stres Deviatoric și invarianți
postat de: Pantelis Liolios | Sept. 16, 2020
tensorul de stres poate fi exprimat ca suma a doi tensori de stres, și anume: tensorul de stres hidrostatic și tensorul de stres deviatoric. În acest articol vom defini partea hidrostatică și deviatorică a tensorului de stres și vom calcula invarianții tensorului de deviator de stres. Invarianții stresului deviatoric sunt utilizați frecvent în criteriile de eșec.
luați în considerare un tensor de stres \( \sigma_{ij} \) care acționează asupra unui corp. Corpul stresat tinde să-și schimbe atât volumul, cât și forma. Partea tensorului de stres care tinde să schimbe volumul corpului se numește tensor de stres hidrostatic mediu sau tensor de stres volumetric. Partea care tinde să distorsioneze corpul se numește tensor deviator de stres. Prin urmare, tensorul de stres poate fi exprimat ca:
unde \ (\delta_{ij}\) este Delta Kronecker (cu \ (\delta_{ij} = 1\) dacă \ (i = j\) și \ (\delta_{ij} = 0 \) dacă \ (i \ neq j\)), \ (p\) este stresul mediu dat de:
unde \ (i_{1}\) este primul invariant al tensorului de stres (vezi și: tensiuni principale și invarianți de stres). Produsul \ (p \ delta_{ij}\) este tensorul de stres hidrostatic și conține numai solicitări normale. Tensorul de stres deviatoric poate fi obținut prin scăderea tensorului de stres hidrostatic din tensorul de stres:
pentru a calcula invarianții tensorului deviator de stres vom urma aceeași procedură utilizată în articol principalele solicitări și invarianți de stres. Trebuie menționat că direcțiile principale ale tensorului deviatorului de stres coincid cu direcțiile principale ale tensorului de stres. Ecuația caracteristică pentru \ (s_{IJ}\) este:
unde \ (J_{1}\), \ (j_{2}\) și \ (J_{3}\) sunt primul, al doilea și al treilea invarianți de stres deviatoric, respectiv. Rădăcinile polinomului sunt cele trei tensiuni deviatorice principale \( s_{1} \), \( s_{2} \) și \( s_{3} \). \ (J_{1}\), \ (j_{2}\) și \ (j_{3}\) pot fi calculate prin următoarele expresii:
unde \ (I_{1}\), \ (i_{2}\) și \( i_{3}\) sunt cei trei invarianți ai tensorului de stres și \( \det(s_{ij})\) este determinantul lui \( s_{ij}\). Trebuie menționat că din moment ce \( j_{1}=s_{kk}=0 \), tensorul deviatorului de stres descrie o stare de forfecare pură.
exemplu
calculați tensorul deviatorului de stres și invarianții săi pentru următorul tensor de stres:
Afișați soluția…
în primul rând vom calcula presiunea medie \ (p \):
din ecuația (3) Se calculează tensorul deviatorului de stres:
pentru invarianții tensori ai deviatorului de stres vom folosi ecuațiile (5) și vom obține:
în cele din urmă ecuația caracteristică este:
Tag-uri: algebra / valori proprii / invarianți / mecanica / tensori