En un sistema óptico perfecto en la teoría clásica de la óptica, los rayos de luz procedentes de cualquier punto de objeto se unen en un punto de imagen; y por lo tanto el espacio de objeto se reproduce en un espacio de imagen. La introducción de términos auxiliares simples, debido a Gauss, llamados longitudes focales y planos focales, permite la determinación de la imagen de cualquier objeto para cualquier sistema. La teoría gaussiana, sin embargo, solo es cierta siempre que los ángulos hechos por todos los rayos con el eje óptico (el eje simétrico del sistema) sean infinitamente pequeños, es decir, con objetos, imágenes y lentes infinitesimales; en la práctica, estas condiciones pueden no realizarse, y las imágenes proyectadas por sistemas no corregidos están, en general, mal definidas y, a menudo, borrosas si la apertura o el campo de visión exceden ciertos límites.
Las investigaciones de James Clerk Maxwell y Ernst Abbe mostraron que las propiedades de estas reproducciones, i. e. la posición relativa y la magnitud de las imágenes, no son propiedades especiales de los sistemas ópticos, sino consecuencias necesarias de la suposición (por Abbe) de la reproducción de todos los puntos de un espacio en puntos de imagen, y son independientes de la forma en que se efectúa la reproducción. Estos autores demostraron, sin embargo, que ningún sistema óptico puede justificar estos supuestos, ya que son contradictorios con las leyes fundamentales de reflexión y refracción. En consecuencia, la teoría gaussiana solo proporciona un método conveniente para aproximarse a la realidad; los sistemas ópticos realistas no alcanzan este ideal inalcanzable. Actualmente, todo lo que se puede lograr es la proyección de un solo plano sobre otro plano; pero incluso en esto, siempre ocurren aberraciones y puede ser poco probable que éstas alguna vez se corrijan por completo.
Aberración de los puntos axiales (aberración esférica en el sentido restringido)Editar
sea S (fig. 1) sea cualquier sistema óptico, los rayos que procedan de un punto de eje O bajo un ángulo u1 se unirán en el punto de eje O ‘ 1; y los que están bajo un ángulo u2 en el punto del eje O ‘ 2. Si hay refracción en una superficie esférica colectiva, o a través de una lente positiva delgada, O’2 estará delante de O’1 siempre que el ángulo u2 sea mayor que u1 (en corrección); y viceversa con una superficie o lentes dispersivas (sobre corrección). El cáustico, en el primer caso, se asemeja al signo > (mayor que); en el segundo < (menor que). Si el ángulo u1 es muy pequeño, O’1 es la imagen gaussiana; y O’1 O’2 se denomina la aberración longitudinal, y O’ 1R la aberración lateral de los lápices con abertura u2. Si el lápiz con el ángulo u2 es el de la aberración máxima de todos los lápices transmitidos, entonces en un plano perpendicular al eje en O’1 hay un disco circular de confusión de radio O’1R, y en un plano paralelo en O’2 otro de radio O’2R2; entre estos dos está situado el disco de menor confusión.
La abertura más grande de los lápices, que participan en la reproducción de O, es decir, el ángulo u, generalmente está determinada por el margen de una de las lentes o por un orificio en una placa delgada colocada entre, antes o detrás de las lentes del sistema. Este orificio se denomina tope o diafragma; Abbe utilizó el término tope de apertura tanto para el orificio como para el margen limitante de la lente. El componente S1 del sistema, situado entre el diafragma y el objeto O, proyecta una imagen del diafragma, denominado por Abbe la entrada de la pupila; la pupila de salida es la imagen formada por el componente S2, que se coloca detrás del diafragma. Todos los rayos que salen de O y pasan a través del tope de abertura también pasan a través de las pupilas de entrada y salida, ya que estas son imágenes del tope de abertura. Dado que la apertura máxima de los lápices que salen de O es el ángulo u subtendido por la pupila de entrada en este punto, la magnitud de la aberración se determinará por la posición y el diámetro de la pupila de entrada. Si el sistema está completamente detrás del tope de apertura, entonces esta es en sí la pupila de entrada (tope delantero); si está completamente en frente, es la pupila de salida (tope trasero).
Si el punto del objeto está infinitamente distante, todos los rayos recibidos por el primer miembro del sistema son paralelos, y sus intersecciones, después de atravesar el sistema, varían de acuerdo con su altura de incidencia perpendicular, es decir, su distancia del eje. Esta distancia reemplaza el ángulo u en las consideraciones anteriores; y la abertura, es decir, el radio de la pupila de entrada, es su valor máximo.
