Chezy és Manning olyan egyenleteket fejlesztett ki, amelyek a nyílt csatornák átlagos térfogatáramának meghatározására szolgálnak. Ez a cikk egy olyan laboratóriumi módszert ismertet, amelyet az egyenletek érdességi együtthatóit alkotó paraméterek további azonosítására és számszerűsítésére fejlesztettek ki és teszteltek. Ez a módszer hidraulikus füstgázt használ, és a dimenziós homogenitás technikáját és az egyenlet új exponenciális formáját használja a műszer kalibrálásához.
az átlagos sebességek pontos mérése a légkör számára nyitott felületű csatornákban vagy átereszekben évszázadok óta kihívást jelent. Minél nagyobb az áramlási keresztmetszet, annál nagyobb a mérési pontatlanság vagy bizonytalanság.
a nyílt csatornás áramlást a Froude-reláció, az inerciális erők és a gravitációs erők aránya szabályozza. Így a hidraulika történetének korai szakaszában felismerték, hogy az ilyen átlagos sebesség képletének egyensúlynak kell lennie az áramlást okozó gravitáció és a csatorna érdessége között, az áramlás késleltetésére törekedve. Azt is felismerték, hogy minden ilyen képletnek az egyenletes áramláshoz, azaz az egyensúlyi állapotú áramláshoz kell lennie, oly módon, hogy a víz mélysége a vízi út aljához viszonyítva állandó, vagy d(y)/dx = 0.
meg kell jegyezni, hogy a csőben vagy a nyomás alatt álló áramlásban az egyenruha szónak más jelentése van. Ebben az alkalmazásban ez azt jelenti, hogy a sebességprofil állandó sebességgel rendelkezik a teljes keresztmetszetben. Másrészt a nyitott csatornás hidraulikának nincs szava a keresztmetszet feletti állandó sebességre. Ebben a cikkben a “normál” a két meghatározás közül az elsőt jelenti, azaz az állandósult állapotot és az állandó mélységet. Minden egység ebben a cikkben mérnöki egységek általánosan használt az USA-ban
egyenletek által kifejlesztett Chezy és Manning
az első elismert és a legtartósabb “ellenállás” képlet steady state, nyitott csatornás áramlás jóváírásra Antoine Chezy. Feladata volt a keresztmetszet meghatározása és a párizsi vízellátás kibocsátásának kiszámítása, valamint az áramlási sebesség növelése. Ezt 1768-ban tette meg két vízfolyás, a Courpalet-csatorna és a Szajna áramlási viszonyainak összehasonlításával. Az eredményül kapott képletet a Canal de l ‘ Yvette-ről szóló jelentésében tették közzé:
Vavg = C x R1/2 x S1 / 2
ahol Vavg az átlagos sebesség láb / másodpercben; C A Chezy áramlási ellenállási tényezője lábban1 / 2 / sec; R a hidraulikus sugár (a keresztmetszeti terület osztva a nedvesített peremmel) lábban; S pedig a méret nélküli lejtés. Chezy munkája azonban csak sok évvel halála után kapott kevés figyelmet.
1889-ben egy Robert Manning nevű ír, aki az Ír Közmunkák Hivatalának főmérnöke volt, bemutatott egy tanulmányt “a víz áramlásáról a nyitott csatornákban és csövekben.”Bár úgy tűnik, hogy fő érdeklődése a hidrológia volt, a nyitott csatornák átlagos “ellenállási” képletét az addig közzétett különféle ellenállási képletekből származtatta. A mai formátumban ez az egyenlet, amelyet a jövőben az 1.egyenletnek nevezünk, a következő:
Vavg = (1.486 / n) x R2/3 x S1/2
ahol n Manning érdességi együtthatója, amely számszerűen megegyezik az amerikai vagy a metrikus dimenziós rendszerekben. Az amerikai rendszerben a második/láb egységei vannak1 / 3. Metrikus egységek használata esetén az 1,486 helyébe 1,0 lép, egységei pedig másodperc/méter1/3.
