vigtige resultater af funktionel analyse inkluderer:
ensartet afgrænsningsprinciprediger
ensartet afgrænsningsprincip eller Banach–Steinhaus sætning er et af de grundlæggende resultater i funktionel analyse. Sammen med Hahn-Banach-sætningen og den åbne kortlægningssætning betragtes det som en af hjørnestenene i marken. I sin grundlæggende form hævder den, at for en familie af kontinuerlige lineære operatører (og dermed afgrænsede operatører), hvis domæne er et Banach-rum, svarer punktvis afgrænsning til ensartet afgrænsning i operatørnorm.
sætningen blev først offentliggjort i 1927 af Stefan Banach og Hugo Steinhaus, men det blev også bevist uafhængigt af Hans Hahn.
Sætning (Ensartet Grænseprincip). Lad os være et Banach-rum og Y være et normeret vektorrum. Antag, at F er en samling af kontinuerlige lineære operatører fra H til Y. Hvis man for alle har
sup t list f list T ( h) list Y < list , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(H)\|_{Y}<\infty ,}
derefter
sup t list f list t list B (H , Y ) < list . {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T \ in F}\|T\ / _{B(H,Y)}<\infty .}
spektral teoredit
der er mange sætninger kendt som spektralsætningen, men en har især mange anvendelser i funktionel analyse.
sætning: Lad A være en afgrænset selvtilstødende operatør på et Hilbert-rum H. så er der et målerum (h, Kurt, Kurt) og en virkelig værdsat i det væsentlige afgrænset målbar funktion f på H og en enhedsoperatør U:H Kurt L2 Kurt(h) sådan at
U Kurt T U = a {\displaystyle U^{*}TU=a\;}
hvor t er multiplikationsoperatoren:
(H ) = F ( H) L (H). {\displaystyle (S)=f(S) \ varphi (s).\;}
og list t list = list f list {\displaystyle \ |t \ / | \ |f \ |_{\infty }}
dette er begyndelsen på det store forskningsområde for funktionel analyse kaldet operatørteori; se også det spektrale mål.
der er også en analog spektral sætning for afgrænsede normale operatører på Hilbert-rum. Den eneste forskel i konklusionen er, at nu f {\displaystyle f}
kan være kompleks-værdsat.
Hahn-Banach teoredit
Hahn–Banach sætning er et centralt værktøj i funktionel analyse. Det tillader udvidelse af afgrænsede lineære funktionaliteter defineret på et underrum af et eller andet vektorrum til hele rummet, og det viser også, at der er “nok” kontinuerlige lineære funktionaliteter defineret på hvert normeret vektorrum til at gøre studiet af det dobbelte rum “interessant”.
Hahn–Banach-sætning: hvis p: v-kur R er en sublinear funktion, og kur: U kur R er en lineær funktionel på et lineært underrum U-kur V, som er domineret af p på U, dvs.
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}
så der findes en lineær udvidelse ψ : V → R, φ, at hele rummet V, dvs, der eksisterer en lineær funktionel ψ sådan, at
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U , {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi(s) \ lk p (S)\lk \for alle\i V. I V.
Open mapping theoremEdit
open mapping theorem, også kendt som Banach-Schauder-sætningen(opkaldt efter Stefan Banach og Julius Schauder), er et grundlæggende resultat, der siger, at hvis en kontinuerlig lineær operatør mellem Banachrum er surjektiv, er det et åbent kort. Mere præcist:
åben kortlægning sætning. Y er en surjektiv kontinuerlig lineær operator, så er A et åbent kort (dvs. hvis U er et åbent sæt i H, er A(U) åbent i Y).
beviset bruger Baire kategori sætning, og fuldstændigheden af både H og Y er afgørende for sætningen. Udsagnet om sætningen er ikke længere sandt, hvis et rum bare antages at være et normeret rum, men er sandt, hvis H og Y anses for at være fr-Kristchet-rum.
lukket graf theoremEdit
den lukkede graf sætning angiver følgende:Hvis Y er et topologisk rum, og Y er et kompakt Hausdorff-rum, lukkes grafen for et lineært kort T fra Y til Y, hvis og kun hvis T er kontinuerligt.