El astrónomo Galileo Galilei en su libro Il Saggiatore escribió que » está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.»Los artistas que se esfuerzan y buscan estudiar la naturaleza primero deben, en opinión de Galileo, comprender plenamente las matemáticas. Los matemáticos, por el contrario, han tratado de interpretar y analizar el arte a través de la lente de la geometría y la racionalidad. El matemático Felipe Cucker sugiere que las matemáticas, y especialmente la geometría, son una fuente de reglas para la «creación artística impulsada por reglas», aunque no la única. A continuación se describen algunos de los muchos aspectos de la compleja relación resultante.
Matemáticas como arte
El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte, afirmando que «las claves de las matemáticas son la belleza y la elegancia y no la torpeza y la tecnicidad», y que la belleza es la fuerza motivadora para la investigación matemática. King cita el ensayo de 1940 A Mathematician’s Apology del matemático G. H. Hardy. En él, Hardy discute por qué encuentra dos teoremas de tiempos clásicos como de primera clase, a saber, la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos, y la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional. King evalúa este último en función de los criterios de Hardy para la elegancia matemática: «seriedad, profundidad, generalidad, imprevisibilidad, inevitabilidad y economía «(cursiva de King), y describe la prueba como»estéticamente agradable». El matemático húngaro Paul Erdős estuvo de acuerdo en que las matemáticas poseían belleza, pero consideró las razones más allá de toda explicación: «¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es hermosa la Novena Sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Sé que los números son hermosos.»
Herramientas matemáticas para artEdit
Las matemáticas se pueden discernir en muchas de las artes, como la música, la danza, la pintura, la arquitectura y la escultura. Cada uno de ellos está ricamente asociado con las matemáticas. Entre las conexiones con las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para los artistas, como las reglas de perspectiva lineal descritas por Brook Taylor y Johann Lambert, o los métodos de geometría descriptiva, ahora aplicados en el modelado de sólidos por software, que se remontan a Albrecht Durero y Gaspard Monge. Artistas de Luca Pacioli en la Edad Media y Leonardo da Vinci y Alberto Durero en el Renacimiento han utilizado y desarrollado ideas matemáticas en la búsqueda de su trabajo artístico. El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos usos embrionarios en la arquitectura de la Antigua Grecia, con pintores italianos como Giotto en el siglo XIII; reglas como el punto de fuga fueron formuladas por primera vez por Brunelleschi alrededor de 1413, su teoría influyendo en Leonardo y Durero. El trabajo de Isaac Newton sobre el espectro óptico influyó en la Teoría de los Colores de Goethe y, a su vez, en artistas como Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner, los Prerrafaelitas y Wassily Kandinsky. Los artistas también pueden optar por analizar la simetría de una escena. Las herramientas pueden ser aplicadas por matemáticos que exploran el arte, o artistas inspirados por las matemáticas, como M. C. Escher (inspirado por H. S. M. Coxeter) y el arquitecto Frank Gehry, quien argumentó más tenazmente que el diseño asistido por computadora le permitió expresarse de una manera completamente nueva.
El artista Richard Wright argumenta que los objetos matemáticos que se pueden construir pueden verse » como procesos para simular fenómenos «o como obras de»arte informático». Considera la naturaleza del pensamiento matemático, observando que los fractales eran conocidos por los matemáticos durante un siglo antes de que fueran reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para «llegar a un acuerdo con artefactos culturales como el arte, la tensión entre objetividad y subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación.»Da como ejemplos una imagen del conjunto de Mandelbrot, una imagen generada por un algoritmo autómata celular y una imagen renderizada por computadora, y discute, con referencia a la prueba de Turing, si los productos algorítmicos pueden ser arte. Matemáticas y arte de Sasho Kalajdzievski: Una Introducción a las Matemáticas Visuales toma un enfoque similar, mirando temas de matemáticas visuales adecuados, como los mosaicos, los fractales y la geometría hiperbólica.
Algunas de las primeras obras de arte por computadora fueron creadas por la «Drawing Machine 1» de Desmond Paul Henry, una máquina analógica basada en una computadora de mira y exhibida en 1962. La máquina era capaz de crear dibujos de líneas complejos, abstractos, asimétricos, curvilíneos, pero repetitivos. Más recientemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creado formas que sugieren objetos del mundo real, como peces y aves, utilizando fórmulas que se van variando sucesivamente para dibujar familias de curvas o líneas angulares. Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte generativo o algorítmico escribiendo guiones para un sistema de software como Sintetizador de estructura: el artista dirige efectivamente el sistema para aplicar una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos elegido.
