a funkcionális analízis fontos eredményei a következők:
egységes kötöttség elve
az egységes kötöttség elve vagy Banach-Steinhaus-tétel a funkcionális elemzés egyik alapvető eredménye. A Hahn–Banach-tétel és az open mapping-tétel együtt a mező egyik sarokkövének számít. Alapformájában azt állítja, hogy a folytonos lineáris operátorok (és így a korlátozott operátorok) családjára, amelynek tartománya Banach-tér, a pontszerű kötöttség egyenértékű az operátor normájának egységes kötöttségével.
a tétel először megjelent 1927-ben Stefan Banach és Hugo Steinhaus, de azt is bizonyította függetlenül Hans Hahn.
Tétel (Egységes Határtalanság Elve). Legyen X Banach-tér, Y pedig normált vektortér. Tegyük fel, hogy F a folyamatos lineáris operátorok gyűjteménye X – től y-ig. Ha minden x X embernek
sup T ∈ F Születik T ( x ) születik Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}
akkor
sup T ∈ F Születik T Születik B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \ sup \ nolimits _{T \ in F}\|T \ / _ {B (X,Y)}<\infty .}
spektrális tétel
számos tétel ismert spektrális tétel, de különösen az egyiknek számos alkalmazása van a funkcionális elemzésben.
tétel: legyen A egy határolt önadjunktus operátor egy Hilbert-téren H. ezután van egy mérőtér (X, kb, KB) és egy valós értékű, lényegében korlátos mérhető függvény F az X-en és egy egységes operátor U:H\L2(X) oly módon, hogy
U ~ T U = a {\displaystyle U^{*}TU=A\;}
ahol T a szorzás operátora:
(x) = f ( x) 6 ( x). {\displaystyle (x) = f(x)\varphi (x).\;}
és {\displaystyle \|T\| = \ |F \ |_{\infty }}
ez a funkcionális elemzés hatalmas kutatási területének kezdete operátorelmélet; Lásd még a spektrális mérték.
van egy analóg spektrális tétel is korlátozott normál operátorok tovább Hilbert terek. Az egyetlen különbség a következtetésben az, hogy most f {\displaystyle f}
komplex értékűek lehetnek.
Hahn-Banach tételszerkesztés
a Hahn-Banach tétel a funkcionális elemzés központi eszköze. Lehetővé teszi bizonyos vektortér alterében meghatározott korlátozott lineáris funkcionálisok kiterjesztését az egész térre, és azt is megmutatja, hogy minden normált vektortérben “elegendő” folytonos lineáris funkcionalitás van meghatározva ahhoz, hogy a kettős tér tanulmányozása “érdekes”legyen.
Hahn–Banach-tétel: Ha p : V → R egy sublinear függvény φ : U → R lineáris funkcionális egy lineáris altér U ⊆ V, amely uralja a p U, azaz
φ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \mindazt, x\a U}
akkor létezik egy lineáris kiterjesztés ψ : V → R, φ, hogy az egész tér, V., azaz, létezik egy lineáris funkcionális ψ olyan, hogy
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U,, {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \mindazt, x\a U,}
ψ ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \ psi (x)\leq p(x) \qquad\forall x \ In V.}
nyílt leképezési tétel
a nyílt leképezési tétel, más néven Banach–Schauder tétel (Stefan Banach és Juliusz Schauder után nevezték el) alapvető eredmény, amely kimondja, hogy ha a Banach-terek közötti folytonos lineáris operátor surjektív, akkor ez egy nyitott térkép. Pontosabban:
nyílt leképezési tétel. Ha X és Y Banach-terek, és a: X ++ Y egy surjektív folytonos lineáris operátor, akkor A egy nyitott térkép (pl. ha U egy nyitott halmaz X-ben, akkor A(U) nyitva van Y-ban).
a bizonyítás a Baire kategória tételt használja, és mind az X, mind az Y teljessége elengedhetetlen a tételhez. A tétel állítása már nem igaz, ha bármelyik teret csak normált térnek feltételezzük, de igaz, ha X-et és Y-t fr-nek vesszük.
zárt gráf tétel
a zárt gráf tétel a következőket állítja:Ha X egy topológiai tér és Y egy kompakt Hausdorff-tér, akkor egy lineáris térkép gráfja T X-től Y-ig akkor és csak akkor zárt, ha T folytonos.