viktiga resultat av funktionell analys inkluderar:
enhetlig bunden principedit
enhetlig bunden princip eller Banach–Steinhaus sats är ett av de grundläggande resultaten i funktionell analys. Tillsammans med Hahn-Banach-satsen och den öppna kartläggningssatsen anses den vara en av hörnstenarna i fältet. I sin grundform hävdar den att för en familj av kontinuerliga linjära operatörer (och därmed begränsade operatörer) vars domän är ett Banach-utrymme, är punktvis gränsvärde ekvivalent med enhetlig gräns i operatörsnorm.
satsen publicerades först 1927 av Stefan Banach och Hugo Steinhaus men den bevisades också oberoende av Hans Hahn.
Sats (Enhetlig Gränsvärdesprincip). Låt X vara ett Banach-utrymme och Y vara ett normerat vektorutrymme. Antag att F är en samling kontinuerliga linjära operatörer från X till Y. Om det för alla x i X EN har
Sup T ( X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x),
sedan
Sup t ( 1406> (1406>) (1406>). {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T \ I F}\ / T\/ _ {B (X,Y)}<\infty .}
Spectral theoremEdit
det finns många satser som kallas spektralsatsen, men en har särskilt många tillämpningar inom funktionell analys.
Sats: låt A vara en avgränsad självadjointoperatör på ett Hilbert-utrymme H. sedan finns det ett måttutrymme (X, 0, X) och en realvärderad väsentligen avgränsad mätbar funktion f på X och en enhetlig operatör U: H 2, L 2, X(X) så att
u 2, T U = a {\displaystyle U^{ * } tu = A\;}
där T är multiplikationsoperatorn:
(x ) = f ( x ) 2BX ( X ) . {\displaystyle (x)=f(x)\varphi (x).\;}
och för att ta reda på mer om detta:}}
detta är början på det stora forskningsområdet för funktionell analys som kallas operatörsteori; se även spektralmåttet.
det finns också en analog spektralsats för avgränsade normala operatörer på Hilbert-utrymmen. Den enda skillnaden i slutsatsen är att nu f {\displaystyle f}
kan vara komplex värderad.
Hahn–Banach teoremredigera
Hahn–Banach-satsen är ett centralt verktyg i funktionell analys. Det möjliggör förlängning av avgränsade linjära funktionaler definierade på ett delrum av något vektorutrymme till hela rymden, och det visar också att det finns ”tillräckligt” kontinuerliga linjära funktionaler definierade på varje normerat vektorutrymme för att göra studien av det dubbla utrymmet ”intressant”.
Hahn–Banachs sats: om P : V är en sublinjär funktion, och om p: v är en Sublinjär funktion, och U är en linjär funktion på ett linjärt underrum U är en linjär funktion V som domineras av p på U, d. v. s.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\i U}
då det finns en linjär utvidgning ψ : V → R av φ att hela utrymmet V, dvs. det finns en linjšr funktional ψ så att
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\i V.}
öppen kartläggningssatsedit
den öppna kartläggningssatsen, även känd som Banach–Schauder-satsen (uppkallad efter Stefan Banach och Juliusz Schauder), är ett grundläggande resultat som säger att om en kontinuerlig linjär operatör mellan Banach-utrymmen är surjektiv så är det en öppen karta. Mer exakt:
Open mapping theorem. Om X och Y är Banach-utrymmen och A: X Bisexuell Y är en surjektiv kontinuerlig linjär operatör, då är A en öppen karta (dvs. om U är en öppen uppsättning i X, är A(U) öppen i Y).
beviset använder Baire-kategorisatsen, och fullständigheten av både X och Y är avgörande för satsen. Teoremets uttalande är inte längre sant om något utrymme bara antas vara ett normerat utrymme, men är sant om X och Y anses vara fr.
Closed graph theoremEdit
the closed graph theorem anger följande:Om X är ett topologiskt utrymme och Y är ett kompakt Hausdorff-utrymme, stängs grafen för en linjär karta T från X till Y om och endast om T är kontinuerlig.