astronomen Galileo Galilei i sin Il Saggiatore skrev att ” är skrivet på matematikens språk, och dess karaktärer är trianglar, cirklar och andra geometriska figurer.”Konstnärer som strävar efter och försöker studera naturen måste först, Enligt Galileos uppfattning, fullt ut förstå matematik. Matematiker har omvänt försökt tolka och analysera konst genom linsen av geometri och rationalitet. Matematikern Felipe Cucker föreslår att matematik, och särskilt geometri, är en källa till regler för ”regedrivet konstnärligt skapande”, men inte den enda. Några av de många strängarna i det resulterande komplexa förhållandet beskrivs nedan.
matematik som en artEdit
matematikern Jerry P. King beskriver matematik som en konst och säger att ”nycklarna till matematik är skönhet och elegans och inte slöhet och teknikalitet”, och att skönhet är den motiverande kraften för matematisk forskning. King citerar matematikern G. H. Hardys uppsats från 1940 en matematikers ursäkt. I det diskuterar Hardy varför han finner två satser av klassisk tid som första kurs, nämligen Euclids bevis det finns oändligt många primtal och beviset att kvadratroten av 2 är irrationell. King utvärderar denna sista mot Hardys kriterier för matematisk elegans: ”allvar, djup, generalitet, oväntadhet, oundviklighet och ekonomi” (kungens kursiv) och beskriver beviset som ”estetiskt tilltalande”. Den ungerske matematikern Paul erd A. S. A. var överens om att matematiken hade skönhet men övervägde orsakerna bortom förklaringen: ”varför är siffror vackra? Det är som att fråga Varför är Beethovens nionde symfoni vacker. Om du inte förstår varför, kan någon inte berätta för dig. Jag vet att siffror är vackra.”
matematiska verktyg för artEdit
matematik kan urskiljas i många av konsten, såsom musik, dans, målning, arkitektur och skulptur. Var och en av dessa är rikt associerad med matematik. Bland anslutningarna till bildkonsten, matematik kan ge verktyg för konstnärer, såsom reglerna för linjärt perspektiv som beskrivs av Brook Taylor och Johann Lambert, eller metoderna för beskrivande geometri, nu tillämpas i mjukvarumodellering av fasta ämnen, dejting tillbaka till Albrecht D Ouguirer och Gaspard Monge. Konstnärerna från Luca Pacioli under medeltiden och Leonardo da Vinci och Albrecht d i renässansen har utnyttjat och utvecklat matematiska ideer i strävan efter sitt konstnärliga arbete. Användningen av perspektiv började, trots vissa embryonala användningar i arkitekturen i det antika Grekland, med italienska målare som Giotto på 13-talet; regler som försvinnande punkt formulerades först av Brunelleschi omkring 1413, hans teori påverkar Leonardo och D. Isaac Newtons arbete med det optiska spektrumet påverkade Goethes färgteori och i sin tur artister som Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, prerafaeliterna och Wassily Kandinsky. Konstnärer kan också välja att analysera symmetri av en scen. Verktyg kan tillämpas av matematiker som utforskar konst, eller konstnärer inspirerade av matematik, såsom MC Escher (inspirerad av HSM Coxeter) och arkitekten Frank Gehry, som mer tenuously hävdade att datorstödd design gjorde det möjligt för honom att uttrycka sig på ett helt nytt sätt.
konstnären Richard Wright hävdar att matematiska objekt som kan konstrueras kan ses antingen ”som processer för att simulera fenomen” eller som verk av ”datorkonst”. Han anser den typ av matematisk tanke, observera att fraktaler var kända för matematiker för ett sekel innan de erkändes som sådana. Wright avslutar med att säga att det är lämpligt att utsätta matematiska objekt för alla metoder som används för att ”komma till rätta med kulturella artefakter som konst, spänningen mellan objektivitet och subjektivitet, deras metaforiska betydelser och karaktären av representationssystem.”Han ger som exempel en bild från Mandelbrot-uppsättningen, en bild som genereras av en cellulär automatalgoritm och en datorrenderad bild och diskuterar, med hänvisning till Turing-testet, om algoritmiska produkter kan vara konst. Sasho Kalajdzievskis matematik och konst: En introduktion till visuell matematik tar ett liknande tillvägagångssätt och tittar på lämpligt visuella matematikämnen som kakel, fraktaler och hyperbolisk geometri.