Aberración de elementos, es decir, objetos más pequeños en ángulo recto con el axiseditar
Si los rayos salen de O (fig. 1) son concurrentes, no se deduce que los puntos en una porción de un plano perpendicular en O al eje también sean concurrentes, incluso si la parte del plano es muy pequeña. A medida que aumenta el diámetro de la lente (es decir, con apertura creciente), el punto vecino N se reproducirá, pero acompañado de aberraciones comparables en magnitud a ON. Estas aberraciones se evitan si, según Abbe, la condición sinusoidal, sin u’1/sin u1=sin u’2/sin u2, se aplica a todos los rayos que reproducen el punto O. Si el punto objeto O es infinitamente distante, u1 y u2 deben ser reemplazados por h1 y h2, las alturas perpendiculares de incidencia; la condición sinusoidal se convierte en sin u’1/h1=sin u’2/h2. Un sistema que cumple esta condición y está libre de aberración esférica se llama aplanático (griego a-, privativo, plann, a errante). Esta palabra fue utilizada por primera vez por Robert Blair para caracterizar un acromatismo superior, y, posteriormente, por muchos escritores para denotar la libertad de la aberración esférica también.
Dado que la aberración aumenta con la distancia del rayo desde el centro de la lente, la aberración aumenta a medida que aumenta el diámetro de la lente (o, en consecuencia, con el diámetro de la abertura), y por lo tanto se puede minimizar reduciendo la abertura, a costa de reducir también la cantidad de luz que llega al plano de la imagen.
Aberración de puntos laterales del objeto (puntos más allá del eje) con lápices estrechos — Astigmatismeditar
Un punto O (fig. 2) a una distancia finita del eje (o con un objeto infinitamente distante, un punto que subyace a un ángulo finito en el sistema), en general, incluso entonces no se reproduce bruscamente si el lápiz de rayos que salen de él y atraviesan el sistema se hace infinitamente estrecho al reducir el tope de apertura; dicho lápiz consiste en los rayos que pueden pasar desde el punto del objeto a través de la pupila de entrada ahora infinitamente pequeña. Se observa (ignorando casos excepcionales) que el lápiz no cumple con la superficie refractante o reflectante en ángulo recto; por lo tanto, es astigmático (Gr. a -, privativo, estigmas, un punto). Nombrando al rayo central que pasa a través de la pupila de entrada el eje del lápiz o rayo principal, se puede decir: los rayos del lápiz se cruzan, no en un punto, sino en dos líneas focales, que se pueden suponer que están en ángulos rectos con el rayo principal; de estos, uno se encuentra en el plano que contiene el rayo principal y el eje del sistema, i. e. en la primera sección principal o sección meridional, y la otra en ángulo recto con ella, es decir, en la segunda sección principal o sección sagital. Por lo tanto, no recibimos en un solo plano interceptor detrás del sistema, como, por ejemplo, una pantalla de enfoque, una imagen del punto del objeto; por otro lado, en cada uno de los dos planos se forman por separado líneas O’ y O» (en los planos vecinos se forman elipses), y en un plano entre O’ y O» un círculo de menor confusión. El intervalo O’O», denominado diferencia astigmática, aumenta, en general, con el ángulo W realizado por el rayo principal OP con el eje del sistema, es decir, con el campo de visión. Dos superficies de imagen astigmáticas corresponden a un plano de objeto; y estas están en contacto en el punto del eje; por un lado, se encuentran las líneas focales del primer tipo, y por el otro, las del segundo. Los sistemas en los que las dos superficies astigmáticas coinciden se denominan anastigmáticos o estigmáticos.
Sir Isaac Newton fue probablemente el descubridor de astigmación; la posición de las líneas de imagen astigmáticas fue determinada por Thomas Young; y la teoría fue desarrollada por Allvar Gullstrand. Una bibliografía de P. Culmann se encuentra en Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten de Moritz von Rohr.
Aberración de puntos de objetos laterales con lápices anchos-comaeditar
Al abrir el tope más ancho, surgen desviaciones similares para los puntos laterales como ya se ha discutido para los puntos axiales; pero en este caso son mucho más complicadas. El curso de los rayos en la sección meridional ya no es simétrico al rayo principal del lápiz; y en un plano interceptor aparece, en lugar de un punto luminoso, un parche de luz, no simétrico alrededor de un punto, y a menudo exhibe un parecido con un cometa que tiene su cola dirigida hacia o lejos del eje. De esta apariencia toma su nombre. La forma asimétrica del lápiz meridional, anteriormente la única considerada, es coma en el sentido más estrecho solamente; otros errores de coma han sido tratados por Arthur König y Moritz von Rohr, y más tarde por Allvar Gullstrand.
Curvatura del campo de la imageeditar
Si se eliminan los errores anteriores, las dos superficies astigmáticas se unen y se obtiene una imagen nítida con una abertura amplia, sigue siendo necesario corregir la curvatura de la superficie de la imagen, especialmente cuando la imagen se recibe sobre una superficie plana, por ejemplo, en fotografía. En la mayoría de los casos, la superficie es cóncava hacia el sistema.
