Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:
Principio de encuadernación uniformedItar
El principio de encuadernación uniforme o teorema de Banach–Steinhaus es uno de los resultados fundamentales en el análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn–Banach y el teorema de mapeo abierto, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la encuadernación puntual es equivalente a la encuadernación uniforme en la norma del operador.
El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero también fue probado de forma independiente por Hans Hahn.Teorema
(Principio de Encuadernación Uniforme). Sea X un espacio de Banach y y un espacio vectorial normalizado. Supongamos que F es una colección de operadores lineales continuos de X a Y. Si para todo x en X uno tiene
sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}
a continuación,
sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T \ in F}\ / T \ / _{B (X,Y)}<\infty .}
Teorema Espectraleditar
Hay muchos teoremas conocidos como teorema espectral, pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.Teorema
: Sea A un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert H. Entonces hay un espacio de medida (X, Σ, μ) y una función medible esencialmente acotada de valor real f en X y un operador unitario U: H → L2µ (X) tal que
U ∗ T U = A {\displaystyle U^{ * } TU = A\;}
donde T es el operador de multiplicación:
(x) = f (x ) φ (x). {\displaystyle (x) = f(x)\varphi (x).\;}
y T T = = f f ∞ ∞ {\displaystyle \ / T \ / = \ / f \ / _{\infty }}
Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría del operador; véase también la medida espectral.
También hay un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora f {\displaystyle f}
pueden ser valores complejos.
Teorema de Hahn-Banacheditar
El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de funcionales lineales delimitados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay» suficientes » funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer que el estudio del espacio dual sea «interesante».
Teorema de Hahn–Banach: Si p: V → R es una función sublineal, y φ: U → R es una función lineal en un subespacio lineal U V V que está dominado por p en U, i. e.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}
entonces existe una extensión lineal ψ : V → R de φ a todo el espacio V, es decir, existe un funcional lineal ψ tales que
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi(x)\leq p (x)\qquad \forall x\en V.}
Teorema de mapeo abiertoeditar
El teorema de mapeo abierto, también conocido como Teorema de Banach–Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo, entonces es un mapa abierto. Más precisamente,:
Teorema de mapeo abierto. Si X e Y son espacios de Banach y A : X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces A es un mapa abierto (i. e. si U es un conjunto abierto en X, entonces A (U) está abierto en Y).
La demostración utiliza el teorema de la categoría de Baire, y la integridad de X e Y es esencial para el teorema. La afirmación del teorema ya no es verdadera si cualquiera de los dos espacios se supone que es un espacio normado, sino que es verdadera si X e Y se toman como espacios de Fréchet.
Teorema de grafo cerradoeditar
El teorema de grafo cerrado establece lo siguiente:Si X es un espacio topológico y Y es un espacio compacto de Hausdorff, entonces la gráfica de un mapa lineal T de X a Y se cierra si y solo si T es continua.