några av de första verk av datorkonst skapades av Desmond Paul Henrys” Drawing Machine 1″, en analog maskin baserad på en bombsight-dator och ställdes ut 1962. Maskinen kunde skapa komplexa, abstrakta, asymmetriska, krökta men repetitiva linjeritningar. På senare tid har Hamid Naderi Yeganeh skapat former som tyder på verkliga föremål som fisk och fåglar, med hjälp av formler som successivt varieras för att rita familjer med kurvor eller vinklade linjer. Konstnärer som Mikael Hvidtfeldt Christensen skapar verk av generativ eller algoritmisk konst genom att skriva skript för ett mjukvarusystem som Structure Synth: konstnären leder effektivt systemet för att tillämpa en önskad kombination av matematiska operationer på en vald uppsättning data.
-
matematisk skulptur av Bathsheba Grossman, 2007
-
fraktal skulptur: 3D Fraktal 03 / H / dd av Hartmut Skerbisch, 2003
-
Fibonacci ord: detalj av konstverk av Samuel Monnier, 2009
-
Datorkonstbild producerad av Desmond Paul Henrys ”Drawing Machine 1”, utställd 1962
-
A Bird in Flight, av Hamid Naderi Yeganeh, 2016, konstruerad med en familj av matematiska kurvor.
från matematik till artEdit
matematikern och den teoretiska fysikern Henri Poincar Aubbis vetenskap och hypotes lästes allmänt av kubisterna, inklusive Pablo Picasso och Jean Metzinger. Att vara väl förtrogen med Bernhard Riemanns arbete med icke-euklidisk geometri, Poincar Brasilien var mer än medveten om att euklidisk geometri är bara en av många möjliga geometriska konfigurationer, snarare än som en absolut objektiv sanning. Den möjliga existensen av en fjärde dimension inspirerade konstnärer att ifrågasätta klassiskt Renässansperspektiv: icke-euklidisk geometri blev ett giltigt alternativ. Konceptet att måleri kunde uttryckas matematiskt, i färg och form, bidrog till kubismen, konströrelsen som ledde till abstrakt konst. Metzinger skrev 1910 att: ”lägger ut ett fritt, mobilt perspektiv, från vilket den geniala matematikern Maurice Princet har härledt en hel geometri”. Senare skrev Metzinger i sina memoarer:
Maurice Princet gick med oss ofta … det var som konstnär som han konceptualiserade matematik, som estetiker som han åberopade n-dimensionella kontinuum. Han älskade att få konstnärerna intresserade av de nya synpunkterna på rymden som hade öppnats av Schlegel och några andra. Han lyckades med det.
impulsen att göra undervisnings-eller forskningsmodeller av matematiska former skapar naturligt objekt som har symmetrier och överraskande eller tilltalande former. Några av dessa har inspirerat artister som dadaisterna Man Ray, Marcel Duchamp och Max Ernst, och efter Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotograferade några av de matematiska modellerna i Institut Henri Poincar Bisexual i Paris, inklusive Objet mathematique (matematiskt objekt). Han noterade att detta representerade Enneper ytor med konstant negativ krökning, härledd från pseudosfären. Denna matematiska grund var viktig för honom, eftersom den tillät honom att förneka att objektet var ”abstrakt” och istället hävdade att det var lika verkligt som urinalen som Duchamp gjorde till ett konstverk. Man Ray medgav att objektets formel ”betydde ingenting för mig, men själva formerna var lika varierade och autentiska som alla i naturen.”Han använde sina fotografier av de matematiska modellerna som figurer i sin serie som han gjorde på Shakespeares pjäser, till exempel hans målning Antony och Cleopatra från 1934. Konstreporteren Jonathan Keats, skriver i ForbesLife, hävdar att Man Ray fotograferade ”de elliptiska paraboloiderna och koniska punkterna i samma sensuella ljus som hans bilder av Kiki de Montparnasse”, och ”genialt återanvänder de coola beräkningarna av matematik för att avslöja begärets topologi”. Tjugonde århundradet skulptörer som Henry Moore, Barbara Hepworth och Naum Gabo tog inspiration från matematiska modeller. Moore skrev om sin strängade mor och Barn 1938: ”utan tvekan var källan till mina strängade figurer Science Museum … Jag blev fascinerad av de matematiska modeller Jag såg där … Det var inte den vetenskapliga studien av dessa modeller utan förmågan att titta igenom strängarna som med en fågelbur och se en form inom en annan som upphetsade mig.”
