udviklet ligninger, der bruges til at bestemme den gennemsnitlige volumenstrømningshastighed i åbne kanaler. Denne artikel forklarer en laboratoriemetode, der blev udviklet og testet for yderligere at identificere og kvantificere de parametre, der udgør ruhedskoefficienterne for disse ligninger. Denne metode bruger en hydraulisk flume, og gør brug af teknikken med dimensionel homogenitet og en ny eksponentiel form af en ligning til instrumentkalibrering.
nøjagtig måling af gennemsnitshastigheder i kanaler eller kulverter med overflader åbne for atmosfæren har været en udfordring i århundreder. Jo større strømningstværsnitsareal jo større er unøjagtigheden eller usikkerheden ved måling.
åben kanalstrøm styres af Froude-forholdet, forholdet mellem inertialkræfter og gravitationskræfter. Således blev det anerkendt tidligt i hydraulikens historie, at formlen for en sådan gennemsnitshastighed skulle være en balance mellem tyngdekraften, der forårsager strømmen og kanalens ruhed, der søger at forsinke strømmen. Det blev også erkendt, at en sådan formel skulle være for ensartet strømning, det vil sige for steady state strømning, således at vanddybden i forhold til bunden af vandvejen er en konstant eller d(y)/DH = 0.
det bemærkes, at ordet ensartet i rør eller trykstrøm har en anden betydning. I denne applikation betyder det, at hastighedsprofilen har en konstant hastighed over hele tværsnittet. På den anden side har åbenkanalhydraulik ikke noget ord for konstant hastighed over et tværsnit. I denne artikel betyder” normal ” den første af disse to definitioner, det vil sige stabil tilstand og konstant dybde. Alle enheder i denne artikel er tekniske enheder som almindeligt anvendt i USA
ligninger udviklet af cheesy og Manning
den første anerkendte og mest varige “modstand” formel for steady state, åben kanalstrøm krediteres Antoine Cheesy. Han fik til opgave at bestemme tværsnittet og beregne udledningen til vandforsyningen i Paris og øge dens strømningshastighed. Han gjorde det i 1768 ved at sammenligne strømningsforholdene mellem to vandløb, Courpalet-kanalen og Seinen. Hans resulterende formel blev offentliggjort i sin rapport om Canal de l ‘ Yvette som:
Vavg = C R1 / 2 S1/2
hvor Vavg er gennemsnitshastigheden i fødder pr.sekund; C er disses faktor for strømningsmodstand i fødder1/2/sek; R er den hydrauliske radius (tværsnitsarealet divideret med den befugtede omkreds) i fødder; og S er hældningen, som er dimensionsløs. Imidlertid fik Cheys arbejde lidt opmærksomhed indtil mange år efter hans død.
i 1889 præsenterede en irer ved navn Robert Manning, der var chefingeniør for Irlands kontor for offentlige arbejder, et papir med titlen “Om vandstrømmen i åbne kanaler og rør.”Selvom hans største interesse ser ud til at have været hydrologi, afledte han en gennemsnitlig “modstand” – formel for åbne kanaler fra alle de forskellige modstandsformler, der blev offentliggjort indtil det tidspunkt. I dagens format er denne ligning, som vi kalder ligning 1 til fremtidig reference,:
Vavg = (1.486 / n) R2 / 3 S1/2
hvor n er Mannings ruhedskoefficient, som er den samme numerisk i enten amerikanske eller metriske dimensionelle systemer. I det amerikanske system har det enheder af anden / fødder1 / 3. Hvis du bruger metriske enheder, erstattes 1.486 med 1.0, og dens enheder er anden/meter1/3.
Mannings ligning har været den mest succesrige af alle åbne kanal empiriske ligninger baseret på modstanden mod strømning og afledt af observation. Faktisk er det ingen overdrivelse at sige, at det er hjørnestenen i nutidens videnskab om hydraulik.
men i klassisk forstand har både Cheesys og Mannings ligninger flere lignende mangler. For det første har de ikke dimensionel homogenitet, det vil sige enhederne på venstre side er ikke de samme som enhederne på højre side. Sådanne ligninger er normalt afledt af eksperimenter eller observation og hurtigt miste nøjagtighed, hvis ekstrapoleret ud over deres vifte af observation. Det er kendt, at Mannings ligning mister nøjagtighed med meget stejle eller lave skråninger. For det andet for at opnå dimensionel homogenitet er deres konstanter eller koefficienter ikke rene tal, men er kunstigt tildelte enheder.
