Chezy y Manning desarrollaron ecuaciones que se utilizan para determinar el caudal volumétrico promedio en canales abiertos. Este artículo explica un método de laboratorio que se desarrolló y probó para identificar y cuantificar aún más los parámetros que componen los coeficientes de rugosidad de esas ecuaciones. Este método utiliza un canal hidráulico, y hace uso de la técnica de homogeneidad dimensional y una nueva forma exponencial de una ecuación para la calibración del instrumento.
Medir con precisión velocidades medias en canales o alcantarillas con superficies abiertas a la atmósfera ha sido un desafío durante siglos. Cuanto mayor sea el área de la sección transversal del flujo, mayor será la inexactitud o incertidumbre de la medición.
El flujo de canal abierto se rige por la relación de Froude, la relación de fuerzas inerciales a fuerzas gravitacionales. Por lo tanto, se reconoció al principio de la historia de la hidráulica que la fórmula para tal velocidad promedio necesitaría ser un equilibrio entre la gravedad, que causa el flujo, y la rugosidad del canal, que busca retardar el flujo. También se reconoció que cualquier fórmula de este tipo tendría que ser para un flujo uniforme, es decir, para un flujo en estado constante, de modo que la profundidad del agua en relación con el fondo de la vía fluvial sea constante, o d(y)/dx = 0.
Se observa que en tubería o flujo presurizado la palabra uniforme tiene un significado diferente. En esa aplicación, significa que el perfil de velocidad tiene una velocidad constante sobre toda la sección transversal. Por otro lado, la hidráulica de canal abierto no tiene una palabra para velocidad constante sobre una sección transversal. En este artículo, «normal» significa la primera de estas dos definiciones, es decir, estado estacionario y profundidad constante. Todas las unidades de este artículo son unidades de ingeniería utilizadas comúnmente en los EE.UU.
Ecuaciones Desarrolladas por Chezy y Manning
La primera fórmula de «resistencia» reconocida y más duradera para el flujo de canal abierto en estado estacionario se acredita a Antoine Chezy. Se le encargó determinar la sección transversal y calcular la descarga para el suministro de agua de París, y aumentar su caudal. Lo hizo en 1768 comparando las condiciones de flujo entre dos cursos de agua, el Canal de Courpalet y el río Sena. Su fórmula resultante fue publicada en su informe sobre el Canal de l’Yvette como:
Vavg = C x R1/2 x S1/2
donde Vavg es la velocidad promedio en pies por segundo; C es el factor de resistencia al flujo de Chezy en pies 1/2/seg; R es el radio hidráulico (el área de la sección transversal dividida por el perímetro mojado) en pies; y S es la pendiente, que no tiene dimensiones. Sin embargo, el trabajo de Chezy recibió poca atención hasta muchos años después de su muerte.
En 1889, un irlandés llamado Robert Manning, que era Ingeniero Jefe de la Oficina de Obras Públicas de Irlanda, presentó un documento titulado » Sobre el flujo de Agua en Canales y Tuberías Abiertas.»Aunque su principal interés parece haber sido la hidrología, derivó una fórmula de «resistencia» promedio para canales abiertos de todas las diferentes fórmulas de resistencia publicadas hasta ese momento. En el formato actual, esta ecuación, que llamaremos Ecuación 1 para referencia futura, es:
Vavg = (1.486 / n) x R2 / 3 x S1/2
donde n es el coeficiente de rugosidad de Manning, que es el mismo numéricamente en sistemas de dimensiones métricas o estadounidenses. En el sistema estadounidense, tiene unidades de segundo/pie1 / 3. Si se usan unidades métricas, el 1.486 se reemplaza por 1.0 y sus unidades son segundos / meter1 / 3.
La ecuación de Manning ha sido la más exitosa de todas las ecuaciones empíricas de canal abierto, basada en la resistencia al flujo y derivada de la observación. De hecho, no es exagerado decir que es la piedra angular de la ciencia actual de la ingeniería hidráulica.
Sin embargo, en el sentido clásico, tanto las ecuaciones de Chezy como las de Manning tienen varias deficiencias similares. En primer lugar, no tienen homogeneidad dimensional, es decir, las unidades del lado izquierdo no son las mismas que las unidades del lado derecho. Tales ecuaciones generalmente se derivan por experimentación u observación y pierden precisión rápidamente si se extrapolan más allá de su rango de observación. Se sabe que la ecuación de Manning pierde precisión con pendientes muy empinadas o poco profundas. En segundo lugar, para lograr la homogeneidad dimensional, sus constantes o coeficientes no son números puros, sino unidades asignadas artificialmente.