konstnärerna Theo van Doesburg och Piet Mondrian grundade De Stijl-rörelsen, som de ville ”skapa en visuell vokabulär bestående av elementära geometriska former som kan förstås av alla och anpassas till vilken disciplin som helst”. Många av deras konstverk består synligt av styrda rutor och trianglar, ibland också med cirklar. De Stijl konstnärer arbetade inom målning, möbler, inredning och arkitektur. Efter upplösningen av De Stijl grundade Van Doesburg Avantgarde Art Concret movement, som beskriver sin aritmetiska komposition 1929-1930, en serie med fyra svarta rutor på diagonalen av en fyrkantig bakgrund, som ”en struktur som kan styras, en bestämd yta utan slumpelement eller individuell caprice”, men ”saknar inte Ande, saknar inte det universella och inte … tom eftersom det finns allt som passar den inre rytmen”. Konstkritikern Gladys Fabre konstaterar att två progressioner arbetar i målningen, nämligen de växande svarta rutorna och de växlande bakgrunderna.
matematiken i tessellation, polyeder, formning av rymden och självreferens gav grafikern M. C. Escher (1898-1972) ett livstidsvärde av material för sina träsnitt. I Alhambra-skissen visade Escher att konst kan skapas med polygoner eller vanliga former som trianglar, kvadrater och hexagoner. Escher använde oregelbundna polygoner vid plattsättning av planet och använde ofta reflektioner, glid reflektioner och översättningar för att få ytterligare mönster. Många av hans verk innehåller omöjliga konstruktioner, gjorda med geometriska föremål som skapar en motsättning mellan perspektivprojektion och tre dimensioner, men är trevliga för människans syn. Eschers stigande och fallande är baserad på den ”omöjliga trappan” skapad av den medicinska forskaren Lionel Penrose och hans son matematikern Roger Penrose.
några av Eschers många tessellationsritningar inspirerades av samtal med matematikern HSM Coxeter om hyperbolisk geometri. Escher var särskilt intresserad av fem specifika polyeder, som förekommer många gånger i hans arbete. De platoniska fasta ämnena-tetraeder, kuber, oktaeder, dodekaeder och ikosaeder—är särskilt framträdande i ordning och kaos och fyra vanliga fasta ämnen. Dessa stellerade figurer bor ofta inom en annan figur som ytterligare snedvrider synvinkeln och konformationen av polyedererna och ger ett mångfacetterat perspektivkonstverk.
den visuella invecklingen av matematiska strukturer som tessellationer och polyeder har inspirerat en mängd matematiska konstverk. Stewart Coffin gör polyedriska pussel i sällsynta och vackra skogar; George W. Hart arbetar med teorin om polyeder och skulpterar föremål inspirerade av dem; Magnus Wenninger gör ”särskilt vackra” modeller av komplexa stellerade polyeder.
de förvrängda perspektiven på anamorfos har utforskats i konsten sedan det sextonde århundradet, då Hans Holbein den yngre införlivade en allvarligt förvrängd skalle i sin 1533-målning ambassadörerna. Många artister sedan dess, inklusive Escher, har använt anamorfiska knep.