desuden antyder Mannings ligning, at gennemsnitshastigheden er mere følsom over for den hydrauliske radius end til hældningen. Dette er virkelig en uforenelighed, fordi selve naturen af åben kanalstrøm er en funktion af tyngdekraftens hældningskomponent. Formen af vandpassagen, som beregnet af den hydrauliske radius, udøver en effekt på den absolutte ruhed, men det er ikke en primær effekt på selve gennemsnitshastigheden. Jo lavere hydraulikradiusforholdet er, desto større er procentdelen af strømmen, der er i kontakt med grænsens ruhed.
derudover er ligningernes natur en modsigelse. Ligningerne beskriver en gennemsnitlig hastighed, der findes ved et tværsnit vinkelret på strømmen. Et sådant tværsnit har en uendelig tykkelse i strømningsretningen, mens ligningerne er afhængige af koefficienter, der betegnes som “ruhedskoefficienter.”Men effekten af en sådan ruhed har brug for en endelig længde for at eksistere—den kan ikke have en effekt over en uendelig tykkelse. Dette betyder, at ruheden i sig selv skal virke på en anden parameter, der kan eksistere over en uendelig længde for at forsinke strømningshastigheden.
teori bag et laboratorieeksperiment
nøjagtigheden af både Cheys og Mannings ligninger afhænger af valget af deres individuelle ruhedskoefficienter. Dette gøres normalt ved sammenligning med kendte lignende strømme eller fra en referencebog med billeder af vandløb. Men i artiklen med titlen” dimensionelt homogen form af de skæve og Manning ligninger”, udgivet af Hydro anmeldelse i April 2014, foreslog jeg en ny eksperimentel metode til bestemmelse af de bestanddele, der omfatter disse ruhedskoefficienter.
for at demonstrere teknikken præsenterede jeg for en kandidatklasse i vedvarende Energiteknik, der var indskrevet i det hydrauliske Laboratoriekursus ved Oregon Institute of Technology (Oit) i Oregon, Oregon, et eksperiment designet til at identificere og kvantificere komponenterne i ruhedskoefficienterne. Dette eksperiment ville koncentrere sig om Mannings ligning og var baseret på anvendelse af princippet om dimensionel homogenitet. De OIT-studerende, der deltog i dette laboratorieeksperiment, var Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, vil Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthivong og asmitha Velivela.
for det første blev der dannet to parametre: Hv/s og R. HV repræsenterer hastighedshovedet, det vil sige Hv = (HV vavg2) / (2 g), hvor HV kaldes hastighedshovedkorrektionsfaktoren eller Coriolis-faktoren. Denne multiplikator repræsenterer den ekstra energi indeholdt i enten åben overflade eller lukket trykstrøm, der findes, når en hastighedsprofil ikke er konstant over et tværsnitsareal. Dette skyldes, at væskeenergi er en funktion af kvadratet af hastigheden, og summen af kvadraterne i hvert væskestrømrør er større end kvadratet af summen af hastighederne i hvert strømrør.
numerisk er kr.altid lig med eller større end en og er dimensionsløs. Hældningen eller S kunne have vist sig på begge parametriske sider, men blev tildelt HV-parameteren, fordi der i hydraulik er mere end rigeligt bevis for, at gennemsnitshastigheden er en funktion af kvadratroden af hældningen, det vil sige Vavg-Kurt S1/2. Derefter blev der designet et laboratorieeksperiment, der gjorde det muligt at opnå data og plottes som Hv/s versus R, som begge har enheder af fødder. Derfor bør enhver resulterende eksperimentel ligning have dimensionel homogenitet.
enhederne af Hv, fra Bernoullis ligning, er fodpund pr.pund eller “specifik energi”, men er stadig homogene med R, som har enheder af fødder. Det skal bemærkes, at når R bliver større, bliver den befugtede omkreds (P) mindre i forhold til området (a). Dette betyder, at friktionsmodstanden mod strømmen skal blive mindre, og derfor skal gennemsnitshastigheden blive større. Med andre ord skal en lineær relation mellem Hv/S og R have en positiv hældning.
Testapparat
en lille vipbar-seng laboratorieflume med en recirkulationspumpe til svømmebassiner, som en studerende bekvemt havde bygget det foregående semester, blev tilpasset til brug. Det var umiddelbart tydeligt, at det ville være umuligt at måle hastighedshovedkorrektionsfaktoren i en så lille flume. Det bedste alternativ var kun at måle hældning, gennemsnitshastighed og vanddybde for kritisk og ensartet strømning.
ved kritisk strømning, hvor Froude-tallet er lig med en, er den mindste hydrauliske energi indeholdt for en given mængde flydende væske. Derfor bør der ikke være nogen yderligere energi til rådighed for at danne en ikke-konstant hastighedsprofil, og hastighedshovedkorrektionsfaktoren skal være nær en. Derudover, fordi ruden var kort, skulle energien i væsken, der kom ind i ruden, matches med det ønskede energiniveau for en given strømningshastighed i ruden, således at ensartet eller stabil tilstandsstrøm straks blev opnået.
