Chezy och Manning utvecklade ekvationer som används för att bestämma den genomsnittliga volymetriska flödeshastigheten i öppna kanaler. Denna artikel förklarar en laboratoriemetod som utvecklades och testades för att ytterligare identifiera och kvantifiera parametrarna som utgör grovhetskoefficienterna för dessa ekvationer. Denna metod använder en hydraulisk flume och använder sig av tekniken för dimensionell homogenitet och en ny exponentiell form av en ekvation för instrumentkalibrering.
exakt mätning av genomsnittliga hastigheter i kanaler eller kulvertar med ytor öppna för atmosfären har varit en utmaning i århundraden. Ju större flödestvärsnittsarea desto större är mätningens felaktighet eller osäkerhet.
Öppet kanalflöde styrs av Froude-förhållandet, förhållandet mellan tröghetskrafter och gravitationskrafter. Således erkändes det tidigt i hydraulikens historia att formeln för en sådan genomsnittlig hastighet skulle behöva vara en balans mellan tyngdkraften, vilket orsakar flödet och kanalens grovhet och försöker fördröja flödet. Det erkändes också att en sådan formel måste vara för enhetligt flöde, det vill säga för steady state-flöde, så att vattendjupet i förhållande till botten av vattenvägen är en konstant eller d(y)/dx = 0.
det noteras att i rör eller tryckflöde har ordet uniform en annan betydelse. I den applikationen betyder det att hastighetsprofilen har en konstant hastighet över hela tvärsnittet. Å andra sidan har öppen kanalhydraulik inget ord för konstant hastighet över ett tvärsnitt. I denna artikel betyder ”normal” den första av dessa två definitioner, det vill säga steady state och konstant djup. Alla enheter i den här artikeln är tekniska enheter som vanligtvis används i USA
ekvationer utvecklade av Chezy och Manning
den första erkända och mest varaktiga ”resistance”-formeln för steady state, open-channel flow krediteras Antoine Chezy. Han fick i uppdrag att bestämma tvärsnittet och beräkna urladdningen för Paris vattenförsörjning och öka dess flödeshastighet. Han gjorde det 1768 genom att jämföra flödesförhållanden mellan två vattendrag, Courpalet-kanalen och floden Seine. Hans resulterande formel publicerades i hans rapport om Canal de l ’ Yvette som:
Vavg = C x R1/2 x S1/2
där Vavg är medelhastigheten i fot per sekund; C är Chezys faktor för flödesmotstånd i fot1/2 / sek; R är den hydrauliska radien (tvärsnittsarean dividerad med den fuktade omkretsen) i fötter; och S är lutningen, som är dimensionslös. Chezys arbete fick dock lite uppmärksamhet fram till många år efter hans död.
1889 presenterade en irländare vid namn Robert Manning, som var chefsingenjör för Irlands Kontor för offentliga arbeten, ett papper med titeln ”om flödet av vatten i öppna kanaler och rör.”Även om hans huvudsakliga intresse verkar ha varit hydrologi, härledde han en genomsnittlig ”motståndsformel” för öppna kanaler från alla de olika motståndsformlerna som publicerades fram till den tiden. I dagens format är denna ekvation, som vi kallar ekvation 1 för framtida referens,:
Vavg = (1.486/ n) x R2 / 3 x S1/2
där n är Mannings grovhetskoefficient, vilket är samma numeriskt i antingen amerikanska eller metriska dimensionssystem. I det amerikanska systemet har det enheter av second / feet1 / 3. Om metriska enheter används, ersätts 1.486 med 1.0 och dess enheter är andra/meter1/3.
Mannings ekvation har varit den mest framgångsrika av alla empiriska ekvationer med öppen kanal, baserade på flödesmotståndet och härledda från observation. Det är faktiskt ingen överdrift att säga att det är hörnstenen i dagens hydraulteknik.
men i klassisk mening har både Chezys och Mannings ekvationer flera liknande brister. För det första har de inte dimensionell homogenitet, det vill säga enheterna på vänster sida är inte desamma som enheterna på höger sida. Sådana ekvationer härleds vanligtvis genom experiment eller observation och förlorar snabbt noggrannhet om de extrapoleras utanför deras observationsområde. Det är känt att Mannings ekvation förlorar noggrannhet med mycket branta eller grunda sluttningar. För det andra, för att uppnå dimensionell homogenitet, är deras konstanter eller koefficienter inte rena tal, men är artificiellt tilldelade enheter.