topologins matematik har inspirerat flera konstnärer i modern tid. Skulptören John Robinson (1935-2007) skapade verk som Gordian Knot och band of Friendship, som visar knutteori i polerad brons. Andra verk av Robinson utforskar topologin av toruses. Genesis är baserad på Borromean ringar – en uppsättning av tre cirklar, inga två som länkar men där hela strukturen inte kan tas isär utan att bryta. Skulptören Helaman Ferguson skapar komplexa ytor och andra topologiska föremål. Hans verk är visuella representationer av matematiska objekt; det åttafaldiga sättet är baserat på den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2,7), en ändlig grupp av 168 element. Skulptören Bathsheba Grossman baserar på samma sätt sitt arbete på matematiska strukturer. Konstnären Nelson Saiers införlivar matematiska begrepp och satser i sin konst från toposer och scheman till fyrafärgsteoremet och irrationaliteten i Uruguay.
ett forskningsprojekt inom liberal arts undersöker samband mellan matematik och konst genom M.
matematiska objekt inklusive Lorenz-grenröret och det hyperboliska planet har skapats med fiberkonst inklusive virka. Den amerikanska vävaren ada Dietz skrev en 1949 monografi algebraiska uttryck i handvävda textilier, definierar vävmönster baserat på expansionen av multivariata polynom. Matematikern Daina taimi Kubaa demonstrerade egenskaper hos det hyperboliska planet genom att hekla 2001. Detta ledde Margaret och Christine Wertheim att virka ett korallrev, bestående av många marina djur som nudibranchs vars former är baserade på hyperboliska plan. Matematikern J. C. P. Miller använde Rule 90 cellulär automat för att designa gobelänger som visar både träd och abstrakta mönster av trianglar. ”Mathekniticians” Pat Ashforth och Steve Plummer använder stickade versioner av matematiska objekt som hexaflexagoner i sin undervisning, även om deras Menger-svamp visade sig vara för besvärlig att sticka och var gjord av plastduk istället. Deras projekt” Mathghans ” (Afghans for Schools) introducerade stickning i den brittiska läroplanen för matematik och teknik.
-
fyrdimensionellt utrymme till kubism: Esprit Jouffret ’ s 1903 trait exceptional mentaire de G.
-
De Stijl: Theo van Doesburgs geometriska komposition I (stilleben), 1916
-
pedagogik till konst: Magnus Wenninger med några av hans stellerade polyeder, 2009
-
en m Ibukbius remsa halsduk i virka, 2007
-
Anamorfism: ambassadörerna av Hans Holbein den yngre, 1533, med allvarligt förvrängd skalle i förgrunden
-
virkade korallrev: många djur modellerade som hyperboliska plan med olika parametrar av Margaret och Christine Wertheim. F. O. C. Reef, T. O. C. B, 2013
illustrerar matematikredigera
modellering är långt ifrån det enda möjliga sättet att illustrera matematiska begrepp. Giottos Stefaneschi Triptych, 1320, illustrerar rekursion i form av mise en abyme; triptykens centrala panel innehåller nedre vänstra knäfiguren av kardinal Stefaneschi, som håller upp triptyken som ett erbjudande. Giorgio de Chiricos metafysiska målningar som hans 1917 stora metafysiska interiör utforskar frågan om representationsnivåer i konst genom att skildra målningar i hans målningar.
konst kan exemplifiera logiska paradoxer, som i vissa målningar av den surrealistiska ren Bisexuell Magritte, som kan läsas som semiotiska skämt om förvirring mellan nivåer. I la condition humaine (1933) visar Magritte ett staffli (på den verkliga duken), som sömlöst stöder en vy genom ett fönster som är inramat av ”riktiga” gardiner i målningen. På samma sätt är Eschers Print Gallery (1956) ett tryck som visar en förvrängd stad som innehåller ett galleri som rekursivt innehåller bilden, och så oändligt. Magritte använde sfärer och kuboider för att förvränga verkligheten på ett annat sätt och målade dem tillsammans med ett sortiment av hus i sin huvudräkning från 1931 som om de var barns byggstenar, men husstorlek. Väktaren observerade att den” kusliga toytown-bilden ”profeterade modernismens usurpation av” mysiga traditionella former”, men spelar också med den mänskliga tendensen att söka mönster i naturen.
