i ett perfekt optiskt system i den klassiska teorin om optik förenas ljusstrålar som går från vilken objektpunkt som helst i en bildpunkt; och därför reproduceras objektutrymmet i ett bildutrymme. Införandet av enkla hjälpvillkor, på grund av Gauss, som heter brännvidd och fokalplan, möjliggör bestämning av bilden av något objekt för något system. Den gaussiska teorin är emellertid endast sann så länge som vinklarna som görs av alla strålar med den optiska axeln (systemets symmetriska axel) är oändligt små, dvs med oändliga föremål, bilder och linser; i praktiken kan dessa förhållanden inte realiseras, och bilderna som projiceras av okorrigerade system är i allmänhet dåligt definierade och ofta suddiga om bländaren eller synfältet överskrider vissa gränser.
undersökningarna av James Clerk Maxwell och Ernst Abbe visade att egenskaperna hos dessa reproduktioner, dvs. bildens relativa position och storlek är inte speciella egenskaper hos optiska system, utan nödvändiga konsekvenser av antagandet (per Abbe) av reproduktionen av alla punkter i ett utrymme i bildpunkter och är oberoende av hur reproduktionen sker. Dessa författare visade emellertid att inget optiskt system kan motivera dessa antaganden, eftersom de strider mot de grundläggande lagarna för reflektion och brytning. Följaktligen, den gaussiska teorin levererar bara en bekväm metod för att approximera verkligheten; realistiska optiska system saknar detta ouppnåliga ideal. För närvarande är allt som kan åstadkommas projektionen av ett enda plan på ett annat plan; men även i detta inträffar alltid avvikelser och det kan vara osannolikt att dessa någonsin kommer att korrigeras helt.
avvikelse av axiella punkter (sfärisk avvikelse i begränsad mening)redigera
Låt S (fig. 1) var något optiskt system, strålar som går från en axelpunkt O under en vinkel u1 kommer att förenas i axelpunkten O ’ 1; och de under en vinkel u2 i axelpunkten O ’ 2. Om det finns brytning vid en kollektiv sfärisk yta, eller genom en tunn positiv lins, kommer O’2 att ligga framför O’1 Så länge vinkeln u2 är större än u1 (under korrigering); och omvänt med en dispersiv yta eller linser (överkorrigering). Kaustiken, i det första fallet, liknar tecknet > (större än); i den andra < (mindre än). Om vinkeln u1 är mycket liten är O ’1 Den gaussiska bilden; och O’1 O’2 kallas den längsgående avvikelsen och O’ 1R den laterala avvikelsen av pennorna med öppning u2. Om pennan med vinkeln u2 är den för den maximala avvikelsen av alla överförda pennor, finns det i ett plan vinkelrätt mot axeln vid O’1 en cirkulär skiva med förvirring av radie O’1R och i ett parallellt plan vid O’ 2 en annan av radie O ’ 2R2; mellan dessa två ligger skivan med minst förvirring.
den största öppningen av pennorna, som deltar i reproduktionen av O, dvs vinkeln u, bestäms vanligtvis av marginalen på en av linserna eller av ett hål i en tunn platta placerad mellan, före eller bakom linserna i systemet. Detta hål kallas stopp eller membran; Abbe använde termen bländarstopp för både hålet och linsens begränsningsmarginal. Komponenten S1 i systemet, belägen mellan bländarstoppet och objektet O, projicerar en bild av membranet, benämnt av Abbe ingångspupillen; utgångspupillen är bilden som bildas av komponenten S2, som placeras bakom bländarstoppet. Alla strålar som utfärdar från O och passerar genom bländarstoppet passerar också genom ingångs-och utgångseleverna, eftersom det här är bilder av bländarstoppet. Eftersom den maximala bländaren på pennorna som utfärdar från O är vinkeln u subtended av ingångspupillen vid denna punkt, storleken på avvikelsen kommer att bestämmas av ingångspupillens position och diameter. Om systemet är helt bakom bländarstoppet, är detta i sig ingångspupillen (främre stopp); om det är helt framför, är det utgångspupillen (bakstopp).