vidare antyder Mannings ekvation att medelhastigheten är känsligare för den hydrauliska radien än för lutningen. Detta är verkligen en inkompatibilitet, eftersom själva naturen av Öppet kanalflöde är en funktion av lutningskomponenten av tyngdkraften. Formen på vattenpassagen, beräknad av den hydrauliska radien, utövar en effekt på den absoluta grovheten, men det är inte en primär effekt på själva medelhastigheten. Ju lägre det hydrauliska radieförhållandet är desto större är procentandelen av flödet som är i kontakt med gränsernas grovhet.
dessutom är ekvationernas natur en motsägelse. Ekvationerna beskriver en genomsnittlig hastighet som finns vid ett tvärsnitt vinkelrätt mot flödet. Ett sådant tvärsnitt har en oändlig tjocklek i flödesriktningen, medan ekvationerna är beroende av koefficienter som kallas ”grovhetskoefficienter.”Men effekten av sådan grovhet behöver en ändlig längd för att existera—den kan inte ha en effekt över en oändlig tjocklek. Detta innebär att grovheten själv måste agera på någon annan parameter som kan existera över en oändlig längd för att fördröja flödeshastigheten.
teori bakom ett laboratorieexperiment
noggrannheten hos både Chezys och Mannings ekvationer beror på valet av deras individuella grovhetskoefficienter. Detta görs vanligtvis genom jämförelse med kända liknande strömmar eller från en referensbok med bilder av strömmar. Men i artikeln med titeln ”dimensionellt homogen form av Chezy och Manning ekvationer”, publicerad av Hydro Review i April 2014, föreslog jag en ny experimentell metod för att bestämma de beståndsdelar som innefattar dessa grovhetskoefficienter.
för att demonstrera tekniken presenterade jag för en doktorandklass i förnybar energiteknik inskriven i Hydraulic Laboratory course vid Oregon Institute of Technology (OIT) i Wilsonville, Oregon, ett experiment utformat för att identifiera och kvantifiera komponenterna i grovhetskoefficienterna. Detta experiment skulle koncentrera sig på Mannings ekvation och baserades på att använda principen om dimensionell homogenitet. De oit-doktorander som deltog i detta laboratorieexperiment var Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong och Asmitha Velivela.
för det första bildades två parametrar: Hv / s och R. Hv representerar hastighetshuvudet, det vill säga HV = (XVIII X Vavg2) / (2 x g), där coriolisfaktorn kallas hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn eller Coriolisfaktorn. Denna multiplikator representerar den extra energi som finns i antingen öppen yta eller sluten tryckflöde som existerar när en hastighetsprofil inte är konstant över en tvärsnittsarea. Detta beror på att vätskeenergi är en funktion av kvadraten av hastigheten, och summan av kvadraterna i varje vätskeströmrör är större än kvadraten av summan av hastigheterna i varje strömrör.
numeriskt sett är det alltid lika med eller större än ett och är dimensionslöst. Lutningen eller S kunde ha dykt upp på endera parametriska sidan, men tilldelades HV-parametern, eftersom det i hydraulik finns mer än gott om bevis för att medelhastigheten är en funktion av kvadratroten av lutningen, det vill säga Vavg VIII S1/2. Sedan designades ett laboratorieexperiment som skulle tillåta data att erhållas och ritas som Hv/s kontra R, som båda har enheter av fötter. Därför bör varje resulterande experimentell ekvation ha dimensionell homogenitet.
enheterna av Hv, från Bernoullis ekvation, är fotpund per pund eller” specifik energi”, men är fortfarande homogena med R, som har enheter av fötter. Det ska noteras att när R blir större blir den fuktade omkretsen (P) mindre i förhållande till området (a). Detta innebär att friktionsmotståndet mot flödet måste bli mindre, och därför bör medelhastigheten bli större. Med andra ord bör ett linjärt förhållande mellan Hv/s och R ha en positiv lutning.