Manning egyenlete volt a legsikeresebb az összes nyitott csatornás empirikus egyenlet közül, amely az áramlással szembeni ellenálláson alapul, és megfigyelésből származik. Valójában nem túlzás azt mondani, hogy ez a mai hidraulikus mérnöki tudomány sarokköve.
klasszikus értelemben azonban mind a Chezy, mind a Manning egyenleteinek számos hasonló hiányossága van. Először is, nincs dimenziós homogenitásuk, vagyis a bal oldalon lévő egységek nem azonosak a jobb oldalon lévő egységekkel. Az ilyen egyenleteket általában kísérletezéssel vagy megfigyeléssel vezetik le, és gyorsan elveszítik a pontosságukat, ha extrapolálják a megfigyelési tartományukon kívül. Ismeretes, hogy Manning egyenlete nagyon meredek vagy sekély lejtőkön elveszíti a pontosságot. Másodszor, a dimenziós homogenitás elérése érdekében állandóik vagy együtthatóik nem tiszta számok, hanem mesterségesen hozzárendelt egységek.
továbbá Manning egyenlete azt sugallja, hogy az átlagos sebesség érzékenyebb a hidraulikus sugárra, mint a lejtőre. Ez valóban összeférhetetlenség, mert a nyílt csatornás áramlás természete a gravitáció lejtő komponensének függvénye. A vízjárat alakja, amelyet a hidraulikus sugár számít ki, hatással van az abszolút érdességre, de nem elsődleges hatással van magára az átlagos sebességre. Minél alacsonyabb a hidraulikus sugár aránya, annál nagyobb az áramlás százalékos aránya, amely érintkezik a határok érdességével.
ezenkívül az egyenletek természete ellentmondás. Az egyenletek egy átlagos sebességet írnak le, amely az áramlásra merőleges keresztmetszetben létezik. Egy ilyen keresztmetszet végtelen vastagságú az áramlás irányában, míg az egyenletek olyan együtthatókra támaszkodnak, amelyeket “érdességi együtthatóknak” neveznek.”De az ilyen érdesség hatásának véges hosszúságra van szüksége ahhoz, hogy létezzen—nem lehet hatása végtelenül kis vastagság felett. Ez azt jelenti, hogy magának az érdességnek valamilyen más paraméterre kell hatnia, amely végtelenül kis hosszúságban létezhet az áramlási sebesség késleltetése érdekében.
elmélet egy laboratóriumi kísérlet mögött
mind a Chezy, mind a Manning-egyenletek pontossága az egyes érdességi együtthatók kiválasztásától függ. Ezt általában az ismert hasonló patakokkal vagy a patakok képeinek referenciakönyvével hasonlítják össze. Azonban a Hydro Review által 2014 áprilisában közzétett “a Chezy és Manning egyenletek dimenzionálisan homogén formája” című cikkben egy új kísérleti módszert javasoltam az ezen érdességi együtthatókat alkotó alkotóelemek meghatározására.
a technika bemutatására a Wilsonville-i Oregon Institute of Technology (OIT) hidraulikus laboratóriumi tanfolyamán beiratkozott megújuló energia mérnöki végzős osztálynak bemutattam egy kísérletet, amelynek célja az érdességi együtthatók összetevőinek azonosítása és számszerűsítése. Ez a kísérlet Manning egyenletére koncentrálna, és a dimenziós homogenitás elvén alapult. Az OIT végzős hallgatói, akik részt vettek ebben a laboratóriumi kísérletben, Joshua Couch, Cole Harrington, Karissa Hilsinger, Tai Huynh, Krystal Locke, William Perreira, Cullen Ryan, Pauloi Santos Vasconcelos Jr., Anurak Sitthiwong és Asmitha Velivela voltak.
először két paramétert alakítottunk ki: Hv / S és R. a HV a sebességfejet jelenti, azaz Hv = (6 x vavg2) / (2 x g), ahol a xhamsterfej korrekciós tényezőjét vagy Coriolis faktort nevezzük. Ez a szorzó a nyitott felületű vagy zárt nyomású áramlásban lévő további energiát jelenti, amely akkor létezik, amikor a sebességprofil nem állandó egy keresztmetszeti területen. Ez azért van, mert a folyadékenergia a sebesség négyzetének függvénye, és az egyes folyadékáram-csövekben lévő négyzetek összege nagyobb, mint az egyes áramcsövek sebességének összege.
