Optikai aberráció

Lásd még: lencse (optika)

az optika klasszikus elméletének tökéletes optikai rendszerében bármely tárgypontból származó fénysugarak egyesülnek egy képpontban; ezért az objektumtér képtérben reprodukálódik. A Gauss-féle egyszerű segédfogalmak bevezetése, amelyek a gyújtótávolságot és a gyújtótávolságot nevezték el, lehetővé teszi bármely objektum képének meghatározását bármely rendszer számára. A Gauss-elmélet azonban csak addig igaz, amíg az optikai tengellyel (a rendszer szimmetrikus tengelyével) rendelkező sugarak szögei végtelenül kicsiek, azaz végtelenül kis tárgyakkal, képekkel és lencsékkel; a gyakorlatban ezek a feltételek nem valósulhatnak meg, és a korrigálatlan rendszerek által kivetített képek általában rosszul definiáltak és gyakran homályosak, ha a rekesz vagy a látómező meghalad bizonyos határokat.

James Clerk Maxwell és Ernst Abbe vizsgálatai azt mutatták, hogy ezeknek a reprodukcióknak a tulajdonságai, pl. a képek relatív helyzete és nagysága nem az optikai rendszerek különleges tulajdonságai, hanem a képpontokban lévő tér összes pontjának reprodukciójára vonatkozó feltételezés (Abbé-nként) szükséges következményei, és függetlenek a reprodukció módjától. Ezek a szerzők azonban megmutatták, hogy egyetlen optikai rendszer sem igazolhatja ezeket a feltételezéseket, mivel ellentmondanak a reflexió és a fénytörés alapvető törvényeinek. Következésképpen a Gauss-elmélet csak a valóság közelítésének kényelmes módszerét nyújtja; a reális optikai rendszerek elmaradnak ettől az elérhetetlen ideáltól. Jelenleg csak egyetlen sík kivetítését lehet elérni egy másik síkra; de még ebben is mindig előfordulnak aberrációk, és valószínűtlen, hogy ezeket valaha is teljesen kijavítják.

axiális pontok aberrációja (gömb alakú aberráció korlátozott értelemben)Szerkesztés

ábra 1

legyen S (ábra. 1) legyen bármilyen optikai rendszer, az O tengelypontból U1 szög alatt érkező sugarak egyesülnek az O ‘ 1 tengelypontban; és az u2 szög alatt, az O ‘ 2 tengelypontban. Ha egy kollektív gömbfelületen vagy egy vékony pozitív lencsén keresztül van fénytörés, O ‘2 az O’1 előtt fekszik, mindaddig, amíg az u2 szög nagyobb, mint u1 (korrekció alatt); és fordítva diszperzív felülettel vagy lencsékkel (túlkorrekció). A maró az első esetben a > jelre hasonlít (nagyobb, mint); a másodikban < (kevesebb, mint). Ha az u1 szög nagyon kicsi, akkor O’1 A Gauss-kép; az O’1 O’ 2 pedig a hosszanti aberráció, az O ‘ 1R pedig az U2 rekesznyílású ceruzák oldalirányú aberrációja. Ha az u2 szögű ceruza az összes továbbított ceruza maximális aberrációjának felel meg, akkor az O’1 tengelyére merőleges síkban van egy O’1R sugarú kör alakú összetéveszthető korong, és egy párhuzamos síkban O’ 2-nél egy másik o ‘ 2R2 sugarú; e kettő között található a legkisebb összetéveszthető korong.