Testapparat
en liten lutbar bäddlaboratorium med en poolcirkulationspump, som en student bekvämt hade byggt föregående termin, anpassades för användning. Det var omedelbart uppenbart att mätning av hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn i en så liten flume skulle vara omöjlig. Det bästa alternativet var att bara mäta lutning, medelhastighet och vattendjup för kritiskt och enhetligt flöde.
vid kritiskt flöde, där Froudetalet är lika med ett, finns minst hydraulisk energi för en given mängd rörlig vätska. Följaktligen bör det inte finnas någon ytterligare energi tillgänglig för att bilda en icke-konstant hastighetsprofil och hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn bör vara nära en. Dessutom, eftersom rännan var kort, behövde energin i vätskan som kom in i rännan matchas med den önskade energinivån för ett givet flöde i rännan, så att jämnt eller steady state-flöde omedelbart uppnåddes.
det var inte möjligt att justera poolpumpen så fint. Följaktligen valde forskargruppen att ta in en andra vattentank, få pumpens urladdning i den tanken och sedan försiktigt sifon från den tanken in i röret. En sonisk flödesmätare ansluten till slangen mellan tanken och rännan gav den volymetriska flödeshastigheten. Det tog en avsevärd tid och ansträngning att få allt balanserat för en enda datapunkt med stabilt tillstånd, enhetligt och kritiskt flöde i en så liten flume. I slutändan samlades dock tre datapunkter in, vilka var tillräckliga för att demonstrera denna metod för dataanalys (tabellerna 1 och 2).
Tabell 1. Denna tabell visar data som samlats in under tre öppna kanalexperiment utförda i labbet med hjälp av en flume. Källa: Lee H. Sheldon, PE
Tabell 2. Denna tabell visar data som samlats in under tre öppna kanalexperiment utförda i labbet med hjälp av en flume. Källa: Lee H. Sheldon, PE
det betonas att dessa datapunkter var nära åtskilda när det gäller volymetrisk flödeshastighet. Detta beror på att en fem tum bred flume-som drivs för både enhetliga och kritiska flöden-inte gav ett brett spektrum av flödesvariationer. Detta experiment gjordes också i en mycket slät Plexiglasflumma där Mannings n mättes som endast 0,009, medan 0,012 är det smidigaste värdet i den publicerade tabellen över prototypvattenkanaler. Därför bör alla numeriska resultat ses som endast tillämpliga på denna mycket smala hydrauliska regim.
det betonas emellertid också att syftet med detta laboratorieexperiment bara var att visa om denna metod kunde användas i framtida, mer omfattande forskning för att ge ytterligare insikt och noggrannhet i sammansättningen av komponenterna i Chezy och särskilt Mannings ekvationer.
Datareduktionsteknik
plottningen av dessa tre datapunkter gjordes på samma sätt som instrumentkalibreringsekvationen som beskrivs i en artikel som jag skrev med titeln ”En ny Kalibreringsekvation för Winter-Kennedy Piezometer System”, som publicerades av Hydro Review i oktober 2013. Denna metod ger en kalibreringsekvation direkt i exponentiell form för klar jämförelse med de vanliga öppna kanalekvationerna, det vill säga log10(Hv/s) plottades som ordinat eller y-axel och log10R plottades som abscissa eller x-axel (Figur 1).
1. Detta diagram visar modellrännan vid kritiskt och enhetligt flöde. Källa: Lee H. Sheldon, PE
dessa punkter approximerade nära en rak linje och gav en ekvation av formen: y = mx + b.
log10 (Hv / s) = mlog10R + b = log10 (Rm) + b
höja båda sidor av ekvationen som krafter på 10 utbyten:
10^(log10Hv/s) = 10^(log10Rm + b) = 10B x 10^(log10Rm)
sedan, genom logaritmisk identitet:
Hv/s = 10b x Rm
eller
Hv = 10b x S x Rm
ersätta hv resultat i:
aVavg2/2G = 10B x S x Rm
omarrangera termer ger:
Vavg = (2g10b/msk)1/2 X S1/2 x Rm/2
ersätta numeriska värden på m = 0,7497 och b = 1,7328 från Figur 1 ger:
vavg = (2G x 101,7328/msk)1/2 X S1/2 x (R0.7497)1/2
det noteras att lutningen (m) är positiv som förutspådd tidigare. Därför:
Vavg = (108.1011 g/msk)1/2 x S1/2 x R0.3749
vilket resulterar i följande ekvation, som vi kallar ekvation 2 för framtida referens:
Vavg = 10.3972 (GS / GHz) 1/2 x R3 / 8
nu, i denna form, innehåller den öppna kanalekvationen endast parametrar som kan bestämmas över en oändligt tunn tvärsnittsarea. Att jämföra ekvation 2 med ekvation 1 ger insikt i förhållandet mellan parametrarna i Mannings ekvation.