om objektpunkten är oändligt avlägsen är alla strålar som mottas av systemets första medlem parallella, och deras korsningar, efter att ha passerat systemet, varierar beroende på deras vinkelräta infallshöjd, dvs deras avstånd från axeln. Detta avstånd ersätter vinkeln u i de föregående övervägandena; och bländaren, dvs ingångspupillens radie, är dess maximala värde.
avvikelse av element, dvs minsta föremål i rät vinkel mot axisEdit
om strålar som kommer från O (fig. 1) är samtidiga, det följer inte att punkter i en del av ett plan vinkelrätt vid o till axeln också kommer att vara samtidiga, även om delen av planet är mycket liten. När linsens diameter ökar (dvs med ökande bländare) kommer grannpunkten N att reproduceras, men deltog av avvikelser som är jämförbara i storlek till ON. Dessa avvikelser undviks om, enligt Abbe, sinustillståndet, sin u ’1/sin u1=sin u’2 / sin u2, gäller för alla strålar som reproducerar punkten O. Om objektpunkten O är oändligt avlägsen ska u1 och u2 ersättas med h1 och h2, de vinkelräta incidenshöjderna; sinusförhållandet blir då sin u’1/h1=sin u’2/h2. Ett system som uppfyller detta villkor och är fritt från sfärisk avvikelse kallas aplanatisk (grekisk a-, privativ, plann, en vandrande). Detta ord användes först av Robert Blair för att karakterisera en överlägsen achromatism, och därefter av många författare att beteckna frihet från sfärisk avvikelse också.
eftersom avvikelsen ökar med strålens avstånd från linsens centrum ökar avvikelsen när linsdiametern ökar (eller motsvarande med bländarens diameter) och kan därför minimeras genom att minska bländaren, till kostnaden för att också minska mängden ljus som når bildplanet.
avvikelse av laterala objektpunkter (punkter bortom axeln) med smala pennor — astigmatismEdit
en punkt O (fig. 2) på ett ändligt avstånd från axeln (eller med ett oändligt avlägset objekt, en punkt som subtends en ändlig vinkel vid systemet) är i allmänhet inte ens då skarpt reproducerad om strålpennan som emitterar från den och korsar systemet görs oändligt smal genom att minska bländarstoppet; en sådan penna består av strålarna som kan passera från objektpunkten genom den nu oändligt lilla ingångspupillen. Det ses (ignorerar exceptionella fall) att pennan inte uppfyller brytnings-eller reflekterande ytan i rät vinkel; därför är det astigmatiskt (Gr. a -, privativ, stigmia, en punkt). Namngivning av den centrala strålen som passerar genom ingångspupillen axeln på pennan eller huvudstrålen, det kan sägas: pennans strålar skär, inte i en punkt, utan i två fokallinjer, som kan antas vara i rät vinkel mot huvudstrålen; av dessa ligger en i planet som innehåller huvudstrålen och systemets axel, d. v. s. i den första huvudavsnittet eller meridionala sektionen, och den andra i rät vinkel mot den, dvs i den andra huvudavsnittet eller sagittala sektionen. Vi får därför i inget enda avlyssningsplan bakom systemet, som till exempel en fokuseringsskärm, en bild av objektpunkten; å andra sidan bildas i var och en av två plan linjer O’ och O” separat (i angränsande plan ellipser bildas) och i ett plan mellan O’ och O” en cirkel med minst förvirring. Intervallet O ’O”, benämnt den astigmatiska skillnaden, ökar i allmänhet med vinkeln W gjord av huvudstrålen OP med systemets axel, dvs med synfältet. Två astigmatiska bildytor motsvarar ett objektplan; och dessa är i kontakt vid axelpunkten; på den ena ligger fokallinjerna av den första typen, på den andra den andra. System där de två astigmatiska ytorna sammanfaller kallas anastigmatiska eller stigmatiska.