Además, la ecuación de Manning sugiere que la velocidad media es más sensible al radio hidráulico que a la pendiente. Esto es realmente una incompatibilidad, porque la naturaleza misma del flujo de canal abierto es una función del componente de pendiente de la gravedad. La forma del paso de agua, calculada por el radio hidráulico, ejerce un efecto sobre la rugosidad absoluta, pero no es un efecto primario sobre la velocidad media en sí. Cuanto menor sea la relación de radio hidráulico, mayor será el porcentaje del flujo que está en contacto con la rugosidad de los límites.
Además, la naturaleza misma de las ecuaciones es una contradicción. Las ecuaciones describen una velocidad media que existe en una sección transversal perpendicular al flujo. Tal sección transversal tiene un grosor infinitesimal en la dirección del flujo, mientras que las ecuaciones se basan en coeficientes que se conocen como «coeficientes de rugosidad».»Pero el efecto de tal rugosidad necesita una longitud finita para existir—no puede tener un efecto sobre un grosor infinitesimal. Esto significa que la rugosidad en sí debe actuar sobre algún otro parámetro que pueda existir sobre una longitud infinitesimal para retardar la velocidad de flujo.
Teoría detrás de un experimento de Laboratorio
Las precisiones de las ecuaciones de Chezy y Manning dependen de la selección de sus coeficientes de rugosidad individuales. Esto se hace generalmente en comparación con corrientes similares conocidas o a partir de un libro de referencia de imágenes de corrientes. Sin embargo, en el artículo titulado «Forma Dimensionalmente homogénea de las Ecuaciones de Chezy y Manning», publicado por Hydro Review en abril de 2014, propuse un nuevo método experimental para determinar las partes constitutivas que comprenden estos coeficientes de rugosidad.
Para demostrar la técnica, presenté a una clase de posgrado en Ingeniería de Energía Renovable inscrita en el curso de Laboratorio Hidráulico en el Instituto de Tecnología de Oregón (OIT) en Wilsonville, Oregón, un experimento diseñado para identificar y cuantificar los componentes de los coeficientes de rugosidad. Este experimento se concentraría en la ecuación de Manning, y se basó en el uso del principio de homogeneidad dimensional. Los estudiantes graduados de la OIT que participaron en este experimento de laboratorio fueron Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong y Asmitha Velivela.
En primer lugar, se formaron dos parámetros: Hv/S y R. Hv representa la cabeza de velocidad, es decir, Hv = (α x Vavg2) / (2 x g), donde α se denomina factor de corrección de la cabeza de velocidad o factor de Coriolis. Este multiplicador representa la energía adicional contenida en el flujo de presión de superficie abierta o cerrada que existe cuando un perfil de velocidad no es constante sobre un área de sección transversal. Esto se debe a que la energía del fluido es una función del cuadrado de la velocidad, y la suma de los cuadrados en cada tubo de flujo de fluido es mayor que el cuadrado de la suma de las velocidades en cada tubo de flujo.
Numéricamente α es siempre igual o mayor que uno, y es adimensional. La pendiente o S podría haber aparecido en cualquiera de los lados paramétricos, pero se asignó al parámetro Hv, porque en hidráulica hay evidencia más que amplia de que la velocidad promedio es una función de la raíz cuadrada de la pendiente, es decir, Vavg ≈ S1/2. Luego, se diseñó un experimento de laboratorio que permitiría obtener datos y graficarlos como Hv / S versus R, los cuales tienen unidades de pies. Por lo tanto, cualquier ecuación experimental resultante debe tener homogeneidad dimensional.
Las unidades de Hv, de la ecuación de Bernoulli, son pie-libra por libra o «energía específica», pero siguen siendo homogéneas con R, que tiene unidades de pies. Cabe señalar que a medida que R se hace más grande, el perímetro mojado (P) se hace más pequeño en relación con el área (A). Esto significa que la resistencia a la fricción al flujo debe ser menor y, por lo tanto, la velocidad promedio debe ser mayor. En otras palabras, una relación lineal entre Hv / S y R debe tener una pendiente positiva.
Aparato de prueba
Se adaptó para su uso un pequeño canal de laboratorio de cama inclinable con una bomba de recirculación de piscina, que un estudiante había construido convenientemente el semestre anterior. Fue inmediatamente evidente que medir el factor de corrección de la altura de velocidad en un canal tan pequeño sería imposible. La mejor alternativa era medir solo la pendiente, la velocidad media y la profundidad del agua para un flujo crítico y uniforme.
