avvikande stress och invarianter
upplagt av: Pantelis Liolios | Sept. 16, 2020
spänningstensorn kan uttryckas som summan av två spänningstensorer, nämligen: den hydrostatiska spänningstensorn och den avvikande spänningstensorn. I denna artikel kommer vi att definiera den hydrostatiska och den avvikande delen av spänningstensorn och vi kommer att beräkna invarianterna för spänningsavvikarens tensor. Invarianterna av den avvikande stressen används ofta i felkriterier.
Tänk på en stresstensor \ (\sigma_{IJ} \) som verkar på en kropp. Den stressade kroppen tenderar att ändra både volym och form. Den del av spänningstensorn som tenderar att ändra kroppens volym kallas medelhydrostatisk spänningstensor eller volymetrisk spänningstensor. Den del som tenderar att snedvrida kroppen kallas stress deviator tensor. Därför kan stresstensorn uttryckas som:
där \( \delta_{IJ} \) är Kronecker delta (med \ (\delta_{ij}=1 \) Om \ (I = j \) och \ (\delta_{ij} = 0 \) om \ (i \ neq j \)), \ (p\) är den genomsnittliga stress som ges av:
där \ (i_{1} \) är den första invarianten av stresstensorn (se även: Huvudspänningar och stressinvarianter). Produkten \ (p \ delta_{IJ} \) är den hydrostatiska spänningstensorn och innehåller endast normala spänningar. Den avvikande spänningstensorn kan erhållas genom att subtrahera den hydrostatiska spänningstensorn från spänningstensorn:
för att beräkna invarianterna av stress deviator tensor kommer vi att följa samma procedur som används i artikeln Huvudspänningar och stressinvarianter. Det måste nämnas att de viktigaste riktningarna för spänningsavvikaren tensor sammanfaller med de viktigaste riktningarna för spänningstensorn. Den karakteristiska ekvationen för \ (s_{IJ} \) är:
där \ (J_{1}\), \ (J_{2} \) och \ (J_{3} \) är de första, andra respektive tredje avvikande spänningsinvarianterna. Polynomets rötter är de tre huvudsakliga avvikande spänningarna \ (s_{1} \), \ (s_{2}\) och \( s_{3}\). \ (J_{1}\), \ (J_{2} \) och \ (J_{3} \) kan beräknas med följande uttryck:
där \ (I_{1}\), \ (i_{2} \) och \ (i_{3} \) är de tre invarianterna av spänningstensorn och \ (\det( s_{IJ}) \) är determinanten av \ (s_{ij} \). Det bör nämnas att eftersom \( J_{1}=s_{kk}=0\) beskriver spänningsavvikarens tensor ett tillstånd av ren skjuvning.
exempel
beräkna spänningsavvikarens tensor och dess invarianter för följande spänningstensor:
Visa lösning…
för det första beräknar vi medeltrycket \ (p \):
från ekvation (3) beräknar vi spänningsavvikarens tensor:
för stress deviator tensor invarianter kommer vi att använda ekvationer (5) och vi får:
slutligen är den karakteristiska ekvationen:
taggar: algebra| egenvärden| invarianter| mekanik| tensorer