rezultatele importante ale analizei funcționale includ:
Uniform boundedness principleEdit
principiul uniform boundedness sau teorema Banach–Steinhaus este unul dintre rezultatele fundamentale în analiza funcțională. Împreună cu teorema Hahn–Banach și teorema cartografierii deschise, este considerată una dintre pietrele de temelie ale câmpului. În forma sa de bază, afirmă că pentru o familie de operatori liniari continue (și, prin urmare, operatori mărginiți) al căror domeniu este un spațiu Banach, legarea punctuală este echivalentă cu legarea uniformă în norma operatorului.
teorema a fost publicată pentru prima dată în 1927 de Stefan Banach și Hugo Steinhaus, dar a fost dovedită independent și de Hans Hahn.
Teorema (Principiul Legăturii Uniforme). Fie X un spațiu Banach și Y să fie un spațiu vectorial normat. Să presupunem că F este o colecție de operatori liniari continuu de la X la Y. Dacă pentru toți x în X unul are
Sup T_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_t_,
apoi
sup t Int. F INT. t Int .B ( X , Y ) < int. {\displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F}\|T \ / _{B (X, Y)}<\infty .}
Teorema Spectralăedit
există multe teoreme cunoscute sub numele de teorema spectrală, dar una în special are multe aplicații în analiza funcțională.
Teorema: fie a un operator autoadjunct delimitat pe un spațiu Hilbert H. apoi, există un spațiu de măsură (X, circulat, circulat) și o funcție măsurabilă cu valoare reală delimitată în mod esențial f pe X și un operator unitar U: H circulat L2 circulat(X) astfel încât
U circulat T U = a {\displaystyle U^{ * } TU = a\;}
unde T este operatorul de multiplicare:
( x ) = f ( x ) inkt ( x ) . {\displaystyle (x) = f(x)\varphi (x).\;}
si la fel si la fel si la fel si la fel si la fel si la fel si la fel si la fel si la fel }}
acesta este începutul vastei zone de cercetare a analizei funcționale numită teoria operatorului; vezi și măsura spectrală.
există, de asemenea, o teoremă spectrală analogă pentru operatorii normali mărginiți pe spațiile Hilbert. Singura diferență în concluzie este că acum f {\displaystyle f}
poate fi complex-evaluate.
teorema Hahn–Banachedit
teorema Hahn–Banach este un instrument central în analiza funcțională. Permite extinderea funcționalelor liniare delimitate definite pe un subspațiu al unui spațiu vectorial la întregul spațiu și arată, de asemenea, că există „suficiente” funcții liniare continue definite pe fiecare spațiu vectorial normat Pentru a face studiul spațiului dual „interesant”.
teorema lui Hahn–Banach: dacă P : V-R este o funcție sublineară, iar P-R este o funcție liniară pe un subspațiu liniar U-V-ul este dominat de p-u, adică.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \pentrutoate x\în U}
atunci există o extensie liniar ψ : V → R φ pentru întreg spațiul V, de exemplu, există o funcțională liniară ψ astfel încât
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \pentrutoate x\in U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x)\leq p(x) \qquad\forall x \ în V.}
open mapping theoremEdit
teorema open mapping, cunoscută și sub numele de teorema Banach–Schauder (numită după Stefan Banach și Juliusz Schauder), este un rezultat fundamental care afirmă că, dacă un operator liniar continuu între spațiile Banach este surjectiv, atunci este o hartă deschisă. Mai precis,:
teorema mapării deschise. Dacă X și Y sunt spații Banach și A: X X X Y este un operator liniar continuu surjectiv, atunci A este o hartă deschisă (adică. dacă U este un set deschis în X, atunci A (U) este deschis în Y).
dovada folosește teorema categoriei Baire, iar completitudinea atât a lui X, cât și a lui Y este esențială pentru teoremă. Afirmația teoremei nu mai este adevărată dacă oricare dintre spații este doar presupus a fi un spațiu normat, dar este adevărat dacă X și Y sunt considerate a fi spații fr.
Teorema grafului Închisedit
teorema grafului închis afirmă următoarele:Dacă X este un spațiu topologic și Y este un spațiu compact Hausdorff, atunci graficul unei hărți liniare T de la X la Y este închis dacă și numai dacă T este continuu.