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Escultura matemática de Betsabé Grossman, 2007
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Escultura fractal: 3D Fraktal 03/H / dd por Hartmut Skerbisch, 2003
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Palabra de Fibonacci: detalle de ilustraciones de Samuel Monnier, 2009
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Imagen de arte por computadora producida por «Drawing Machine 1» de Desmond Paul Henry, exhibida 1962
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Un pájaro en vuelo, de Hamid Naderi Yeganeh, 2016, construido con una familia de curvas matemáticas.
De las matemáticas al arteditar
La ciencia y la hipótesis del matemático y físico teórico Henri Poincaré fue ampliamente leída por los cubistas, incluidos Pablo Picasso y Jean Metzinger. Al estar completamente familiarizado con el trabajo de Bernhard Riemann sobre la geometría no euclidiana, Poincaré era más que consciente de que la geometría euclidiana es solo una de las muchas configuraciones geométricas posibles, en lugar de ser una verdad objetiva absoluta. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a cuestionar la perspectiva clásica del Renacimiento: la geometría no euclidiana se convirtió en una alternativa válida. El concepto de que la pintura podía expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento artístico que condujo al arte abstracto. Metzinger, en 1910, escribió que: «presenta una perspectiva libre y móvil, de la que el ingenioso matemático Maurice Princet ha deducido toda una geometría». Más tarde, Metzinger escribió en sus memorias:
Maurice Princet nos acompañaba a menudo … fue como artista que conceptualizó las matemáticas, como esteticista que invocó continuums n-dimensionales. Le encantaba interesar a los artistas en las nuevas visiones sobre el espacio que habían abierto Schlegel y algunos otros. Lo logró.
El impulso de hacer modelos de enseñanza o investigación de formas matemáticas crea naturalmente objetos que tienen simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de ellos han inspirado a artistas como los dadaístas Man Ray, Marcel Duchamp y Max Ernst, y siguiendo a Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos en el Instituto Henri Poincaré de París, incluyendo Objet mathematique (Objeto matemático). Señaló que esto representaba superficies Enneper con una curvatura negativa constante, derivada de la pseudo-esfera. Esta base matemática era importante para él, ya que le permitía negar que el objeto era «abstracto», en lugar de afirmar que era tan real como el urinario que Duchamp convirtió en una obra de arte. Man Ray admitió que la fórmula del objeto » no significaba nada para mí, pero las formas en sí mismas eran tan variadas y auténticas como cualquier otra en la naturaleza. Utilizó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras en sus series de obras de Shakespeare, como su pintura de 1934 Antonio y Cleopatra. El reportero artístico Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife, argumenta que Man Ray fotografió «los paraboloides elípticos y los puntos cónicos con la misma luz sensual que sus imágenes de Kiki de Montparnasse», y «reutiliza ingeniosamente los cálculos fríos de las matemáticas para revelar la topología del deseo». Escultores del siglo XX como Henry Moore, Barbara Hepworth y Naum Gabo se inspiraron en modelos matemáticos. Moore escribió sobre su Madre e Hijo con cuerdas de 1938: «Sin duda, la fuente de mis figuras con cuerdas fue el Museo de Ciencias … Me fascinaron los modelos matemáticos que vi allí … No fue el estudio científico de estos modelos, sino la capacidad de mirar a través de las cuerdas como con una jaula de pájaros y ver una forma dentro de otra lo que me emocionó.»
Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento De Stijl, que querían «establecer un vocabulario visual compuesto de formas geométricas elementales comprensibles para todos y adaptables a cualquier disciplina». Muchas de sus obras de arte consisten visiblemente en cuadrados y triángulos reglados, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, muebles, diseño de interiores y arquitectura. Después de la ruptura de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento de Arte de Vanguardia Concret, describiendo su Composición Aritmética de 1929-1930, una serie de cuatro cuadrados negros en la diagonal de un fondo cuadrado, como «una estructura que se puede controlar, una superficie definida sin elementos fortuitos o caprichos individuales», pero «sin carecer de espíritu, sin carecer de lo universal y no … vacío, ya que hay todo lo que encaja en el ritmo interno». La crítica de arte Gladys Fabre observa que en la pintura hay dos progresiones, a saber, los cuadrados negros crecientes y los fondos alternados.