Salvador Dals sista målning, Swallow ’s Tail (1983), var en del av en serie inspirerad av ren Bisexuell Thom’ s katastrofteori. Den spanska målaren och skulptören Pablo Palazuelo (1916-2007) fokuserade på utredningen av form. Han utvecklade en stil som han beskrev som livets geometri och hela naturens geometri. Bestående av enkla geometriska former med detaljerad mönstring och färgning, i verk som Angular I och Automnes, uttryckte Palazuelo sig i geometriska transformationer.
konstnären Adrian Gray utövar stenbalansering, utnyttjar friktion och tyngdpunkten för att skapa slående och till synes omöjliga kompositioner.
konstnärer tar dock inte nödvändigtvis geometri bokstavligen. Som Douglas Hofstadter skriver i sin 1980-reflektion över mänskligt tänkande, g Aubbidel, Escher, Bach, genom (bland annat) konstmatematiken: ”skillnaden mellan en Escher-ritning och icke-euklidisk geometri är att i den senare kan begripliga tolkningar hittas för de odefinierade termerna, vilket resulterar i ett begripligt totalsystem, medan för det förra är slutresultatet inte förenligt med ens uppfattning om världen, oavsett hur länge man stirrar på bilderna.”Hofstadter diskuterar det till synes paradoxala lithograph Print Gallery av M. C. Escher; den visar en kuststad som innehåller ett konstgalleri som verkar innehålla en målning av kuststaden, det finns en ”konstig slinga eller trassig hierarki” till verklighetens nivåer i bilden. Konstnären själv, konstaterar Hofstadter, ses inte; hans verklighet och hans relation till litografin är inte paradoxala. Bildens centrala tomrum har också väckt intresse för matematikerna Bart De Smit och Hendrik Lenstra, som föreslår att den kan innehålla en Droste-effektkopia av sig själv, roterad och krympt; detta skulle vara en ytterligare illustration av rekursion utöver det som Hofstadter noterade.
analys av konsthistorikedit
algoritmisk analys av bilder av konstverk, till exempel med hjälp av Röntgenfluorescensspektroskopi, kan avslöja information om konst. Sådana tekniker kan avslöja bilder i lager av färg senare täckt över av en konstnär; hjälpa konsthistoriker att visualisera ett konstverk innan det knäckt eller bleknat; hjälpa till att berätta en kopia från ett original, eller skilja penseldrag stil av en mästare från de av hans lärlingar.
Jackson Pollocks droppmålningsstil har en bestämd fraktal dimension; bland konstnärerna som kan ha påverkat Pollocks kontrollerade kaos målade Max Ernst Lissajous figurer direkt genom att svänga en punkterad hink med färg över en duk.
datavetenskapsmannen Neil Dodgson undersökte om Bridget Rileys randmålningar kunde karakteriseras matematiskt och drog slutsatsen att medan separationsavstånd kunde ”ge viss karaktärisering” och global entropi arbetade på vissa målningar, misslyckades autokorrelationen eftersom Rileys mönster var oregelbundna. Lokal entropi fungerade bäst och korrelerade väl med beskrivningen från konstkritikern Robert Kudielka.
den amerikanska matematikern George Birkhoffs estetiska mått från 1933 föreslår en kvantitativ mätning av konstverkets estetiska kvalitet. Det försöker inte mäta konnotationerna i ett verk, till exempel vad en målning kan betyda, men är begränsad till ”ordningselementen” i en polygonal figur. Birkhoff kombinerar först (som en summa) fem sådana element: om det finns en vertikal symmetriaxel; om det finns optisk jämvikt; hur många rotationssymmetrier den har; hur tapetliknande figuren är; och om det finns otillfredsställande funktioner som att ha två hörn för nära varandra. Denna metriska, O, tar ett värde mellan -3 och 7. Den andra metriska, C, räknar element i figuren, som för en polygon är antalet olika raka linjer som innehåller minst en av dess sidor. Birkhoff definierar sedan sitt estetiska mått på ett objekts skönhet som O/C. Detta kan tolkas som en balans mellan nöjet att titta på objektet ger och mängden ansträngning som behövs för att ta in det. Birkhoffs förslag har kritiserats på olika sätt, inte minst för att försöka sätta skönhet i en formel, men han hävdade aldrig att han hade gjort det.