az O reprodukciójában részt vevő ceruzák legnagyobb nyílását, azaz az u szöget általában az egyik lencse margója vagy a rendszer lencséi között, előtt vagy mögött elhelyezett vékony lemezen lévő lyuk határozza meg. Ezt a lyukat ütközőnek vagy membránnak nevezik; Abbe a rekesznyílás-ütköző kifejezést használta mind a lyuk, mind a lencse korlátozó margójára. A rendszer S1 komponense, amely a rekesznyílás ütközője és az O objektum között helyezkedik el, a membrán képét vetíti ki, amelyet Abbe a bejárati tanuló; a kilépő pupilla az S komponens által alkotott kép2, amely a rekesznyílás ütközője mögött helyezkedik el. Az O-ból sugárzó és a rekesznyíláson áthaladó sugarak a be-és kilépő pupillákon is áthaladnak, mivel ezek a rekesznyílás-megálló képei. Mivel az O-ból kibocsátott ceruzák maximális nyílása a bejárati pupilla által ezen a ponton alárendelt u szög, az aberráció nagyságát a bejárati pupilla helyzete és átmérője határozza meg. Ha a rendszer teljesen a rekesz ütközője mögött van, akkor ez maga a bejárati pupilla (elülső ütköző); ha teljesen elöl, akkor a kilépő pupilla (hátsó ütköző).

ha a tárgypont végtelenül távoli, akkor a rendszer első tagja által kapott összes sugár párhuzamos, és metszéspontjaik a rendszeren való áthaladás után a merőleges beesési magasságuk, azaz a tengelytől való távolságuk szerint változnak. Ez a távolság helyettesíti az u szöget az előző megfontolásokban; és a nyílás, azaz a bejárati pupilla sugara a maximális értéke.

aberráció elemek, azaz a legkisebb tárgyak derékszögben a tengelyszerkesztés

ha sugarak kibocsátó O (ábra. 1) párhuzamosak, ebből nem következik, hogy az O-nál a tengelyre merőleges sík egy részének pontjai szintén párhuzamosak lesznek, még akkor is, ha a sík része nagyon kicsi. A lencse átmérőjének növekedésével (azaz a rekesznyílás növekedésével) a szomszédos N pont reprodukálódik, de az ON-hoz hasonló nagyságrendű aberrációk vesznek részt. Ezek az aberrációk elkerülhetők, ha Abbe szerint a szinusz állapot, sin u ‘1/sin u1=sin u’2 / sin u2, az O pontot reprodukáló összes sugárra érvényes. Ha az O objektumpont végtelenül távoli, u1 és u2 helyébe H1 és h2 lép, a merőleges beesési magasság; a szinuszállapot ezután sin u’1/h1=sin u’2/h2 lesz. Az ezt a feltételt teljesítő, gömb alakú aberrációtól mentes rendszert aplanatikusnak (görögül a-, privatív, plann, vándorlás) nevezzük. Ezt a szót először Robert Blair használta a felsőbbrendű akromatizmus jellemzésére, majd ezt követően sok író a gömb alakú aberrációtól való szabadságot is jelölte.

mivel az aberráció a sugárnak a lencse középpontjától való távolságával növekszik, az aberráció növekszik a lencse átmérőjének növekedésével (vagy ennek megfelelően a rekesz átmérőjével), és ezért minimalizálható a rekesz csökkentésével, a képsíkot elérő fény mennyiségének csökkentésével is.

az oldalsó tárgypontok (a tengelyen túli pontok) aberrációja keskeny ceruzákkal — astigmatismEdit

fő cikk: asztigmatizmus (optikai rendszerek)

a szem asztigmatizmusáról lásd: asztigmatizmus.