En el flujo crítico, donde el número de Froude es igual a uno, la menor energía hidráulica está contenida para una cantidad dada de fluido en movimiento. En consecuencia, no debe haber energía adicional disponible para formar un perfil de velocidad no constante y el factor de corrección de la cabeza de velocidad debe estar cerca de uno. Además, debido a que el canal era corto, la energía en el fluido que entraba en el canal debía coincidir con el nivel de energía deseado para un caudal dado en el canal, de modo que se lograra un flujo uniforme o en estado constante de inmediato.
no fue posible ajustar la bomba de la piscina que finamente. En consecuencia, el equipo de investigadores optó por traer un segundo tanque de agua, hacer que la bomba se descargara en ese tanque y luego desviar cuidadosamente de ese tanque al canal. Un caudalímetro sónico conectado a la manguera entre el tanque y el canal daba el caudal volumétrico. Tomó una cantidad considerable de tiempo y esfuerzo equilibrar todo para un único punto de datos de flujo constante, uniforme y crítico en un canal tan pequeño. Sin embargo, finalmente se recogieron tres puntos de datos, que fueron suficientes para demostrar este método de análisis de datos (Tablas 1 y 2).
Tabla 1. Esta tabla muestra los datos recopilados durante tres experimentos de canal abierto realizados en el laboratorio utilizando un canal. Fuente: Lee H. Sheldon, PE
Tabla 2. Esta tabla muestra los datos recopilados durante tres experimentos de canal abierto realizados en el laboratorio utilizando un canal. Fuente: Lee H. Sheldon, PE
Se enfatiza que estos puntos de datos estaban muy espaciados en términos de caudal volumétrico. Esto se debe a que un canal de cinco pulgadas de ancho, operado para flujos uniformes y críticos, no proporcionaba un amplio rango de variabilidad de flujo. Además, este experimento se realizó en un canal de Plexiglás muy suave donde el n de Manning se midió como solo 0.009, mientras que 0.012 es el valor más suave en la tabla publicada de prototipos de canales de agua. Por lo tanto, cualquier resultado numérico debe considerarse que se aplica solo a este régimen hidráulico muy estrecho.
Sin embargo, también se enfatiza que el objetivo de este experimento de laboratorio era solo demostrar si este método podría usarse en futuras investigaciones más extensas para proporcionar una mayor comprensión y precisión en la composición de los componentes de las ecuaciones de Chezy y particularmente de Manning.
Técnica de Reducción de datos
El trazado de estos tres puntos de datos se realizó de la misma manera que la ecuación de calibración del instrumento descrita en un artículo que escribí titulado «Una nueva Ecuación de calibración para el Sistema Piezómetro Winter-Kennedy», que fue publicado por Hydro Review en octubre de 2013. Este método produce una ecuación de calibración directamente en forma exponencial para una fácil comparación con las ecuaciones de canal abierto comúnmente utilizadas, es decir, log10(Hv/S) se trazó como el eje ordenado o y y log10R se trazó como abscisa o eje x (Figura 1).
1. Este gráfico muestra el modelo de canal en flujo crítico y uniforme. Fuente: Lee H. Sheldon, PE
Estos puntos se aproximaban mucho a una línea recta y producían una ecuación de la forma: y = mx + b.
log10 (Hv / S) = mlog10R + b = log10 (Rm) + b
Elevando ambos lados de la ecuación como potencias de 10 rendimientos:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
Luego, por identidad logarítmica:
Hv/S = 10b x Rm
o
Hv = 10b x S x Rm
Sustituyendo por Hv resultados en:
aVavg2/2g = 10b x S x Rm
Reorganizar los términos da:
Vavg = (2g10b/α)1/2 x S1/2 x Rm/2
Sustituyendo los valores numéricos de m = 0,7497 y b = 1,7328 de la Figura 1 proporciona:
Vavg = (2g x 101,7328/α)1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
Se observa que la pendiente (m) es positiva como se predijo anteriormente. Por lo tanto:
Vavg = (108.1011 g/α)1/2 x S1/2 x R0.3749
Resultando en la siguiente ecuación, que llamaremos Ecuación 2 para referencia futura:
Vavg = 10.3972 (gS / α) 1/2 x R3/8
Ahora, en esta forma, la ecuación de canal abierto contiene solo parámetros que pueden determinarse a través de un área de sección transversal infinitamente delgada. La comparación de la Ecuación 2 con la Ecuación 1 proporciona información sobre las relaciones de los parámetros en la ecuación de Manning.
