en högskoleprofessor vill jämföra sina elevers poäng med det nationella genomsnittet. Hon väljer ett enkelt slumpmässigt urval (SRS) på 20 studenter, som får i genomsnitt 50,2 på ett standardiserat test. Deras poäng har en standardavvikelse på 2,5. Det nationella genomsnittet på testet är en 60. Hon vill veta om hennes elever gjorde betydligt lägre än det nationella genomsnittet.
Signifikanstester följer en procedur i flera steg.
steg 1redigera
ange först problemet när det gäller en distribution och identifiera parametrarna av intresse. Nämn provet. Vi kommer att anta att poängen (X) för eleverna i professorns klass är ungefär normalt fördelade med okända parametrar exporten och exporten
steg 2edit
ange hypoteserna i symboler och ord.
h o: 60 {\displaystyle H_{o}: \ quad \ mu =60}
nollhypotesen är att hennes elever gjorde poäng i nivå med det nationella genomsnittet.
H a: oc IC < 60 {\displaystyle H_{a}: \ quad \ mu <60}
den alternativa hypotesen är att hennes elever fick lägre poäng än det nationella genomsnittet.
steg 3redigera
för det andra identifiera testet som ska användas. Eftersom vi har en SRS av liten storlek och inte känner till befolkningens standardavvikelse, kommer vi att använda ett T-test med ett prov.
formeln för T-statistik t för ett provprov är som följer:
T = X-60 S / 20 {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-60}{S / {\sqrt {20}}}}}
där X {\displaystyle {\overline {X}}}
är provmedelvärdet och S är provstandardavvikelsen.
ett ganska vanligt misstag är att säga att formeln för t-teststatistiken är:
T = X-s / n {\displaystyle t={\frac {{\overline {x}} – \mu }{s / {\sqrt {n}}}}}
detta är ingen statistik, eftersom det inte är känt att det rör sig om ett sådant problem, vilket är den avgörande punkten i ett sådant problem. De flesta märker inte ens det. Ett annat problem med denna formel är användningen av x och s. de ska betraktas som provstatistiken och inte deras värden.
den rätta allmänna formeln är:
T = X-c S / n {\displaystyle T={\frac {{\overline {x}} – c}{S / {\sqrt {n}}}}}
i vilken c är det hypotetiska värdet för Taiwan som anges av nollhypotesen.
(standardavvikelsen för provet dividerat med kvadratroten av provstorleken är känd som” standardfel ” för provet.)
steg 4edit
ange fördelningen av teststatistiken under nollhypotesen. Under H0 kommer statistiken T att följa en studerandes fördelning med 19 frihetsgrader: t 20-1 (t) {\displaystyle T \ sim\tau \cdot (20-1)}
.
steg 5edit
beräkna det observerade värdet t i teststatistiken T genom att ange värdena enligt följande:
t = x-60 s / 20 = 50.2 − 60.0 2.5 / 20 = − 9.8 2.5 / 4.47 = − 9.8 0.559 = − 17.5 {\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-60}{s / {\sqrt {20}}}} = {\frac {50.2-60.0}{2.5/{\sqrt {20}}}} = {\frac {-9.8}{2.5/4.47}}={\frac {-9,8}{0.559}}=-17.5}
steg 6Edit
bestäm det så kallade p-värdet av värdet t i teststatistiken T. Vi kommer att avvisa nollhypotesen för för små värden på T, så vi beräknar det vänstra p-värdet:
p-värde = P (t xhamster t; H 0 ) = P( T ( 19 ) ≤ − 17.5 ) ≈ 0 {\displaystyle =P (T \ leq t;H_{0})=P(T(19)\leq -17,5) \ approx 0}
studentens fördelning ger T (19) = 1.729 {\displaystyle T(19)=1.729}
vid sannolikheter 0,95 och frihetsgrader 19. P-värdet approximeras vid 1.777 e-13.
steg 7redigera
slutligen tolka resultaten i samband med problemet. P-värdet indikerar att resultaten nästan säkert inte hände av en slump och vi har tillräckliga bevis för att avvisa nollhypotesen. Professorns studenter gjorde poäng betydligt lägre än det nationella genomsnittet.