ábra 2

egy O pont (ábra. 2) a tengelytől véges távolságban (vagy egy végtelenül távoli tárgynál egy olyan pont, amely véges szöget zár be a rendszerben) általában akkor sem reprodukálódik élesen, ha a belőle kilépő és a rendszeren áthaladó sugarak ceruzáját végtelenül keskenyebbé teszik a nyílásütköző csökkentésével; egy ilyen ceruza olyan sugarakból áll, amelyek a tárgypontból áthaladhatnak a most végtelenül kicsi bejárati pupillán. Látható (figyelmen kívül hagyva a kivételes eseteket), hogy a ceruza derékszögben nem felel meg a refraktáló vagy visszaverő felületnek; ezért asztigmatikus (Gr. a -, privát, stigmia, egy pont). A bejárati pupillán áthaladó központi sugarat a ceruza vagy a fő sugár tengelyének nevezve elmondható: a ceruza sugarai nem egy pontban, hanem két fókuszvonalban keresztezik egymást, amelyekről feltételezhető, hogy derékszögben vannak a fő sugárral; ezek közül az egyik a fő sugarat és a rendszer tengelyét tartalmazó síkban fekszik, azaz. az első főszakaszban vagy meridionális szakaszban, a másik pedig derékszögben, azaz a második főszakaszban vagy a szagittális szakaszban. Ezért a rendszer mögött egyetlen elfogó síkban sem kapunk, mint például egy fókuszáló képernyő, az objektumpont képe; másrészt mindkét síkban külön-külön O’ és O” vonalak alakulnak ki (a szomszédos síkokban ellipszisek alakulnak ki), az O’ és O ” közötti síkban pedig a legkisebb zavart kör. Az intervallum O ‘O”, amelyet asztigmatikus különbségnek neveznek, általában növekszik a szöggel W amelyet a fő sugár készít OP a rendszer tengelyével, azaz a látómezővel. Két asztigmatikus képfelület egy tárgysíknak felel meg; ezek a tengelypontban érintkeznek; az egyiken az első típusú fókuszvonalak, a másikon a második. Azokat a rendszereket, amelyekben a két asztigmatikus felület egybeesik, anasztigmatikusnak vagy stigmatikusnak nevezzük.

Sir Isaac Newton valószínűleg az asztigmáció felfedezője volt; az asztigmatikus képvonalak helyzetét Thomas Young határozta meg, az elméletet pedig Allvar Gullstrand dolgozta ki. P. culmann bibliográfiája itt található Moritz von Rohr ‘ s Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten.

az oldalirányú tárgypontok aberrációja széles ceruzákkal — comaEdit

az ütköző szélesebbre nyitásával hasonló eltérések merülnek fel az oldalirányú pontoknál, amint azt az axiális pontoknál már tárgyaltuk; de ebben az esetben sokkal bonyolultabbak. A meridionális szakaszban a sugarak iránya már nem szimmetrikus a ceruza fő sugarával; és egy elfogó síkon fényes pont helyett egy fényfolt jelenik meg, amely nem szimmetrikus egy pont körül, és gyakran hasonlít egy üstökösre, amelynek farka a tengely felé vagy attól távol van. Ebből a megjelenésből veszi a nevét. A meridionális ceruza szimmetrikus formája-korábban az egyetlen, amelyet figyelembe vettek-csak a szűkebb értelemben vett kóma; a kóma egyéb hibáit Arthur K. Adapnig és Moritz von Rohr, majd később Allvar Gullstrand kezelte.

a képmező Görbületeszerkesztés

fő cikk: Petzval mező görbülete

ha a fenti hibákat kiküszöböljük, a két asztigmatikus felület egyesül, és egy éles képet kapunk széles rekesznyílással—továbbra is szükség van a képfelület görbületének kijavítására, különösen akkor, ha a képet sík felületen kell fogadni, pl. fényképezés. A legtöbb esetben a felület homorú a rendszer felé.

a kép Torzításaszerkesztés

Fig. 3a: hordó torzítás

Fig. 3B: Tűpárna torzítás

még akkor is, ha a kép éles, torzulhat az ideális lyukvetítéshez képest. Ban ben lyukvetítés, egy tárgy nagyítása fordítottan arányos a kamerától való távolságával az optikai tengely mentén, így a közvetlenül egy sík felületre mutató kamera reprodukálja ezt a sík felületet. A torzítás úgy tekinthető, mint a kép nem egyenletes nyújtása, vagy ezzel egyenértékű módon a nagyítás variációja a mezőn. Míg a ” torzítás “magában foglalhatja a kép önkényes deformációját, a hagyományos képalkotó optika által előidézett leghangsúlyosabb torzítási módok a” hordótorzítás”, amelyben a kép középpontja nagyobb, mint a kerület (3A.ábra). A fordított, amelyben a kerület nagyobb, mint a központ, “tűpárna torzítás” néven ismert (3B ábra). Ezt a hatást objektívtorzulásnak vagy képtorzulásnak nevezzük, és vannak algoritmusok a kijavítására.

a torzításmentes rendszereket ortoszkóposnak (orthos, right, skopein to look) vagy egyenes vonalúnak (egyenes vonalak) nevezzük.