számszerűen mindig egyenlő vagy nagyobb, mint egy, és dimenzió nélküli. A meredekség vagy S bármelyik paraméteres oldalon megjelenhetett volna, de a Hv paraméterhez rendelték, mert a hidraulikában több mint bőséges bizonyíték van arra, hogy az átlagos sebesség a meredekség négyzetgyökének függvénye, Vagyis Vavg S1/2. Ezután egy laboratóriumi kísérletet terveztek, amely lehetővé tenné az adatok megszerzését és ábrázolását Hv / S versus R, mindkettő lábegységgel rendelkezik. Ezért Minden kapott kísérleti egyenletnek dimenziós homogenitással kell rendelkeznie.
a HV egységei Bernoulli egyenletéből láb-font / font vagy “fajlagos energia”, de még mindig homogének R, amelynek lábegységei vannak. Meg kell jegyezni, hogy amint R nagyobb lesz, a nedvesített kerület (P) kisebb lesz az (A) területhez képest. Ez azt jelenti, hogy az áramlással szembeni súrlódási ellenállásnak kisebbnek kell lennie, ezért az átlagos sebességnek nagyobbnak kell lennie. Más szavakkal, a HV/S és R közötti lineáris kapcsolatnak pozitív meredekséggel kell rendelkeznie.
vizsgálati berendezés
egy kis dönthető ágyas laboratóriumi füstgáz úszómedence-keringető szivattyúval, amelyet egy hallgató kényelmesen épített az előző félévben, használatra adaptálták. Azonnal nyilvánvaló volt, hogy a sebességfej korrekciós tényezőjének mérése ilyen kis füstben lehetetlen lenne. A legjobb alternatíva csak a meredekség, az átlagos sebesség és a vízmélység mérése volt a kritikus és egyenletes áramlás érdekében.
kritikus áramlásnál, ahol a Froude-szám egyenlő eggyel, a legkevesebb hidraulikus energiát tartalmazza egy adott mennyiségű mozgó folyadék. Következésképpen nem szabad további energiának rendelkezésre állnia egy nem állandó sebességprofil kialakításához, és a sebességfej korrekciós tényezőjének egy közelében kell lennie. Ezenkívül, mivel a füst rövid volt, a füstbe belépő folyadék energiáját hozzá kellett igazítani a füstgáz adott áramlási sebességéhez kívánt energiaszinthez, hogy azonnal egyenletes vagy egyenletes állapotú áramlást érjünk el.
nem volt lehetséges, hogy állítsa be a medence szivattyú finoman. Következésképpen, a kutatócsoport úgy döntött, hogy egy második víztartályt hoz be, a szivattyút ürítse ki abba a tartályba, majd óvatosan szifonozzon a tartályból a füstbe. A tartály és a flume közötti tömlőhöz csatlakoztatott szonikus áramlásmérő adta a térfogatáramot. Ez volt a jelentős mennyiségű időt és erőfeszítést, hogy mindent kiegyensúlyozott egyetlen adatpont egyensúlyi állapot, egységes, és a kritikus áramlás egy ilyen kis füst. Végül azonban három adatpontot gyűjtöttek össze, amelyek elegendőek voltak ennek az adatelemzési módszernek a bemutatásához (1.és 2. táblázat).
táblázat 1. Ez a táblázat három nyílt csatornás kísérlet során gyűjtött adatokat mutatja be, amelyeket a laboratóriumban flume segítségével végeztek. Forrás: Lee H. Sheldon, PE
2. táblázat. Ez a táblázat három nyílt csatornás kísérlet során gyűjtött adatokat mutatja be, amelyeket a laboratóriumban flume segítségével végeztek. Forrás: Lee H. Sheldon, pe
hangsúlyozzuk, hogy ezek az adatpontok a térfogatáram szempontjából szoros távolságban voltak. Ennek oka az, hogy egy öt hüvelyk széles fúvóka-mind az egyenletes, mind a kritikus áramlások számára működtetve-nem biztosított széles áramlási variabilitást. Ezenkívül ezt a kísérletet egy nagyon sima Plexiüvegben végezték, ahol Manning n-jét csak 0,009-nek mérték, míg a 0,012 a legsimább érték a vízcsatornák prototípusának közzétett táblázatában. Ezért minden numerikus eredményt úgy kell tekinteni, hogy csak erre a nagyon keskeny hidraulikus rendszerre vonatkozik.
ugyanakkor azt is hangsúlyozzák, hogy a laboratóriumi kísérlet célja csak annak bemutatása volt, hogy ez a módszer alkalmazható-e a jövőbeni, kiterjedtebb kutatásokban, hogy további betekintést és pontosságot nyújtson a Chezy és különösen a Manning-egyenletek összetevőinek összetételébe.