Stimuli till matematisk forskningredigera
konst har ibland stimulerat utvecklingen av matematik, som när Brunelleschis teori om perspektiv inom arkitektur och målning startade en forskningscykel som ledde till arbetet med Brook Taylor och Johann Heinrich Lambert om de matematiska grunderna för perspektivritning, och slutligen till matematiken för projektiv geometri av Girard Desargues och Jean-Victor Poncelet.
den japanska pappersfällningskonsten av origami har omarbetats matematiskt av Tomoko Fus Macau med hjälp av moduler, kongruenta pappersbitar som rutor och gör dem till polyeder eller kakel. Pappersvikning användes 1893 av T. Sundara Rao i sina geometriska övningar i pappersvikning för att demonstrera geometriska bevis. Matematiken för pappersvikning har utforskats i Maekawas sats, Kawasakis sats och Huzita–Hatori Axiom.
-
stimulans till projektiv geometri: Albertis diagram som visar en cirkel sett i perspektiv som en ellips. Della Pittura, 1435-6
-
matematisk origami: Spring in Action, av Jeff Beynon, gjord av en enda pappersrektangel.
Illusion till op artEdit
optiska illusioner som Fraser spiral visar påfallande begränsningar i mänsklig visuell uppfattning, skapa vad konsthistorikern Ernst Gombrich kallade ett ” förvirrande trick.”De svarta och vita repen som verkar bilda spiraler är i själva verket koncentriska cirklar. Mitten av nittonhundratalet Op konst eller optisk konst stil av målning och grafik utnyttjas sådana effekter för att skapa intryck av rörelse och blinkande eller vibrerande mönster ses i arbetet med konstnärer som Bridget Riley, Spyros Horemis, och Victor Vasarely.
Sacred geometryEdit
en konststräng från antikens Grekland och framåt ser Gud som världens geometer, och världens geometri därför som helig. Tron att Gud skapade universum enligt en geometrisk plan har Forntida ursprung. Plutarch tillskrev tron till Platon och skrev att” Platon sa att Gud geometriserar kontinuerligt ” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Denna bild har påverkat västerländsk tanke sedan dess. Det platoniska konceptet härleddes i sin tur från en pythagoreisk uppfattning om harmoni i musik, där tonerna var åtskilda i perfekta proportioner, motsvarande längderna på lyresträngarna; pythagoreerna ansåg faktiskt att allt var ordnat efter antal. På samma sätt, i platonisk tanke, dikterar de vanliga eller platoniska fasta ämnena de proportioner som finns i naturen och i konst. En belysning i 13-talet Codex Vindobonensis visar Gud dra ut universum med ett par kompasser, som kan hänvisa till en vers i Gamla testamentet: ”när han etablerade himlen jag var där: när han satte en kompass på framsidan av den djupa” (Ordspråksboken 8:27), . År 1596 modellerade den matematiska astronomen Johannes Kepler universum som en uppsättning kapslade platoniska fasta ämnen och bestämde de relativa storlekarna på planeternas banor. William Blake ’ s Ancient of Days (skildrar Urizen, Blakes utförande av förnuft och lag) och hans målning av fysikern Isaac Newton, naken, böjd och teckning med en kompass, använder kompassens symbolik för att kritisera konventionellt förnuft och materialism som trångsynt.Salvador Dali 1954 korsfästelse (Corpus Hypercubus) skildrar korset som en hyperkub, som representerar det gudomliga perspektivet med fyra dimensioner snarare än de vanliga tre. I Dalubbias nattvardens sakrament (1955) är Kristus och hans lärjungar avbildade inuti en jätte dodekahedron.
-
Gud geometern. Codex Vindobonensis, c. 1220
-
skapelsen, med Pantokratorlagret . Bibeln av St Louis, c. 1220-40
-
Johannes Keplers platoniska solida modell av planetavstånd i solsystemet från Mysterium Cosmographicum, 1596
-
William Blake ’s Den Gamla av dagar, 1794
-
Hotell nära William Blake’ s Newton, c. 1800