rm)
apoi, prin identitate logaritmică:
Hv / s = 10b X Rm
sau
Hv = 10B x S X Rm
înlocuind rezultatele Hv în:
aVavg2/2G = 10B x S X Rm
Termeni de rearanjare dă:
Vavg = (2g10b/Irak)1/2 X S1/2 x Rm/2
substituind valorile numerice ale m = 0.7497 și b = 1.7328 din Figura 1 prevede:
vavg = (2G x 101.7328/inkt)1/2 X S1/2 x (R0.7497)1/2
se remarcă faptul că panta (m) este pozitivă așa cum s-a prezis mai devreme. Prin urmare:
Vavg = (108.1011 g/Irak)1/2 X S1/2 x R0.3749
rezultând următoarea ecuație, pe care o vom numi ecuația 2 pentru referințe viitoare:
Vavg = 10.3972 (GS/XV) 1/2 x R3/8
acum, în această formă, ecuația cu canal deschis conține numai parametri care pot fi determinați pe o arie a secțiunii transversale infinit de subțire. Compararea ecuației 2 cu ecuația 1 oferă o perspectivă asupra relațiilor parametrilor din ecuația lui Manning.
Vavg = 10.3972 x (GS/inkt)1/2 X R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
acum, echivalând doar cele două expresii și anulând termenii S1/2 dă:
10.3972 x (g/inkt)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
combinând termenii r, are ca rezultat:
10.3972 x (G/Irak)1/2 = (1.486/n) x R7/24
ceea ce are ca rezultat următoarele, pe care le vom numi ecuația 3 pentru referințe viitoare:
= 0,1429 x (Irak/g)1/2 X R7 / 24
se observă că ecuația 2 nu are o omogenitate dimensională exactă. Neglijând valorile coeficienților numerici, dacă exponentul lui R ar fi fost 4/8 în loc de 3/8 și cu includerea unităților pentru g (accelerația gravitațională), ar fi avut o omogenitate exactă. Separat, se remarcă faptul că pentru ca ecuația lui Manning să aibă omogenitate dimensională, unitățile lui n din ecuația 1 au fost atribuite istoric artificial ca secunde/picioare1/3 sau secunde/picioare8/24. În ecuația 3, Acum, inclusiv și unități pentru g, n are unități de secunde / picioare5/24.
se consideră că aceste două diferențe în ecuația lui Manning și N A lui Manning se pot datora incertitudinii sau inexactității măsurării datelor în canalul de testare limitat disponibil studenților. Prin urmare, din nou, se subliniază faptul că rezultatele numerice finale ale acestui experiment au probabil un grad de incertitudine, dar metoda de cuantificare mai precisă a ecuației lui Manning este clar demonstrată.
termenul S(g) este panta ori accelerația gravitațională. Pe măsură ce panta, d(y)/dx, devine mai mare, există o forță gravitațională mai mare care acționează pentru a accelera fluxul.
după cum am menționat anterior, ecuația lui Manning este o medie a tuturor ecuațiilor cu canal deschis publicate înainte de 1889. Faptul că nu a inclus efectul factorului de corecție a capului de viteză este destul de ușor de înțeles. Abia în 1877, factorul de corecție a capului vitezei Coriolis a fost recunoscut ca fiind o variabilă și nu o constantă.
relațiile ecuației 2 arată că n al lui Manning este o metrică pentru factorul de corecție a capului de viteză, adică n este proporțional cu 7/2. Teoretic, dacă n este dublat, factorul de corecție a capului de viteză este crescut de patru ori și viteza medie este înjumătățită. Acesta este mecanismul prin care rugozitatea limitelor fluidului acționează pentru a întârzia viteza de curgere pe o secțiune transversală infinit de subțire.
după cum s-a menționat, n-ul lui Manning este direct afectat de raza hidraulică (R7/24). Acest lucru arată că selectarea unui echipaj n nu este doar o funcție a rugozității, ci a formei secțiunii transversale a cursului de apă. Faptul că canalele pot prezenta unele diferențe în n-ul lui Manning datorită formei lor, precum și rugozității lor, a fost documentat anterior în alte literaturi.
într-o lucrare intitulată „determinarea coeficientului de rugozitate pentru canalele căptușite și necăptușite” publicată de stația de cercetare inginerească Karnataka din India, se spune: „fluxul în canale este complicat de faptul că forma elementelor de rugozitate și, prin urmare, rezistența la curgere sunt funcții ale caracteristicilor formei și alinierii canalului. Acești factori alcătuiesc coeficientul de rugozitate sau coeficientul de rugozitate.”Motivul, așa cum am menționat anterior, este cu cât raza hidraulică este mai mică, cu atât este mai mare procentul relativ al volumului de curgere care este în contact direct cu rugozitatea absolută dată a limitei. Prin urmare, cu cât este mai mare tracțiunea pe care limita o impune pentru a întârzia debitul volumetric, cu atât profilul de viteză devine mai neuniform, calculat prin ecuator. Astfel, cu cât raza hidraulică este mai mică, cu atât este mai mare pierderea de energie. În schimb, cu cât raza hidraulică este mai mare, cu atât profilul vitezei tinde să devină uniform pe secțiunea transversală. Întâmplător, c-ul lui Chezy este invers proporțional cu R1/8.
ecuațiile dezvoltate de Chezy și Manning pot părea foarte simple; cu toate acestea, ele reprezintă interacțiuni complexe ale parametrilor hidraulici ai fluidelor în canale deschise. Procesul experimental prezentat în acest articol poate fi utilizat pentru a studia aceste interacțiuni. Utilizarea acestei metode experimentale, pe baza foarte limitată și îngustă descrisă mai sus, sugerează că diferența dintre ecuațiile lui Chezy și Manning poate să nu fie atât de mare pe cât pare. Diferența reală poate fi mai mare în gradul de dependență pe care îl are fiecare coeficient de rezistență la curgere asupra factorului de corecție a capului de viteză și a razei hidraulice.
—Lee H. Sheldon, PE este un inginer hidroenergetic cu 50 de ani de experiență. A publicat 33 de lucrări tehnice și un manual de colegiu privind ingineria Hidroenergetică și a lucrat la fiecare proiect hidroelectric federal din Pacific Northwest, printre altele. A fost anterior profesor la OIT, unde a predat ingineria Hidroenergetică și mecanica fluidelor.