Las matemáticas de la teselación, los poliedros, la conformación del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) materiales de toda una vida para sus xilografías. En el boceto de la Alhambra, Escher mostró que el arte se puede crear con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. Escher usó polígonos irregulares al alicatar el plano y a menudo usó reflejos, reflejos deslizantes y traducciones para obtener más patrones. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, hechas con objetos geométricos que establecen una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero que son agradables a la vista humana. El ascenso y descenso de Escher se basa en la «escalera imposible» creada por el científico médico Lionel Penrose y su hijo el matemático Roger Penrose.
Algunos de los muchos dibujos de teselación de Escher se inspiraron en conversaciones con el matemático H. S. M. Coxeter sobre geometría hiperbólica. Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su trabajo. Los sólidos platónicos-tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros – son especialmente prominentes en Orden y Caos y Cuatro Sólidos Regulares. Estas figuras estrelladas a menudo residen dentro de otra figura que distorsiona aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros y proporciona una obra de arte con perspectiva multifacética.
La complejidad visual de las estructuras matemáticas, como los teselados y los poliedros, han inspirado una gran variedad de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin hace rompecabezas poliédricos en maderas raras y hermosas; George W. Hart trabaja en la teoría de los poliedros y esculpe objetos inspirados en ellos; Magnus Wenninger hace modelos «especialmente hermosos» de poliedros estrellados complejos.
Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis han sido exploradas en el arte desde el siglo XVI, cuando Hans Holbein el Joven incorporó un cráneo severamente distorsionado en su pintura de 1533 Los Embajadores. Muchos artistas desde entonces, incluido Escher, han hecho uso de trucos anamórficos.
Las matemáticas de la topología han inspirado a varios artistas en los tiempos modernos. El escultor John Robinson (1935-2007) creó obras como Nudo Gordiano y Bandas de Amistad, mostrando la teoría de nudos en bronce pulido. Otras obras de Robinson exploran la topología de los toros. Génesis se basa en anillos borromeos, un conjunto de tres círculos, de los cuales no hay dos enlaces, pero en los que toda la estructura no se puede desmontar sin romperse. El escultor Helaman Ferguson crea superficies complejas y otros objetos topológicos. Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; El Camino Óctuple se basa en el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7), un grupo finito de 168 elementos. La escultora Betsabé Grossman basa de manera similar su trabajo en estructuras matemáticas. El artista Nelson Saiers incorpora conceptos matemáticos y teoremas en su arte, desde toposis y esquemas hasta el teorema de los cuatro colores y la irracionalidad de π.
Un proyecto de investigación de artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la tira de Möbius, los flexágonos, el origami y la fotografía panorámica.
Los objetos matemáticos, incluido el colector de Lorenz y el plano hiperbólico, se han elaborado utilizando artes de fibra, incluido el ganchillo. La tejedora estadounidense Ada Dietz escribió en 1949 una monografía de Expresiones Algebraicas en Textiles Tejidos a Mano, definiendo patrones de tejido basados en la expansión de polinomios multivariados. La matemática Daina Taimiņa demostró las características del plano hiperbólico mediante ganchillo en 2001. Esto llevó a Margaret y Christine Wertheim a tejer un arrecife de coral, que consta de muchos animales marinos, como nudibranquios, cuyas formas se basan en planos hiperbólicos. El matemático J. C. P. Miller utilizó el autómata celular Rule 90 para diseñar tapices que representaban árboles y patrones abstractos de triángulos. Los» mathekniticians » Pat Ashforth y Steve Plummer usan versiones tejidas de objetos matemáticos como hexaflexágonos en su enseñanza, aunque su esponja Menger resultó demasiado problemática para tejer y estaba hecha de lona de plástico en su lugar. Su proyecto» mathghans » (Afganos para escuelas) introdujo el tejido de punto en el currículo británico de matemáticas y tecnología.
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Four-dimensional space to Cubism: Esprit Jouffret’s 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions.
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De Stijl: Composición geométrica I de Theo van Doesburg (Bodegón), 1916
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Pedagogía del arte: Magnus Wenninger con algunos de sus poliedros estrellados, 2009
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Una bufanda de tiras de Möbius en crochet, 2007
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Anamorfismo: Los Embajadores de Hans Holbein el Joven, 1533, con el cráneo severamente distorsionado en primer plano
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Arrecife de coral de ganchillo: muchos animales modelados como planos hiperbólicos con parámetros variables por Margaret y Christine Wertheim. Arrecife de Föhr, Tubinga, 2013
Ilustrando matemáticaseditar
La modelización dista mucho de ser la única forma posible de ilustrar conceptos matemáticos. El tríptico Stefaneschi de Giotto, de 1320, ilustra la recursividad en forma de mise en abyme; el panel central del tríptico contiene, en la parte inferior izquierda, la figura arrodillada del cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico como ofrenda. Las pinturas metafísicas de Giorgio de Chirico, como su Gran Interior Metafísico de 1917, exploran la cuestión de los niveles de representación en el arte al representar pinturas dentro de sus pinturas.