Adatcsökkentési technika
e három adatpont ábrázolása ugyanúgy történt, mint a műszer kalibrációs egyenlete, amelyet egy cikkemben írtam “a Winter-Kennedy Piezométer rendszer új kalibrációs egyenlete” címmel, amelyet a Hydro Review 2013 októberében tett közzé. Ez a módszer egy kalibrációs egyenletet eredményez közvetlenül exponenciális formában az általánosan használt nyílt csatornás egyenletekkel való kész összehasonlításhoz, vagyis a log10 (Hv / S) ordinátaként vagy y tengelyként, a log10R pedig abszcisszaként vagy x tengelyként (1.ábra).
1. Ez a diagram a kritikus és egyenletes áramlású flume modellt mutatja. Forrás: Lee H. Sheldon, pe
ezek a pontok szorosan közelítettek egy egyenes vonalhoz, és a következő formájú egyenletet eredményezték: y = mx + b.
log10(Hv/S) = mlog10R + b = log10 (Rm) + b
az egyenlet mindkét oldalát 10 hatványként emelve:
10^(log10Hv/S) = 10^(log10Rm + b) = 10b x 10^(log10Rm)
majd logaritmikus Azonosság szerint:
Hv/S = 10B x Rm
vagy
Hv = 10B x S x Rm
a HV eredmények:
aVavg2/2G = 10b x S x Rm
a kifejezések átrendezése a következőt adja:
Vavg = (2g10b/kb)1/2 x S1/2 x Rm/2
az m = 0,7497 és b = 1,7328 számértékek helyettesítése az 1. ábrán:
vavg = (2G x 101,7328/ons)1/2 x S1/2 x (R0.7497)1/2
meg kell jegyezni, hogy a meredekség (m) pozitív, amint azt korábban megjósoltuk. Ezért:
Vavg = (108,1011 g/ons)1/2 x S1/2 x R0.3749
a következő egyenletet eredményezve, amelyet a jövőben a 2.egyenletnek hívunk:
Vavg = 10.3972 (GS / ons) 1/2 x R3 / 8
ebben a formában a nyitott csatornás egyenlet csak olyan paramétereket tartalmaz, amelyek meghatározhatók egy végtelenül vékony keresztmetszeti területen. A 2. egyenlet összehasonlítása az 1. egyenlettel betekintést nyújt a paraméterek viszonyába Manning egyenletében.
Vavg = 10,3972 x (GS/ons)1/2 x R3/8 = (1,486/n) x R2/3 x S1/2
most, egyenlővé csak a két kifejezést, és megszünteti a S1/2 feltételek ad:
10,3972 x (G/CAC)1/2 x R3/8 = (1,486/n) x R2/3
az R kifejezések kombinálása a következőt eredményezi:
10,3972 x (G/ons)1/2 = (1.486 / n)x R7/24
ami a következőket eredményezi, amelyet a jövőben a 3.egyenletnek nevezünk:
= 0,1429 x (6819) 1/2 x R7/24
megjegyezzük, hogy a 2. egyenletnek nincs pontos dimenziós homogenitása. A numerikus együtthatók értékeinek figyelmen kívül hagyása, ha az R kitevője 4/8 lett volna a 3/8 helyett, és a G (gravitációs gyorsulás) egységek bevonásával pontos homogenitása lett volna. Külön meg kell jegyezni, hogy ahhoz, hogy Manning egyenletének dimenziós homogenitása legyen, az n egységeit az 1.egyenletben történelmileg mesterségesen HOZZÁRENDELTÉK másodperc/láb1/3 vagy másodperc/láb8/24. A 3. egyenletben most, beleértve a G egységeit is, n másodperc/láb egységei vannak5 / 24.
