Deviatorikus stressz és invariánsok pantelisliolios.com

Deviatorikus stressz és invariánsok

írta: Pantelis Liolios | szeptember. 16, 2020

a stressz-tenzor két feszültség-tenzor összegeként fejezhető ki, nevezetesen: a hidrosztatikus feszültség-tenzor és a deviációs feszültség-tenzor. Ebben a cikkben meghatározzuk a feszültség-tenzor hidrosztatikus és deviátoros részét, és kiszámítjuk a feszültség-deviátor tenzor invariánsait. A deviatorikus stressz invariánsait gyakran használják a meghibásodási kritériumokban.

tekintsünk egy testre ható stressz-tenzort \( \sigma_{ij}\). A stresszes test hajlamos megváltoztatni mind a térfogatát, mind az alakját. A stressz-tenzor azon részét, amely hajlamos megváltoztatni a test térfogatát, átlagos hidrosztatikus stressz-tenzornak vagy volumetrikus stressz-tenzornak nevezzük. Azt a részt, amely hajlamos torzítani a testet, stressz-deviátor tenzornak nevezzük. Ezért a stressz-tenzor kifejezhető:

\
(1)

ahol \( \delta_{IJ} \) a Kronecker-delta (val vel \ (\delta_{IJ}=1 \) if \ (I=j \) és \ (\delta_{IJ}=0 \) if \ (I\neq j\)), \ (p \) Az átlagos stressz által adott:

\
(2)

ahol \ (i_{1} \) a stressz-tenzor első invariánsa (Lásd még: fő feszültségek és stresszinvariánsok). A termék \( p\delta_{IJ}\) a hidrosztatikus feszültség tenzor, és csak normál feszültségeket tartalmaz. A deviatorikus feszültség-tenzor úgy érhető el, hogy kivonjuk a hidrosztatikus feszültség-tenzort a feszültség-tenzorból:

\\end{array} \]
(3)

a feszültség-deviátor tenzor invariánsainak kiszámításához ugyanazt az eljárást fogjuk követni, amelyet a cikk fő feszültségek és stresszinvariánsok. Meg kell említeni, hogy a stressz-deviátor tenzor fő irányai egybeesnek a stressz-tenzor fő irányaival. A \( s_{IJ}\) karakterisztikus egyenlete az:

\
(4)

ahol \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) és \( J_{3}\) az első, a második és a harmadik deviatorikus feszültséginvariánsok. A polinom gyökerei a három fő deviatorikus feszültség \( s_{1} \), \( s_{2} \) és \( s_{3} \). \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) és \( J_{3} \) a következő kifejezésekkel számítható ki:

\\\&+\sigma_{12}^2+\sigma_{23}^2+\sigma_{31}^2\\=&\frac{1}{3}I_{1}^{2}-I_{2}\\J_{3}=&\det(s_{ij})\\=&\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}\\=&\frac{2}{27}I_{1}^{3}-\frac{1}{3}I_{1}I_{2}+I_{3}\end{array} \]
(5)

ahol \ (I_{1}\), \ (i_{2}\) és \( i_{3}\) a stressz tenzor három invariánsa és \( \det(s_{IJ})\) a \( s_{IJ}\) determinánsa. Meg kell említeni, hogy mivel \( J_{1}=s_{kk}=0\), a stressz-deviátor tenzor a tiszta nyírási állapotot írja le.

példa

Számítsa ki a feszültségeltérő tenzort és invariánsait a következő feszültségtenzorra:

\ \]
(6)

megoldás megjelenítése…

először kiszámítjuk az átlagos nyomást \ (p \):

\
(7)

a (3) egyenletből kiszámítjuk a stressz-deviátor tenzorát:

\ \]
(8)

a stressz-deviátor tenzorinvariánsokhoz az (5) egyenleteket fogjuk használni, és megkapjuk:

\
(9)

végül a jellemző egyenlet:

\
(10)

címkék: algebra| sajátértékek| invariánsok| mechanika| tenzorok

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.

Previous post Fordított szótár
Next post kezdő útmutató a kohorsz elemzéshez: a Google Analytics leginkább támadható (és alulértékelt) jelentése