El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como en algunas pinturas del surrealista René Magritte, que se pueden leer como chistes semióticos sobre la confusión entre niveles. En La condition humaine (1933), Magritte representa un caballete (en el lienzo real), soportando sin problemas una vista a través de una ventana que está enmarcada por cortinas «reales» en la pintura. De manera similar, la Galería de Grabados de Escher (1956) es una lámina que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que contiene recursivamente la imagen, y por lo tanto ad infinitum. Magritte hizo uso de esferas y cuboides para distorsionar la realidad de una manera diferente, pintándolos junto a una variedad de casas en su Aritmética Mental de 1931 como si fueran bloques de construcción para niños, pero del tamaño de una casa. The Guardian observó que la «misteriosa imagen de toytown» profetizaba la usurpación por parte del modernismo de» formas tradicionales acogedoras», pero también jugaba con la tendencia humana a buscar patrones en la naturaleza.
La última pintura de Salvador Dalí, La cola de golondrina (1983), formaba parte de una serie inspirada en la teoría de la catástrofe de René Thom. El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza. Formado por formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como Angular I y Automnes, Palazuelo se expresó en transformaciones geométricas.
El artista Adrian Gray practica el equilibrio de la piedra, explotando la fricción y el centro de gravedad para crear composiciones llamativas y aparentemente imposibles.
Los artistas, sin embargo, no necesariamente toman la geometría literalmente. Como Douglas Hofstadter escribe en su reflexión sobre el pensamiento humano de 1980, Gödel, Escher, Bach, a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: «La diferencia entre un dibujo de Escher y la geometría no euclidiana es que en esta última se pueden encontrar interpretaciones comprensibles para los términos indefinidos, lo que resulta en un sistema total comprensible, mientras que para la primera, el resultado final no es reconciliable con la propia concepción del mundo, sin importar cuánto tiempo se mire a las imágenes.»Hofstadter discute la aparentemente paradójica Galería de grabados litográficos de M. C. Escher; representa una ciudad costera que contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, con un «bucle extraño o jerarquía enredada» en los niveles de realidad de la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no es visto; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra, quienes proponen que podría contener una copia de efecto Droste de sí misma, girada y encogida; esto sería una ilustración más de la recursividad más allá de la observada por Hofstadter.
Análisis de la historia del arteditar
El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo, mediante espectroscopia de fluorescencia de rayos X, puede revelar información sobre el arte. Estas técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura cubiertas más tarde por un artista; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra de arte antes de que se agriete o se desvanezca; ayudar a distinguir una copia de un original, o distinguir el estilo de pincelada de un maestro de los de sus aprendices.
El estilo de pintura por goteo de Jackson Pollock tiene una dimensión fractal definida; entre los artistas que pueden haber influido en el caos controlado de Pollock, Max Ernst pintó figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo de pintura perforado sobre un lienzo.
El científico informático Neil Dodgson investigó si las pinturas de rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente, concluyendo que mientras la distancia de separación podía «proporcionar cierta caracterización» y la entropía global funcionaba en algunas pinturas, la autocorrelación falló ya que los patrones de Riley eran irregulares. La entropía local funcionó mejor, y se correlacionó bien con la descripción dada por el crítico de arte Robert Kudielka.
La Medida Estética de 1933 del matemático estadounidense George Birkhoff propone una métrica cuantitativa de la calidad estética de una obra de arte. No intenta medir las connotaciones de una obra, como lo que podría significar una pintura, sino que se limita a los «elementos de orden» de una figura poligonal. Birkhoff primero combina (como suma) cinco de estos elementos: si hay un eje vertical de simetría; si hay equilibrio óptico; cuántas simetrías rotacionales tiene; cómo es la figura de fondo de pantalla; y si hay características insatisfactorias, como tener dos vértices demasiado juntos. Esta métrica, O, toma un valor entre -3 y 7. La segunda métrica, C, cuenta los elementos de la figura, que para un polígono es el número de líneas rectas diferentes que contienen al menos uno de sus lados. Birkhoff luego define su medida estética de la belleza de un objeto como O / C. Esto puede interpretarse como un equilibrio entre el placer que da mirar el objeto y la cantidad de esfuerzo necesario para asimilarlo. La propuesta de Birkhoff ha sido criticada de varias maneras, sobre todo por tratar de poner belleza en una fórmula, pero nunca afirmó haber hecho eso.
