Sexdimensionellt utrymme

transformationer i tredimensioneredit

i tredimensionellt utrymme har en styv transformation sex frihetsgrader, tre översättningar längs de tre koordinataxlarna och tre från rotationsgruppen SO(3). Ofta hanteras dessa omvandlingar separat eftersom de har mycket olika geometriska strukturer, men det finns sätt att hantera dem som behandlar dem som ett enda sexdimensionellt objekt.

Skruvteoriredigera

i skruvteori kombineras vinkel och linjär hastighet till ett sexdimensionellt objekt, kallat en vridning. Ett liknande objekt som kallas en skiftnyckel kombinerar krafter och vridmoment i sex dimensioner. Dessa kan behandlas som sexdimensionella vektorer som omvandlar linjärt vid byte av referensram. Översättningar och rotationer kan inte göras på detta sätt, men är relaterade till en vridning genom exponentiering.

fasutrymmeredigera

Fasutrymme är ett utrymme som består av en partikels position och momentum, som kan ritas samman i ett fasdiagram för att markera förhållandet mellan kvantiteterna. En allmän partikel som rör sig i tre dimensioner har ett fasutrymme med sex dimensioner, för många för att plotta men de kan analyseras matematiskt.

rotationer i fyra dimensionerredigera

rotationsgruppen i fyra dimensioner, SO(4), har sex frihetsgrader. Detta kan ses genom att ta hänsyn till 4 msk 4 matris som representerar en rotation: eftersom det är en ortogonal matris matrisen bestäms, upp till en förändring i tecken, av t.ex. de sex elementen ovanför huvuddiagonalen. Men denna grupp är inte linjär, och den har en mer komplex struktur än andra applikationer hittills sett.

ett annat sätt att se på denna grupp är med kvaternion multiplikation. Varje rotation i fyra dimensioner kan uppnås genom att multiplicera med ett par enhetskvaternioner, en före och en efter vektorn. Dessa quaternion är unika, upp till en förändring i tecken för dem båda, och genererar alla rotationer när de används på detta sätt, så produkten från deras grupper, S3 msk S3, är ett dubbelt lock av SO(4), som måste ha sex dimensioner.

även om det utrymme vi lever i betraktas som tredimensionellt, finns det praktiska tillämpningar för fyrdimensionellt utrymme. Kvaternioner, ett sätt att beskriva rotationer i tre dimensioner, består av ett fyrdimensionellt utrymme. Rotationer mellan kvaternioner, för interpolering, till exempel, sker i fyra dimensioner. Rymdtid, som har tre rymddimensioner och en tidsdimension är också fyrdimensionell, men med en annan struktur än euklidiskt utrymme.

Elektromagnetismedit

i elektromagnetism anses det elektromagnetiska fältet i allmänhet vara tillverkat av två saker, det elektriska fältet och magnetfältet. De är båda tredimensionella vektorfält, relaterade till varandra av Maxwells ekvationer. Ett andra tillvägagångssätt är att kombinera dem i ett enda objekt, den sexdimensionella elektromagnetiska tensorn, en tensor eller bivektor värderad representation av det elektromagnetiska fältet. Med hjälp av denna Maxwells ekvationer kan kondenseras från fyra ekvationer till en särskilt kompakt enda ekvation:

bisexuell f = J {\displaystyle \ partial \ mathbf {F} =\mathbf {J} \,}

där F är bivektorformen för den elektromagnetiska tensorn, J är den fyra-nuvarande och bisexuell är en lämplig differentialoperatör.

String theoreyedit

i fysik strängteori är ett försök att beskriva allmän relativitet och kvantmekanik med en enda matematisk modell. Även om det är ett försök att modellera vårt universum sker det i ett utrymme med fler dimensioner än de fyra rumtiden som vi känner till. I synnerhet sker ett antal strängteorier i ett tiodimensionellt utrymme och lägger till ytterligare sex dimensioner. Dessa extra dimensioner krävs av teorin, men eftersom de inte kan observeras anses de vara helt annorlunda, kanske komprimerade för att bilda ett sexdimensionellt utrymme med en viss geometri för liten för att kunna observeras.

sedan 1997 har en annan strängteori kommit fram som fungerar i sex dimensioner. Små strängteorier är icke-gravitationella strängteorier i fem och sex dimensioner som uppstår när man överväger gränser för tiodimensionell strängteori.