Transformaciones en tres dimensioneseditar
En espacio de tres dimensiones una transformación rígida tiene seis grados de libertad, tres traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas y tres del grupo de rotación SO(3). A menudo, estas transformaciones se manejan por separado, ya que tienen estructuras geométricas muy diferentes, pero hay formas de tratarlas que las tratan como un único objeto de seis dimensiones.
Teoría del tornilloeditar
En la teoría de tornillos, la velocidad angular y lineal se combinan en un objeto de seis dimensiones, llamado giro. Un objeto similar llamado llave combina fuerzas y pares en seis dimensiones. Estos pueden tratarse como vectores de seis dimensiones que se transforman linealmente al cambiar el marco de referencia. Las traducciones y rotaciones no se pueden hacer de esta manera, pero están relacionadas con un giro por exponenciación.
Espacio de fase Edit
Retrato de fase del oscilador Van der Pol
El espacio de fase es un espacio formado por la posición y el momento de una partícula, que se puede representar en un diagrama de fases para resaltar la relación entre las cantidades. Una partícula general que se mueve en tres dimensiones tiene un espacio de fase con seis dimensiones, demasiadas para trazarlas, pero se pueden analizar matemáticamente.
Rotaciones en cuatro dimensioneseditar
El grupo de rotación en cuatro dimensiones, SO (4), tiene seis grados de libertad. Esto se puede ver considerando la matriz de 4 × 4 que representa una rotación: como es una matriz ortogonal, la matriz se determina, hasta un cambio en el signo, por ejemplo, los seis elementos por encima de la diagonal principal. Pero este grupo no es lineal, y tiene una estructura más compleja que otras aplicaciones vistas hasta ahora.
Otra forma de ver este grupo es con la multiplicación de cuaterniones. Cada rotación en cuatro dimensiones se puede lograr multiplicando por un par de cuaterniones unitarios, uno antes y otro después del vector. Estos cuaterniones son únicos, hasta un cambio de signo para ambos, y generan todas las rotaciones cuando se usan de esta manera, por lo que el producto de sus grupos, S3 × S3, es una doble cubierta de SO(4), que debe tener seis dimensiones.
Aunque el espacio en el que vivimos se considera tridimensional, hay aplicaciones prácticas para el espacio cuadridimensional. Los cuaterniones, una de las formas de describir rotaciones en tres dimensiones, consisten en un espacio de cuatro dimensiones. Las rotaciones entre cuaterniones, para interpolación, por ejemplo, tienen lugar en cuatro dimensiones. El espacio-tiempo, que tiene tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal también es cuatridimensional, aunque con una estructura diferente al espacio euclidiano.
Electromagnetismeditar
En electromagnetismo, el campo electromagnético generalmente se piensa que está hecho de dos cosas, el campo eléctrico y el campo magnético. Ambos son campos vectoriales tridimensionales, relacionados entre sí por las ecuaciones de Maxwell. Un segundo enfoque es combinarlos en un solo objeto, el tensor electromagnético de seis dimensiones, un tensor o representación valorada de bivector del campo electromagnético. Usando estas ecuaciones de Maxwell se pueden condensar de cuatro ecuaciones en una ecuación única particularmente compacta:
∂ F = J {\displaystyle \ partial \ mathbf {F} = \mathbf {J}\,}
donde F es la forma bivectora del tensor electromagnético, J es la de cuatro corrientes y ∂ es un operador diferencial adecuado.
Teoríaeditar
En física, la teoría de cuerdas es un intento de describir la relatividad general y la mecánica cuántica con un único modelo matemático. Aunque es un intento de modelar nuestro universo, tiene lugar en un espacio con más dimensiones que las cuatro del espacio-tiempo con las que estamos familiarizados. En particular, una serie de teorías de cuerdas tienen lugar en un espacio de diez dimensiones, agregando seis dimensiones adicionales. Estas dimensiones adicionales son requeridas por la teoría, pero como no se pueden observar, se cree que son bastante diferentes, tal vez compactificadas para formar un espacio de seis dimensiones con una geometría particular demasiado pequeña para ser observable.
Desde 1997 ha salido a la luz otra teoría de cuerdas que funciona en seis dimensiones. Las teorías de cuerdas pequeñas son teorías de cuerdas no gravitacionales en cinco y seis dimensiones que surgen al considerar los límites de la teoría de cuerdas de diez dimensiones.