Sir Isaac Newton var förmodligen upptäckaren av astigmation; positionen för de astigmatiska bildlinjerna bestämdes av Thomas Young; och teorin utvecklades av Allvar Gullstrand. En bibliografi av P. Culmann ges i Moritz von Rohrs Die Bilderzeugung i optischen instrumentet.
avvikelse av laterala objektpunkter med breda pennor-comaEdit
genom att öppna stoppet bredare uppstår liknande avvikelser för laterala punkter som redan diskuterats för axiella punkter; men i detta fall är de mycket mer komplicerade. Strålarnas gång i meridionalsektionen är inte längre symmetrisk mot pennans huvudstråle; och på ett avlyssningsplan framträder istället för en ljuspunkt en ljusfläck, inte symmetrisk kring en punkt, och uppvisar ofta en likhet med en komet med sin svans riktad mot eller bort från axeln. Från detta utseende tar det sitt namn. Den osymmetriska formen av meridional pencil-tidigare den enda som anses-är koma i smalare mening endast; andra komafel har behandlats av Arthur K. O. R. och Moritz von Rohr, och senare av Allvar Gullstrand.
krökning av bildfältetredigera
om ovanstående fel elimineras förenas de två astigmatiska ytorna och en skarp bild erhållen med en bred bländare—det återstår att korrigera bildytans krökning, särskilt när bilden ska tas emot på en plan yta, t.ex. vid fotografering. I de flesta fall är ytan konkav mot systemet.
förvrängning av bildenredigera
även om bilden är skarp kan den förvrängas jämfört med perfekt hålprojektion. I hålprojektion är förstoringen av ett objekt omvänt proportionellt mot dess avstånd till kameran längs den optiska axeln så att en kamera som pekar direkt på en plan yta reproducerar den plana ytan. Förvrängning kan betraktas som att sträcka bilden ojämnt eller likvärdigt som en variation i förstoring över fältet. Medan ” distorsion ”kan inkludera godtycklig deformation av en bild, är de mest uttalade distorsionsmetoderna som produceras av konventionell bildoptik” tunnförvrängning”, där bildens mitt förstoras mer än omkretsen (figur 3a). Det omvända, där omkretsen förstoras mer än mitten, är känd som ”pincushion distorsion” (figur 3b). Denna effekt kallas linsförvrängning eller bildförvrängning, och det finns algoritmer för att korrigera den.
system som är fria från distorsion kallas ortoskopiska (ortos, höger, skopein att se) eller rätlinjiga (raka linjer).
denna avvikelse skiljer sig ganska från reproduktionens skärpa; i oskarp reproduktion uppstår frågan om förvrängning om endast delar av objektet kan kännas igen i figuren. Om, i en oskarp bild, en ljusfläck motsvarar en objektpunkt, kan plåstrets tyngdpunkt betraktas som bildpunkten, detta är den punkt där planet som tar emot bilden, t.ex. en fokuseringsskärm, skär strålen som passerar genom mitten av stoppet. Detta antagande är motiverat om en dålig bild på fokuseringsskärmen förblir stillastående när bländaren minskar; i praktiken sker detta vanligtvis. Denna stråle, benämnd av Abbe en huvudstråle (inte att förväxla med Huvudstrålarna i Gaussisk teori), passerar genom mitten av ingångspupillen före den första brytningen och mitten av utgångspupillen efter den sista brytningen. Av detta följer att riktigheten av ritningen beror enbart på de viktigaste strålarna; och är oberoende av skärpan eller krökning av bildfältet. Med hänvisning till fig. 4, vi har O ’Q’/OQ = a’ tan w’/a tan w = 1 / N, där N är skalan eller förstoringen av bilden. För att N ska vara konstant för alla värden på w måste en’ tan w’/en tan w också vara konstant. Om förhållandet a’/ A är tillräckligt konstant, vilket ofta är fallet, minskar ovanstående förhållande till tillståndet av luftigt, dvs tan w’ / tan w= A konstant. Denna enkla relation (se Camb. Phil. Trans., 1830, 3, s. 1) uppfylls i alla system som är symmetriska med avseende på deras membran (kort benämnt symmetriska eller holosymmetriska mål), eller som består av två liknande men olika stora komponenter, placerade från membranet i förhållandet mellan deras storlek och presenterar samma krökning för det (hemisymmetriska mål); i dessa system tan w’ / tan w = 1.