det var ikke muligt at justere svømmepølspumpen så fint. Derfor valgte forskerholdet at bringe en anden vandtank ind, få pumpen til at aflade i den tank og derefter forsigtigt sifon fra den tank ind i rumpen. En sonisk strømningsmåler forbundet til slangen mellem tanken og flume gav den volumetriske strømningshastighed. Det tog en betydelig mængde tid og kræfter at få alt afbalanceret for et enkelt datapunkt med stabil tilstand, ensartet og kritisk strømning i en så lille flume. I sidste ende blev der imidlertid indsamlet tre datapunkter, som var tilstrækkelige til at demonstrere denne metode til dataanalyse (tabel 1 og 2).
tabel 1. Denne tabel viser data indsamlet under tre åbne kanaleksperimenter udført i laboratoriet ved hjælp af en flume. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
tabel 2. Denne tabel viser data indsamlet under tre åbne kanaleksperimenter udført i laboratoriet ved hjælp af en flume. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
det understreges, at disse datapunkter var tæt fordelt med hensyn til volumenstrømningshastighed. Dette skyldes, at en fem tommer bred flume-betjent til både ensartede og kritiske strømme-ikke sørgede for en bred vifte af strømningsvariabilitet. Også dette eksperiment blev udført i en meget glat Pleksiglas-flume, hvor Mannings n blev målt som kun 0,009, mens 0,012 er den glateste værdi i den offentliggjorte tabel over prototype vandkanaler. Derfor bør alle numeriske resultater betragtes som kun gældende for dette meget smalle hydrauliske regime.
det understreges dog også, at formålet med dette laboratorieeksperiment kun var at demonstrere, om denne metode kunne bruges i fremtidig, mere omfattende forskning for at give yderligere indsigt og nøjagtighed i sammensætningen af komponenterne i Cheys og især Mannings ligninger.
Datareduktionsteknik
plotningen af disse tre datapunkter blev udført på samme måde som instrumentkalibreringsligningen beskrevet i en artikel, jeg skrev med titlen “En ny Kalibreringsligning til vinter-Kennedy-Piesometersystemet”, som blev offentliggjort af Hydro anmeldelse i oktober 2013. Denne metode giver en kalibreringsligning direkte i eksponentiel form til klar sammenligning med de almindeligt anvendte åbne kanalligninger, det vil sige log10(Hv/S) blev afbildet som ordinat eller y-akse og log10R blev afbildet som abscissa eller H-akse (Figur 1).
1. Dette diagram viser modellen flume ved kritisk og ensartet strømning. Kilde: Lee H. Sheldon, PE
disse punkter tilnærmede tæt en lige linje og gav en ligning af formen: y = MH + b.
log10 (Hv/s) = mlog10R + b = log10 ( Rm) + b
hæve begge sider af ligningen som kræfter på 10 udbytter:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b * 10^(log10Rm)
derefter ved logaritmisk identitet:
Hv/S = 10b * Rm
eller
Hv = 10b * s * Rm
erstatning for HV resulterer i:
aVavg2/2G = 10B S S Rm
omarrangering af vilkår giver:
Vavg = (2g10b/liter)1/2 S1/2 Rm/2
udskiftning af numeriske værdier på m = 0,7497 og b = 1,7328 fra Figur 1 giver:
vavg = (2G * 101,7328/larg)1/2 * S1/2 * (R0.7497)1/2
det bemærkes, at hældningen (m) er positiv som forudsagt tidligere. Derfor:
Vavg = (108.1011 g/liter)1/2 S1/2 R0.3749
hvilket resulterer i følgende ligning, som vi kalder ligning 2 til fremtidig reference:
Vavg = 10.3972 (GS/larg)1/2 R3/8
i denne form indeholder ligningen med åben kanal kun parametre, der kan bestemmes på tværs af et uendeligt tyndt tværsnitsareal. Sammenligning af ligning 2 med ligning 1 giver indsigt i forholdet mellem parametrene i Mannings ligning.