Distorsión de la imageEdit
Incluso si la imagen es nítida, puede estar distorsionada en comparación con la proyección estenopeica ideal. En la proyección estenopeica, el aumento de un objeto es inversamente proporcional a su distancia a la cámara a lo largo del eje óptico, de modo que una cámara que apunta directamente a una superficie plana reproduce esa superficie plana. La distorsión puede pensarse como estirar la imagen de manera no uniforme, o, de forma equivalente, como una variación en la ampliación a través del campo. Mientras que la » distorsión «puede incluir la deformación arbitraria de una imagen, los modos de distorsión más pronunciados producidos por la óptica de imagen convencional es la» distorsión de barril», en la que el centro de la imagen se magnifica más que el perímetro (figura 3a). El reverso, en el que el perímetro se magnifica más que el centro, se conoce como «distorsión de alfiletero» (figura 3b). Este efecto se llama distorsión de lente o distorsión de imagen, y hay algoritmos para corregirlo.
Los sistemas libres de distorsión se denominan ortoscópicos (orthos, derecha, skopein para mirar) o rectilíneos (líneas rectas).
Esta aberración es muy distinta de la de la nitidez de la reproducción; en la reproducción sin nitidez, la cuestión de la distorsión surge si solo se pueden reconocer partes del objeto en la figura. Si, en una imagen no nítida, un parche de luz corresponde a un punto de objeto, el centro de gravedad del parche puede considerarse como el punto de la imagen, este es el punto donde el plano que recibe la imagen, por ejemplo, una pantalla de enfoque, se cruza con el rayo que pasa a través del centro del tope. Esta suposición se justifica si una imagen pobre en la pantalla de enfoque permanece inmóvil cuando la abertura se disminuye; en la práctica, esto generalmente ocurre. Este rayo, llamado por Abbe a rayo principal (no debe confundirse con los rayos principales de la teoría gaussiana), pasa a través del centro de la pupila de entrada antes de la primera refracción, y el centro de la pupila de salida después de la última refracción. De esto se deduce que la corrección del dibujo depende únicamente de los rayos principales; y es independiente de la nitidez o curvatura del campo de imagen. Refiriéndose a la fig. 4, tenemos O’Q ‘/ OQ = a ‘tan w’ / a tan w = 1 / N, donde N es la escala o ampliación de la imagen. Para que N sea constante para todos los valores de w, un ‘tan w’ / un tan w también debe ser constante. Si la relación a’ / a es suficientemente constante, como suele ser el caso, la relación anterior se reduce a la condición de Airy, es decir, tan w’/ tan w= a constante. Esta relación simple (ver Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) se cumple en todos los sistemas que son simétricos con respecto a su diafragma (llamados brevemente objetivos simétricos o holosimétricos), o que consisten en dos componentes similares, pero de diferentes tamaños, colocados desde el diafragma en la proporción de su tamaño, y que presentan la misma curvatura (objetivos hemisféricos); en estos sistemas tan w’ / tan w = 1.
La constancia de a’/a necesaria para que esta relación se mantenga fue señalada por R. H. Bow (Brit. Journ. Photog., 1861), y Thomas Sutton (Notas fotográficas, 1862); ha sido tratada por O. Lummer y por M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 y 1898, 18, pág. 4). Requiere que el centro del tope de apertura se reproduzca en los centros de las pupilas de entrada y salida sin aberración esférica. M. von Rohr demostró que para los sistemas que no cumplen ni la condición Airy ni la condición Bow-Sutton, la relación a’ cos w’/a tan w será constante para una distancia del objeto. Esta condición combinada se cumple exactamente con los objetivos holosimétricos reproduciéndose con la escala 1, y con los hemisféricos, si la escala de reproducción es igual a la proporción de los tamaños de los dos componentes.
Modelo de Zernike de Aberracioneseditar
Los perfiles de frente de onda circular asociados con aberraciones pueden modelarse matemáticamente utilizando polinomios de Zernike. Desarrollado por Frits Zernike en la década de 1930, los polinomios de Zernike son ortogonales sobre un círculo de radio unitario. Un perfil de frente de onda complejo y aberrado puede estar equipado con polinomios de Zernike para obtener un conjunto de coeficientes de ajuste que representan individualmente diferentes tipos de aberraciones. Estos coeficientes de Zernike son linealmente independientes, por lo que las contribuciones individuales de aberración a un frente de onda general pueden aislarse y cuantificarse por separado.
