Deviatorikus stressz és invariánsok
írta: Pantelis Liolios | szeptember. 16, 2020
a stressz-tenzor két feszültség-tenzor összegeként fejezhető ki, nevezetesen: a hidrosztatikus feszültség-tenzor és a deviációs feszültség-tenzor. Ebben a cikkben meghatározzuk a feszültség-tenzor hidrosztatikus és deviátoros részét, és kiszámítjuk a feszültség-deviátor tenzor invariánsait. A deviatorikus stressz invariánsait gyakran használják a meghibásodási kritériumokban.
tekintsünk egy testre ható stressz-tenzort \( \sigma_{ij}\). A stresszes test hajlamos megváltoztatni mind a térfogatát, mind az alakját. A stressz-tenzor azon részét, amely hajlamos megváltoztatni a test térfogatát, átlagos hidrosztatikus stressz-tenzornak vagy volumetrikus stressz-tenzornak nevezzük. Azt a részt, amely hajlamos torzítani a testet, stressz-deviátor tenzornak nevezzük. Ezért a stressz-tenzor kifejezhető:
ahol \( \delta_{IJ} \) a Kronecker-delta (val vel \ (\delta_{IJ}=1 \) if \ (I=j \) és \ (\delta_{IJ}=0 \) if \ (I\neq j\)), \ (p \) Az átlagos stressz által adott:
ahol \ (i_{1} \) a stressz-tenzor első invariánsa (Lásd még: fő feszültségek és stresszinvariánsok). A termék \( p\delta_{IJ}\) a hidrosztatikus feszültség tenzor, és csak normál feszültségeket tartalmaz. A deviatorikus feszültség-tenzor úgy érhető el, hogy kivonjuk a hidrosztatikus feszültség-tenzort a feszültség-tenzorból:
a feszültség-deviátor tenzor invariánsainak kiszámításához ugyanazt az eljárást fogjuk követni, amelyet a cikk fő feszültségek és stresszinvariánsok. Meg kell említeni, hogy a stressz-deviátor tenzor fő irányai egybeesnek a stressz-tenzor fő irányaival. A \( s_{IJ}\) karakterisztikus egyenlete az:
ahol \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) és \( J_{3}\) az első, a második és a harmadik deviatorikus feszültséginvariánsok. A polinom gyökerei a három fő deviatorikus feszültség \( s_{1} \), \( s_{2} \) és \( s_{3} \). \ (J_{1}\), \ (J_{2}\) és \( J_{3} \) a következő kifejezésekkel számítható ki:
ahol \ (I_{1}\), \ (i_{2}\) és \( i_{3}\) a stressz tenzor három invariánsa és \( \det(s_{IJ})\) a \( s_{IJ}\) determinánsa. Meg kell említeni, hogy mivel \( J_{1}=s_{kk}=0\), a stressz-deviátor tenzor a tiszta nyírási állapotot írja le.
példa
Számítsa ki a feszültségeltérő tenzort és invariánsait a következő feszültségtenzorra:
megoldás megjelenítése…
először kiszámítjuk az átlagos nyomást \ (p \):
a (3) egyenletből kiszámítjuk a stressz-deviátor tenzorát:
a stressz-deviátor tenzorinvariánsokhoz az (5) egyenleteket fogjuk használni, és megkapjuk:
végül a jellemző egyenlet:
címkék: algebra| sajátértékek| invariánsok| mechanika| tenzorok