Estímulos para la investigación matemáticaeditar
El arte a veces ha estimulado el desarrollo de las matemáticas, como cuando la teoría de la perspectiva de Brunelleschi en arquitectura y pintura comenzó un ciclo de investigación que llevó al trabajo de Brook Taylor y Johann Heinrich Lambert sobre los fundamentos matemáticos del dibujo en perspectiva, y finalmente a las matemáticas de la geometría proyectiva de Girard Desargues y Jean-Victor Poncelet.
El arte japonés de plegado de papel del origami ha sido reelaborado matemáticamente por Tomoko Fusé utilizando módulos, trozos de papel congruentes como cuadrados, y convirtiéndolos en poliedros o azulejos. El plegado de papel fue utilizado en 1893 por T. Sundara Rao en sus Ejercicios Geométricos de Plegado de papel para demostrar pruebas geométricas. Las matemáticas del plegado de papel han sido exploradas en el teorema de Maekawa, el teorema de Kawasaki y los axiomas de Huzita–Hatori.
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Estímulo a la geometría proyectiva: diagrama de Alberti que muestra un círculo visto en perspectiva como una elipse. Della Pittura, 1435-6
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Origami matemático: Primavera en acción, de Jeff Beynon, hecho de un solo rectángulo de papel.
Illusion to Op artEdit
Las ilusiones ópticas como la espiral de Fraser demuestran sorprendentemente las limitaciones en la percepción visual humana, creando lo que el historiador del arte Ernst Gombrich llamó un «truco desconcertante».»Las cuerdas blancas y negras que parecen formar espirales son en realidad círculos concéntricos. El Op art de mediados del siglo XX o el estilo de arte óptico de pintura y gráficos explotaba tales efectos para crear la impresión de movimiento y patrones parpadeantes o vibrantes que se veían en la obra de artistas como Bridget Riley, Spyros Horemis y Victor Vasarely.
Geometríaeditar
Una rama de arte de la Antigua Grecia en adelante ve a Dios como el geómetra del mundo, y por lo tanto la geometría del mundo como sagrada. La creencia de que Dios creó el universo de acuerdo con un plan geométrico tiene orígenes antiguos. Plutarco atribuyó la creencia a Platón, escribiendo que «Platón dijo que Dios geometriza continuamente» (Convivialium disputationum, liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico derivaba a su vez de una noción pitagórica de armonía en la música, donde las notas estaban espaciadas en proporciones perfectas, correspondientes a las longitudes de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba organizado por Número. De la misma manera, en el pensamiento platónico, los sólidos regulares o platónicos dictan las proporciones que se encuentran en la naturaleza y en el arte. Una iluminación en el Códice Vindobonensis del siglo XIII muestra a Dios dibujando el universo con un par de brújulas, que puede referirse a un versículo en el Antiguo Testamento:» Cuando estableció los cielos, allí estaba yo; cuando puso una brújula sobre la faz del abismo » (Proverbios 8: 27),. En 1596, el astrónomo matemático Johannes Kepler modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. El antiguo de los días de William Blake (que representa a Urizen, la encarnación de Blake de la razón y la ley) y su pintura del físico Isaac Newton, desnudo, encorvado y dibujado con una brújula, utilizan el simbolismo de las brújulas para criticar la razón convencional y el materialismo como de mente estrecha.La Crucifixión de Salvador Dalí de 1954 (Corpus Hypercubus) representa la cruz como un hipercubo, representando la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de las tres habituales. En El Sacramento de la Última Cena (1955), de Dalí, Cristo y sus discípulos están representados dentro de un dodecaedro gigante.
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Dios el aparejador. Codex Vindobonensis, c. 1220
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La creación, con el rodamiento Pantocrator . Biblia de San Luis, c. 1220-40
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Johannes Kepler sólido Platónico modelo planetario de espacio en el sistema solar desde el Mysterium Cosmographicum, 1596
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William Blake, El anciano de los Días, 1794
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William Blake, Newton, c. 1800