Hay polinomios pares e impares de Zernike. Incluso los polinomios de Zernike son definidos como
Z n m ( ρ , ϕ ) = R n m ( ρ ) cos ( m ϕ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )\!}
y los polinomios de Zernike impares como
Z n-m ( ρ, phi) =R n m ( ρ) sin ( m!), {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi) = R_{n}^{m}(\rho)\, \sin(m\,\phi),\!}
donde m y n son enteros no negativos con n ≥ m {\displaystyle n \ geq m}
, Φ es el ángulo azimutal en radianes, y ρ es la distancia radial normalizada. Los polinomios radiales R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}
no tienen dependencia azimutal, y se definen como R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 (n − m ) / 2 (−1 ) k (n − k ) ! ¡k ! ((n + m ) / 2 − k ) ! ((n − m ) / 2 − k ) ! ρ n – 2 k si n − m es par {\displaystyle R_{n}^{m} (\rho)=\!\sum _ {k = 0}^{(n-m) / 2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\, (n-k)!¡k!\, ((n + m) / 2-k)!\, ((n-m) / 2-k)!}}\; \ rho ^{n-2\, k} \ quad {\mbox{if }}n-m {\mbox{ is even}}}
y la I n m ( ρ ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}
si n − m {\displaystyle n-m}
es impar.
Los primeros polinomios de Zernike, multiplicados por sus respectivos coeficientes de ajuste, son:
un 0 × 1 {\displaystyle a_{0}\times 1}
 |
«Pistón», igual al valor de la media de la frente de onda |
un 1 × ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{1}\times \rho \cos(\phi )}
 |
«X-Tilt», la desviación total de la viga en la dirección sagital |
un 2 × ρ pecado ( ϕ ) {\displaystyle a_{2}\times \rho \sin(\phi )}
 |
«Inclinación en Y», la desviación del haz general en la dirección tangencial |
a 3 × (2 ρ 2 − 1 ) {\displaystyle a_{3}\times (2 \ rho ^{2}-1)}
 |
«Desenfoque», un frente de onda parabólico resultante de estar fuera de foco |
a 4 × ρ 2 cos (2 ϕ ) {\displaystyle a_{4}\times \rho ^{2}\cos (2 \ phi )}
 |
«0° Astigmatismo», una forma cilíndrica a lo largo del eje X o Y |
a 5 × ρ 2 sin ( 2 ϕ ) {\displaystyle a_{5}\times \rho ^{2}\sin(2\phi )}
 |
«45° Astigmatismo», una forma cilíndrica orientado a ±45° desde el eje X |
un 6 × ( 3 ρ 2 − 2 ) ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle a_{6}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \cos(\phi )}
 |
«X-Coma», comatic imagen de la quema en la dirección horizontal |
un 7 × ( 3 ρ 2 − 2 ) ρ pecado ( ϕ ) {\displaystyle a_{7}\times (3\rho ^{2}-2)\rho \sin(\phi )}
 |
«Y-Coma», comatic imagen de la quema en la dirección vertical |
un 8 × ( 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ) {\displaystyle a_{8}\times (6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}
 |
«Tercer orden de la aberración esférica» |
donde ρ {\displaystyle \rho }
es la normalizado alumno radio con 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}
, ϕ {\displaystyle \phi }
es el ángulo azimutal alrededor de la pupila con 0 ≤ ≤ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }
, y los coeficientes de ajuste a 0 , … , a 8 {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}
son los errores de frente de onda en longitudes de onda.
Al igual que en la síntesis de Fourier utilizando senos y cosenos, un frente de onda puede estar perfectamente representado por un número suficientemente grande de polinomios de Zernike de orden superior. Sin embargo, los frentes de onda con gradientes muy pronunciados o una estructura de frecuencia espacial muy alta, como los producidos por propagación a través de turbulencias atmosféricas o campos de flujo aerodinámicos, no están bien modelados por polinomios de Zernike, que tienden a filtrar la definición espacial fina de paso bajo en el frente de onda. En este caso, otros métodos de ajuste, como los fractales o la descomposición de valores singulares, pueden producir mejores resultados de ajuste.
Los polinomios circulares fueron introducidos por Frits Zernike para evaluar la imagen puntual de un sistema óptico aberrado teniendo en cuenta los efectos de la difracción. La imagen puntual perfecta en presencia de difracción ya había sido descrita por Airy, ya en 1835. Tardaron casi cien años en llegar a una teoría y modelado completos de la imagen puntual de sistemas aberrados (Zernike y Nijboer). El análisis de Nijboer y Zernike describe la distribución de intensidad cercana al plano focal óptimo. Recientemente se desarrolló una teoría extendida que permite el cálculo de la amplitud e intensidad de la imagen puntual sobre un volumen mucho mayor en la región focal (teoría extendida de Nijboer-Zernike). Esta teoría Extendida de Nijboer-Zernike de la formación de imagen puntual o «función de dispersión de puntos» ha encontrado aplicaciones en la investigación general sobre la formación de imágenes, especialmente para sistemas con una apertura numérica alta, y en la caracterización de sistemas ópticos con respecto a sus aberraciones.