Tensión desviatoria e invariantes
Publicado por: Pantelis Liolios / Sept. 16, 2020
El tensor de tensión se puede expresar como la suma de dos tensores de tensión, a saber: el tensor de tensión hidrostática y el tensor de tensión desviatoria. En este artículo definiremos la parte hidrostática y desviatoria del tensor de tensión y calcularemos las invariantes del tensor desviador de tensión. Los invariantes de la tensión desviatoria se utilizan con frecuencia en los criterios de falla.
Considere un tensor de tensión \ (\sigma_{ij}\) que actúa sobre un cuerpo. El cuerpo estresado tiende a cambiar tanto su volumen como su forma. La parte del tensor de tensión que tiende a cambiar el volumen del cuerpo se denomina tensor de tensión hidrostática media o tensor de tensión volumétrica. La parte que tiende a distorsionar el cuerpo se llama tensor desviador de estrés. Por lo tanto, el tensor de tensión puede expresarse como:
donde \ (\delta_{ij}\) es el delta de Kronecker (con \ (\delta_{ij} = 1\) if \ (i = j\) y \( \delta_{ij}=0\) if \ (i \ neq j\)), \ (p\) es la tensión media dada por:
donde \( I_{1} \) es el primer invariante del tensor de tensión (véase también: Tensiones principales e invariantes de tensión). El producto \ (p\delta_{ij} \) es el tensor de tensión hidrostática y contiene solo tensiones normales. El tensor de tensión desviatoria se puede obtener restando el tensor de tensión hidrostática del tensor de tensión:
Para calcular las invariantes del tensor desviador de tensiones seguiremos el mismo procedimiento utilizado en el artículo Tensiones principales e invariantes de tensiones. Debe mencionarse que las direcciones principales del tensor desviador de tensiones coinciden con las direcciones principales del tensor de tensiones. La ecuación característica de \ (s_{ij}\) es:
donde \( J_{1} \), \( J_{2} \) y \( J_{3} \) son la primera, segunda y tercera deviatoric estrés invariantes, respectivamente. Las raíces del polinomio son las tres tensiones desviatorias principales \ (s_{1} \), \( s_{2} \) y \( s_{3} \). \( J_{1} \), \( J_{2} \) y \( J_{3} \) puede calcularse mediante las siguientes expresiones::
donde \( I_{1} \), \( I_{2} \) y \( I_{3} \) son los tres invariantes del tensor de tensiones y \( \det(s_{ij}) \) es el determinante de \( s_{ij} \). Debe mencionarse que desde \ (J_{1}=s_{kk} = 0\), el tensor desviador de esfuerzos describe un estado de cizallamiento puro.
Ejemplo
Calcular la tensión de derivación tensor y sus invariantes para el siguiente tensor de tensiones:
Mostrar la solución…
en primer lugar calculamos la media de la presión de \( p \):
De la ecuación (3) se calcula la tensión de derivación tensor:
Para la tensión de derivación invariantes del tensor de la usaremos las ecuaciones (5) y obtenemos:
Finalmente, la ecuación característica es:
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