Vavg = 10.3972 x (GS/msk)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
nu, som bara motsvarar de två uttrycken och avbryter S1/2-termerna ger:
10.3972 x (g/msk)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
genom att kombinera r-termerna resulterar det i:
10.3972 x (G/Xhamster)1/2 = (1.486/ n) x R7/24
vilket resulterar i följande, som vi kommer att kalla ekvation 3 för framtida referens:
= 0.1429 x (kub/G)1/2 x R7 / 24
det noteras att ekvation 2 inte har exakt dimensionell homogenitet. Försummar värdena för numeriska koefficienter, om exponenten för R hade varit 4/8 istället för 3/8, och med införandet av enheter för g (gravitationsacceleration) skulle den ha haft exakt homogenitet. Separat noteras att för att Mannings ekvation ska ha dimensionell homogenitet hade enheterna av n i ekvation 1 historiskt tilldelats artificiellt som sekunder/fötter 1/3 eller sekunder/Fötter 8/24. I ekvation 3, nu, även inklusive enheter för g, har n enheter av sekunder / Fötter 5 / 24.
det anses att dessa två skillnader i Mannings ekvation och Mannings n kan bero på osäkerheten eller felaktigheten i datamätningen i den begränsade testrännan som är tillgänglig för eleverna. Därför betonas det igen att de slutliga numeriska resultaten av detta experiment förmodligen har en viss osäkerhet, men metoden för att mer exakt kvantifiera Mannings ekvation visas tydligt.
termen S (g) är lutningstiderna gravitationsacceleration. När lutningen, d (y)/dx, blir större, finns det en större gravitationskraft som verkar för att påskynda flödet.
som tidigare nämnts är Mannings ekvation ett genomsnitt av alla öppna kanalekvationer publicerade före 1889. Det faktum att det inte inkluderade effekten av hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn är ganska förståeligt. Det var inte förrän så sent som 1877 att Coriolis-hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn erkändes som en variabel och inte en konstant.
förhållandena i ekvation 2 visar att Mannings n är ett mått för hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn, det vill säga n är proportionell mot 01/2. Teoretiskt, om n fördubblas, ökas hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn fyrfaldigt och medelhastigheten halveras. Detta är den mekanism genom vilken grovheten hos fluidgränserna verkar för att fördröja flödeshastigheten över ett oändligt tunt tvärsnitt.
som noterat påverkas Mannings n direkt av den hydrauliska radien (R7/24). Detta visar att valet av en Mannings n inte bara är en funktion av grovhet utan av vattenbanans tvärsnittsform. Det faktum att kanaler kan uppvisa vissa skillnader i Mannings n på grund av deras form ensam, liksom deras grovhet, har tidigare dokumenterats i annan litteratur.
i ett papper med titeln ”bestämning av Rugositetskoefficient för fodrade och ofodrade kanaler” publicerad av Karnataka Engineering Research Station i Indien, säger Det, ”flöde i kanaler kompliceras av det faktum att formen av grovhetselement och därmed motståndet mot flöde är funktioner av egenskaperna hos kanalform och inriktning. Dessa faktorer utgör koefficienten för rugositet eller grovhetskoefficienten.”Anledningen, som nämnts tidigare, är ju mindre den hydrauliska radien desto större är den relativa procentandelen av flödesvolymen som är i direkt kontakt med den givna absoluta grovheten hos gränsen. Därför, ju större drag som gränsen ålägger för att fördröja det volymetriska flödeshastigheten, desto mer ojämn blir hastighetsprofilen, beräknad med 00. Ju mindre den hydrauliska radien desto större är energiförlusten. Omvänt, ju större hydraulisk radie, desto mer tenderar hastighetsprofilen att bli enhetlig över tvärsnittet. Sammantaget är Chezys C omvänt proportionell mot R1 / 8.
ekvationerna som utvecklats av Chezy och Manning kan tyckas vara mycket enkla; de representerar emellertid komplexa interaktioner mellan hydrauliska parametrar för vätskor i öppna kanaler. Den experimentella processen som presenteras i denna artikel kan användas för att studera dessa interaktioner. Användningen av denna experimentella metod, på den mycket begränsade och smala basis som beskrivs ovan, antyder att skillnaden mellan Chezys och Mannings ekvationer kanske inte är så stor som den verkar. Den verkliga skillnaden kan vara mer i graden av beroende som varje flödesmotståndskoefficient har på hastighetshuvudkorrigeringsfaktorn och den hydrauliska radien.
—Lee H. Sheldon, PE är en vattenkraftingenjör med 50 års erfarenhet. Han har publicerat 33 tekniska artiklar och en college lärobok om vattenkraft engineering, och har arbetat med varje federal vattenkraft projekt i nordvästra, bland andra. Han var tidigare professor vid OIT, där han undervisade vattenkraftteknik och strömningsmekanik.