beständigheten av en ’ / en nödvändig för detta förhållande att hålla påpekades av R. H. Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) och Thomas Sutton( Fotografiska anteckningar, 1862); det har behandlats av O. Lummer och av M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 och 1898, 18, S. 4). Det kräver att mitten av bländarstoppet reproduceras i mitten av ingångs-och utgångseleverna utan sfärisk avvikelse. M. von Rohr visade att för system som varken uppfyller det luftiga eller Bow-Sutton-tillståndet kommer förhållandet a ’cos w’ / a tan w att vara konstant för ett avstånd av objektet. Detta kombinerade villkor uppfylls exakt av holosymmetriska mål som reproducerar med skalan 1 och av hemisymmetrisk, om reproduktionsskalan är lika med förhållandet mellan storlekarna på de två komponenterna.
Zernike modell av aberrationsEdit
cirkulära vågfrontprofiler associerade med avvikelser kan matematiskt modelleras med Zernike polynomier. Zernikes polynom utvecklades av Frits Zernike på 1930-talet och är ortogonala över en cirkel med enhetsradie. En komplex, aberrerad vågfrontprofil kan vara kurva-utrustad med Zernike polynomier för att ge en uppsättning passande koefficienter som individuellt representerar olika typer av avvikelser. Dessa Zernike-koefficienter är linjärt oberoende, så individuella aberrationsbidrag till en övergripande vågfront kan isoleras och kvantifieras separat.
det finns jämna och udda Zernike polynomier. De jämna Zernike-polynomerna definieras som
Z n m ( exportorienterade , exportorienterade ) = r n m ( exportorienterade ) cos ( exportorienterade) cos (exportorienterade) {\displaystyle Z_{n}^{m} (\rho ,\phi) =r_{n}^{m} (\rho)\, \cos (m\,\phi)\!}
och de udda Zernike-polynomerna som
z n – m (exportorienterade, exportorienterade) = R n m (exportorienterade ) sin exportorienterade ( exportorienterade ) , {\displaystyle Z_{n}^{- m} (\rho,\phi )=r_{n}^{m} (\rho)\,\sin (m\, \phi),\!}
där m och n är icke-negativa heltal med n ci m {\displaystyle n \ geq m}
, är den azimutala vinkeln i radianer, och är det normaliserade radiella avståndet. De radiella polynomerna R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}
har inget azimuthalberoende och definieras som R n m ( Kubi) = k = 0 ( n − m ) / 2 ( − 1 ) k ( n − k ) ! k ! ((n + m) / 2 − k)! ((n-m) / 2 − k)! 2 k om n-m är jämn {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\ summa _ {k = 0}^{(n-m) / 2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\, (n-k)!}{k!\, ((n+m)/2-k)!\, ((n-m)/2-k)!}}\; \ rho ^{n-2\, k} \ quad {\mbox{if }}n-m {\mbox{ är jämn}}}
och R n m ( kub) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m} (\rho )=0}
om n − m {\displaystyle n-m}
är udda.