Vavg = 10.3972 * 1/2 * R3/8 = (1.486/n) * R2/3 * S1/2
nu svarer kun de to udtryk og annullerer S1/2-udtrykkene:
10.3972 * (g/liter) 1/2 * R3/8 = (1.486/n)R2/3
ved at kombinere r-termerne resulterer det i:
10.3972 H (g/l) 1/2 = (1.486 / n)R7/24
hvilket resulterer i følgende, som vi vil kalde ligning 3 til fremtidig reference:
= 0,1429 * (LARP/G) 1/2 * R7/24
det bemærkes, at ligning 2 ikke har nøjagtig dimensionel homogenitet. Forsømmelse af værdierne for numeriske koefficienter, hvis eksponenten for R havde været 4/8 i stedet for 3/8, og med inkludering af enheder til g (gravitationsacceleration), ville det have haft nøjagtig homogenitet. Separat bemærkes det, at for at Mannings ligning skulle have dimensionel homogenitet, var enhederne af n i ligning 1 historisk blevet tildelt kunstigt som sekunder/fødder1/3 eller sekunder/fødder8/24. I ligning 3, nu, også inklusive enheder til g, har n enheder på sekunder / fødder5 / 24.
det vurderes, at disse to forskelle i Mannings ligning og Mannings n kan skyldes usikkerheden eller unøjagtigheden af datamåling i den begrænsede testflume, der er tilgængelig for de studerende. Derfor understreges det igen, at de endelige numeriske resultater af dette eksperiment sandsynligvis har en vis usikkerhed, men metoden til mere præcist at kvantificere Mannings ligning er tydeligt demonstreret.
udtrykket S(g) er hældningstiderne gravitationsacceleration. Når hældningen, d (y)/DKs, bliver større, er der en større tyngdekraft, der virker for at fremskynde strømmen.
som nævnt før er Mannings ligning et gennemsnit af alle de åbne kanalligninger, der blev offentliggjort før 1889. Det faktum, at det ikke omfattede effekten af hastighedshovedkorrektionsfaktoren, er ret forståeligt. Det var først så sent som i 1877, at Coriolis hastighedskorrektionsfaktor blev anerkendt som en variabel og ikke en konstant.
forholdet mellem ligning 2 viser Mannings n er en metrisk for hastighedshovedkorrektionsfaktoren, det vil sige n er proportional med lut1/2. Teoretisk, hvis n fordobles, øges hastighedshovedkorrektionsfaktoren fire gange, og gennemsnitshastigheden halveres. Dette er den mekanisme, gennem hvilken ruheden af væskegrænserne virker for at forsinke strømningshastigheden over et uendeligt tyndt tværsnit.
som nævnt påvirkes Mannings n direkte af den hydrauliske radius (R7/24). Dette viser, at valg af en bemandings n ikke kun er en funktion af ruhed, men af vandbanens tværsnitsform. Det faktum, at kanaler kan udvise nogle forskelle i Mannings n på grund af deres form alene, såvel som deres ruhed, er tidligere dokumenteret i anden litteratur.
i et papir med titlen “bestemmelse af Rugositetskoefficient for foret og uforede kanaler” udgivet af Karnataka Engineering Research Station i Indien står det, “strømning i kanaler kompliceres af det faktum, at formen af ruhed elementer og dermed modstanden mod strømning er funktioner af egenskaberne ved kanalform og justering. Disse faktorer udgør rugøsitetskoefficienten eller ruhedskoefficienten.”Årsagen er, som nævnt før, jo mindre den hydrauliske radius er, desto større er den relative procentdel af strømningsvolumenet, der er i direkte kontakt med den givne absolutte ruhed af grænsen. Derfor, jo større træk, som grænsen pålægger for at forsinke den volumetriske strømningshastighed, jo mere uensartet bliver hastighedsprofilen, som beregnet af kursen. Jo mindre den hydrauliske radius er, desto større er energitabet. Omvendt, jo større den hydrauliske radius er, desto mere har hastighedsprofilen en tendens til at blive ensartet over tværsnittet. C er omvendt proportional med R1 / 8.
ligningerne udviklet af cheesy og Manning kan synes at være meget enkle; de repræsenterer dog komplekse interaktioner mellem hydrauliske parametre for væsker i åbne kanaler. Den eksperimentelle proces, der præsenteres i denne artikel, kan bruges til at studere disse interaktioner. Anvendelsen af denne eksperimentelle metode på det meget begrænsede og snævre grundlag, der er beskrevet ovenfor, antyder, at forskellen mellem Cheys og Mannings ligninger muligvis ikke er så stor, som den ser ud. Den reelle forskel kan være mere i graden af afhængighed, som hver strømningsmodstandskoefficient har på hastighedshovedkorrektionsfaktoren og den hydrauliske radius.
—Lee H. Sheldon, PE er en vandkraftingeniør med 50 års erfaring. Han har udgivet 33 tekniske papirer og et kollegium lærebog om vandkraft engineering, og har arbejdet på alle føderale vandkraft projekt i Stillehavet Nordvest, blandt andre. Han var tidligere professor ved OIT, hvor han underviste i vandkraftteknik og væskemekanik.