Vavg = 10.3972 x (gS/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3 x S1/2
Ahora, igualar solo las dos expresiones y cancelar los términos S1/2 da:
10.3972 x (g/α)1/2 x R3/8 = (1.486/n) x R2/3
Combinando los términos R, resulta en:
10,3972 x (g/α)1/2 = (1.486 / n) x R7 / 24
Que resulta en lo siguiente, que llamaremos Ecuación 3 para referencia futura:
= 0.1429 x (α / g) 1/2 x R7/24
Se observa que la Ecuación 2 no tiene homogeneidad dimensional exacta. Descuidando los valores de los coeficientes numéricos, si el exponente de R hubiera sido 4/8 en lugar de 3/8, y con la inclusión de unidades para g (aceleración gravitacional), habría tenido una homogeneidad exacta. Por separado, se observa que para que la ecuación de Manning tenga homogeneidad dimensional, las unidades de n en la Ecuación 1 se habían asignado históricamente artificialmente como segundos / pie1 / 3 o segundos/pie8 / 24. En la ecuación 3, ahora, que también incluye unidades para g, n tiene unidades de segundos / pies 5/24.
Se considera que estas dos diferencias en la ecuación de Manning y en la n de Manning pueden deberse a la incertidumbre o inexactitud de la medición de los datos en el canal de prueba limitado disponible para los estudiantes. Por lo tanto, una vez más, se enfatiza que los resultados numéricos finales de este experimento probablemente tengan un grado de incertidumbre, pero el método para cuantificar con mayor precisión la ecuación de Manning está claramente demostrado.
El término S (g) es la pendiente por aceleración gravitacional. A medida que la pendiente, d(y)/dx, se hace más grande, hay una fuerza gravitacional mayor que actúa para acelerar el flujo.
Como se mencionó anteriormente, la ecuación de Manning es un promedio de todas las ecuaciones de canal abierto publicadas antes de 1889. El hecho de que no incluyera el efecto del factor de corrección de la cabeza de velocidad es bastante comprensible. No fue hasta 1877 que se reconoció que el factor de corrección de la cabeza de velocidad de Coriolis era una variable y no una constante.
Las relaciones de la Ecuación 2 muestran que n de Manning es una métrica para el factor de corrección de la cabeza de velocidad, es decir, n es proporcional a α1/2. Teóricamente, si n se duplica, el factor de corrección de la cabeza de velocidad se incrementa cuatro veces y la velocidad media se reduce a la mitad. Este es el mecanismo a través del cual la rugosidad de los límites del fluido actúa para retardar la velocidad de flujo a través de una sección transversal infinitesimalmente delgada.
Como se ha señalado, el n de Manning se ve directamente afectado por el radio hidráulico (R7 / 24). Esto muestra que la selección de la n de un Manning no es solo una función de la rugosidad, sino de la forma de sección transversal del curso de agua. El hecho de que los canales pueden presentar algunas diferencias en el n de Manning debido a su forma sola, así como a su rugosidad, ha sido documentado previamente en otra literatura.
En un artículo titulado «Determinación del Coeficiente de Rugosidad para Canales Revestidos y Sin Forrar» publicado por la Estación de Investigación de Ingeniería de Karnataka en India, dice: «El flujo en canales se complica por el hecho de que la forma de los elementos de rugosidad y, por lo tanto, la resistencia al flujo son funciones de las características de la forma y alineación del canal. Estos factores constituyen el coeficiente de rugosidad o el coeficiente de rugosidad.»La razón, como se mencionó anteriormente, es que cuanto menor es el radio hidráulico, mayor es el porcentaje relativo del volumen de flujo que está en contacto directo con la rugosidad absoluta dada del límite. Por lo tanto, cuanto mayor es la resistencia que impone el límite para retardar el caudal volumétrico, más uniforme se vuelve el perfil de velocidad, calculado por α. Por lo tanto, cuanto menor sea el radio hidráulico, mayor será la pérdida de energía. Por el contrario, cuanto mayor es el radio hidráulico, más el perfil de velocidad tiende a ser uniforme sobre la sección transversal. Coincidentemente, la C de Chezy es inversamente proporcional a R1 / 8.
Las ecuaciones desarrolladas por Chezy y Manning pueden parecer muy simples; sin embargo, representan interacciones complejas de parámetros hidráulicos de fluidos en canales abiertos. El proceso experimental presentado en este artículo puede ser utilizado para estudiar estas interacciones. El uso de este método experimental, sobre la base muy limitada y estrecha descrita anteriormente, sugiere que la diferencia entre las ecuaciones de Chezy y Manning puede no ser tan grande como parece. La diferencia real puede estar más en el grado de dependencia que cada coeficiente de resistencia al flujo tiene en el factor de corrección de la cabeza de velocidad y el radio hidráulico.
—Lee H. Sheldon, PE es un ingeniero de energía hidroeléctrica con 50 años de experiencia. Ha publicado 33 artículos técnicos y un libro de texto universitario sobre ingeniería hidroeléctrica,y ha trabajado en todos los proyectos hidroeléctricos federales en el Noroeste del Pacífico, entre otros. Anteriormente fue profesor en la OIT, donde enseñó ingeniería hidroeléctrica y mecánica de fluidos.