afvigende stress og invarianter
indsendt af: Pantelis Liolios | Sept. 16, 2020
stresstensoren kan udtrykkes som summen af to stresstensorer, nemlig: den hydrostatiske stresstensor og den afvigende stresstensor. I denne artikel vil vi definere den hydrostatiske og den afvigende del af stresstensoren, og vi vil beregne invarianterne af spændingsafvigeren. Invarianterne af den afvigende stress bruges ofte i fejlkriterier.
overvej en stress tensor \( \sigma_{IJ}\), der virker på en krop. Den stressede krop har tendens til at ændre både dens volumen og dens form. Den del af stresstensoren, der har tendens til at ændre kroppens volumen, kaldes gennemsnitlig hydrostatisk stresstensor eller volumetrisk stresstensor. Den del, der har tendens til at fordreje kroppen, kaldes stressafviger tensor. Derfor kan stresstensoren udtrykkes som:
hvor \ (\delta_{IJ} \) er Kronecker delta (med \ (\delta_{IJ}=1 \) hvis \ (i=j \) og \ (\delta_{IJ}=0 \) hvis \ (i\nek j\)), \ (p \) er den gennemsnitlige stress givet af:
hvor \ (i_{1} \) er den første invariant af stresstensoren (se også: Hovedspændinger og stressinvarianter). Produktet \ (p \ delta_{IJ} \) er den hydrostatiske spændingstensor og indeholder kun normale belastninger. Den afvigende spændingstensor kan opnås ved at trække den hydrostatiske spændingstensor fra spændingstensoren:
for at beregne invariants af stress deviator tensor vil vi følge den samme procedure, der anvendes i artiklen vigtigste stress og stress invariants. Det skal nævnes, at de vigtigste retninger af stressafvigeren tensor falder sammen med de vigtigste retninger af stress tensor. Den karakteristiske ligning for \ (s_{IJ} \) er:
hvor \ (J_{1} \), \ (J_{2}\) og \( J_{3}\) er henholdsvis den første, anden og tredje afvigende stressvariant. Rødderne af polynomet er de tre vigtigste deviatoriske spændinger \ (s_{1} \), \ (s_{2}\) og \( s_{3}\). \ (J_{1} \), \ (J_{2}\) og \( J_{3}\) kan beregnes ved hjælp af følgende udtryk:
hvor \ (I_{1} \), \ (i_{2}\) og \( i_{3}\) er de tre invarianter af stresstensoren og \( \det(s_{IJ})\) er determinanten af \( s_{IJ}\). Det skal nævnes, at siden \( J_{1}=s_{kk}=0\), stress deviator tensor beskriver en tilstand af ren forskydning.
eksempel
Beregn stressafvigeren tensor og dens invarianter for følgende stresstensor:
Vis løsning…
for det første beregner vi gennemsnitstrykket \ (p \):
fra ligning (3) beregner vi spændingsafvigeren tensor:
for stress deviator tensor invariants vil vi bruge ligninger (5), og vi får:
endelig er den karakteristiske ligning:
Tags: algebra| egenværdier| invariants| mekanik| tensorer