de första Zernike-polynomerna, multiplicerade med deras respektive anpassningskoefficienter, är:
a 0 oc 1 {\displaystyle a_{0} \ times 1}
 |
”kolv”, lika med medelvärdet av vågfronten |
a 1 oc Cu Cu Cu (oc cu) {\displaystyle a_{1}\times \Rho \cos (\phi )}
 |
”X-Tilt”, avvikelsen för den totala strålen i sagittalriktningen |
a 2 OC. s. A. S. A. S. A. S. A. (S. A. S. A.) {\displaystyle a_ {2}\times \Rho \sin (\phi )}
 |
”y-Tilt”, avvikelsen för den totala strålen i tangentiell riktning |
a 3 msk (2 msk 2 − 1 ) {\displaystyle A_{3}\gånger (2 \ rho ^{2}-1)}
 |
”Defocus”, en parabolisk vågfront som härrör från att vara ur fokus |
a 4 msk 2 msk (2 msk) {\displaystyle A_ {4}\times \Rho ^ {2}\cos(2 \ phi )}
 |
”0° Astigmatism”, en cylindrisk form längs X – eller Y-axeln |
en 5-2-2-synd ( 2) {\displaystyle a_{5} \ times \ rho ^{2} \ sin (2\phi )}
 |
”45° Astigmatism”, en cylindrisk form orienterad vid 25 x-axeln |
a 6 (3 2-2 ) 2 ( 2) 2 (2) 2 (2) (2) (6) {\displaystyle A_{6}\gånger (3\rho ^{2}-2)\rho \cos (\phi )}
 |
”X-Coma”, comatic bild flaring i horisontell riktning |
a 7 ( 3 2-2 ) 2 ( 2) 2 (7) (7) {\displaystyle A_ {} \ times (3 \ rho ^{2}-2) \ rho \ sin (\phi )}
 |
”y-Coma”, comatic bild flaring i vertikal riktning |
a 8 msk (6 msk 4-6 msk 2 + 1) {\displaystyle A_{8} \ gånger (6 \ rho ^{4}-6 \ rho ^{2}+1)}
 |
”tredje ordningens sfäriska avvikelse” |
där {\displaystyle \ rho }
är den normaliserade pupillradien med 0 oc 1 {\displaystyle 0 \ leq \ Rho \leq 1}
, {\displaystyle \phi }
är den azimutala vinkeln runt pupillen med 0 kg 2 kg {\displaystyle 0\leq \Phi \leq 2\pi }
och anpassningskoefficienterna a 0,…, a 8 {\displaystyle A_{0},\ldots, a_{8}}
är vågfrontfel i våglängder.
som i Fouriersyntes med sines och cosinus kan en vågfront representeras perfekt av ett tillräckligt stort antal Zernike-polynom av högre ordning. Vågfronter med mycket branta lutningar eller mycket hög rumslig frekvensstruktur, såsom producerad genom förökning genom atmosfärisk turbulens eller aerodynamiska flödesfält, är emellertid inte väl modellerade av Zernike polynomier, som tenderar att lågpassfiltrera fin rumslig definition i vågfronten. I detta fall kan andra monteringsmetoder såsom fraktaler eller sönderdelning av singularvärde ge förbättrade anpassningsresultat.
cirkelpolynomerna introducerades av Frits Zernike för att utvärdera punktbilden för ett aberrerat optiskt system med hänsyn till effekterna av diffraktion. Den perfekta punktbilden i närvaro av diffraktion hade redan beskrivits av Airy, redan 1835. Det tog nästan hundra år att komma fram till en omfattande teori och modellering av punktbilden av aberrerade system (Zernike och Nijboer). Analysen av Nijboer och Zernike beskriver intensitetsfördelningen nära det optimala fokalplanet. En utökad teori som möjliggör beräkning av punktbildens amplitud och intensitet över en mycket större volym i fokalregionen utvecklades nyligen (Extended Nijboer-Zernike theory). Denna utökade Nijboer-Zernike-teori om punktbild eller’ punktspridningsfunktion ’ -bildning har hittat tillämpningar i allmän forskning om bildbildning, särskilt för system med hög numerisk bländare, och för att karakterisera optiska system med avseende på deras avvikelser.