úgy véljük, hogy ez a két különbség a Manning-egyenlet és a Manning-n oka lehet a bizonytalanság vagy pontatlansága az adatok mérése a korlátozott vizsgálati flume áll a diákok. Ezért ismét hangsúlyozzuk, hogy ennek a kísérletnek a végső numerikus eredményei valószínűleg bizonyos fokú bizonytalansággal rendelkeznek, de a Manning-egyenlet pontosabb számszerűsítésére szolgáló módszer egyértelműen bizonyított.
az S(g) kifejezés a gravitációs gyorsulás meredekségének szorzata. Ahogy a d(y)/dx meredekség nagyobb lesz, nagyobb gravitációs erő hat az áramlás felgyorsítására.
mint korábban említettük, Manning egyenlete az összes 1889 előtt közzétett nyílt csatornás egyenlet átlaga. Az a tény, hogy nem tartalmazta a sebességfej korrekciós tényezőjének hatását, teljesen érthető. Csak 1877-ben ismerték fel a Coriolis sebességi fej korrekciós tényezőjét változónak és nem állandónak.
a 2.egyenlet összefüggései azt mutatják, hogy Manning n a sebesség fejkorrekciós tényezőjének metrikája, Vagyis n arányos a xhamsterrel 1/2. Elméletileg, ha n megduplázódik, a sebességfej korrekciós tényezője négyszeresére nő, az átlagos sebesség pedig felére csökken. Ez az a mechanizmus, amelyen keresztül a folyadékhatárok érdessége késlelteti az áramlási sebességet egy végtelenül vékony keresztmetszetben.
mint megjegyeztük, Manning n-jét közvetlenül befolyásolja a hidraulikus sugár (R7/24). Ez azt mutatja, hogy a Manning-féle n kiválasztása nemcsak az érdesség függvénye, hanem a vízfolyás keresztmetszeti alakja is. Az a tény, hogy a csatornák csak alakjuk miatt mutathatnak némi különbséget Manning n-jében, valamint érdességük, korábban más irodalomban dokumentálták.
az indiai Karnataka Engineering Research Station által kiadott “Rugosity Coefficient for Lined and Unlined Channels” című cikkben azt mondja: “a csatornákban történő áramlást bonyolítja az a tény, hogy az érdességi elemek formája és így az áramlással szembeni ellenállás A csatorna alakjának és igazításának jellemzői. Ezek a tényezők alkotják a rugozitási együtthatót vagy az érdességi együtthatót.”Ennek oka, amint azt korábban említettük, minél kisebb a hidraulikus sugár, annál nagyobb az áramlási térfogat relatív százaléka, amely közvetlenül érintkezik a határ adott abszolút érdességével. Ezért minél nagyobb a húzás, amelyet a határ a térfogatáram késleltetésére kényszerít, annál egyenletesebbé válik a sebességprofil, amint azt a következők számítják ki: 6. Így minél kisebb a hidraulikus sugár, annál nagyobb az energiaveszteség. Ezzel szemben minél nagyobb a hidraulikus sugár, annál inkább egyenletes lesz a sebességprofil a keresztmetszet felett. Véletlenül, Chezy C fordítottan arányos R1 / 8.
a Chezy és Manning által kidolgozott egyenletek nagyon egyszerűnek tűnhetnek, azonban a nyílt csatornákban lévő folyadékok hidraulikus paramétereinek összetett kölcsönhatásait képviselik. Az ebben a cikkben bemutatott kísérleti folyamat felhasználható ezen kölcsönhatások tanulmányozására. Ennek a kísérleti módszernek a használata a fent leírt nagyon korlátozott és szűk alapon azt sugallja, hogy a Chezy és a Manning egyenletek közötti különbség nem lehet olyan nagy, mint amilyennek látszik. A valódi különbség nagyobb lehet az áramlási ellenállás minden együtthatójának a sebességfej korrekciós tényezőjétől és a hidraulikus sugártól való függésének mértékében.
—Lee H. Sheldon, PE egy vízenergia mérnök 50 éves tapasztalattal. 33 műszaki cikket és egyetemi tankönyvet publikált a vízenergia tervezéséről, és többek között a Csendes-óceán északnyugati részén minden szövetségi vízerőmű-projekten dolgozott. Korábban az OIT professzora volt, ahol vízerőműveket és folyadékmechanikát tanított.