ábra 4

ez az aberráció meglehetősen különbözik a reprodukció élességétől; éles, reprodukcióban a torzítás kérdése akkor merül fel, ha az ábrán csak a tárgy egyes részei ismerhetők fel. Ha egy nem éles képen egy fényfolt egy tárgypontnak felel meg, akkor a folt súlypontja képpontnak tekinthető, ez az a pont, ahol a képet fogadó sík, például egy fókuszáló képernyő keresztezi a stop közepén áthaladó sugarat. Ez a feltételezés akkor indokolt, ha a fókuszáló képernyőn a gyenge kép álló helyzetben marad, amikor a rekesz csökken; a gyakorlatban ez általában előfordul. Ez a sugár, amelyet Abbe fő sugárnak nevezett el (nem tévesztendő össze a Gauss-elmélet fő sugaraival), áthalad a bejárati pupilla közepén az első fénytörés előtt, a kilépő pupilla közepén pedig az utolsó fénytörés után. Ebből következik, hogy a rajz helyessége kizárólag a fő sugaraktól függ, és független a képmező élességétől vagy görbületétől. Hivatkozás ábra. 4, van O ‘Q’ / OQ = a ‘tan w’ /A tan w = 1 / N, ahol N A kép skálája vagy nagyítása. Ahhoz, hogy N állandó legyen a w összes értékére, a’tan w’ /A tan w is állandónak kell lennie. Ha az arány a’/a kellően állandó, mint gyakran előfordul, a fenti összefüggés a levegős állapotra redukálódik, azaz tan w’/ tan w= állandó. Ez az egyszerű kapcsolat (Lásd Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) minden olyan rendszerben teljesül, amely szimmetrikus a membránjához képest (röviden szimmetrikus vagy holoszimmetrikus célok), vagy amelyek két hasonló, de különböző méretű komponensből állnak, amelyeket a membránból méretük arányában helyeznek el, és ugyanazt a görbületet mutatják (félszimmetrikus célok); ezekben a rendszerekben tan w’ / tan w = 1.

R. H. Bow (Brit. Utazás. Fotó., 1861) és Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); O. Lummer és M. von Rohr (Zeit. F. Instrumentenk., 1897., 17. és 1898., 18., 4. o.). Megköveteli, hogy a rekesznyílás közepét a be-és kilépő pupillák közepén reprodukálják gömb alakú aberráció nélkül. M. von Rohr megmutatta, hogy azoknál a rendszereknél, amelyek nem teljesítik sem az Airy, sem a Bow-Sutton feltételt, az a’ cos w’/A tan w arány állandó lesz a tárgy egy távolságára. Ezt a kombinált feltételt pontosan teljesítik az 1-es skálával reprodukáló holoszimmetrikus célok, valamint a félszimmetrikus, ha a reprodukció skálája megegyezik a két komponens méretének arányával.

az aberrációk Zernike modellje

az aberrációkhoz kapcsolódó kör alakú hullámfront profilok matematikailag modellezhetők Zernike polinomok segítségével. Által kifejlesztett Frits Zernike az 1930-as években Zernike polinomjai ortogonálisak az egység sugarú kör felett. Egy komplex, aberrált hullámfront profil görbével felszerelhető Zernike polinomok hogy olyan illesztési együtthatókat kapjunk, amelyek külön-külön képviselik a különböző típusú aberrációkat. Ezek a Zernike-együtthatók lineárisan függetlenek, így a teljes hullámfront egyedi aberrációs hozzájárulásai elkülöníthetők és külön-külön számszerűsíthetők.

vannak páros és páratlan Zernike polinomok. A páros Zernike-polinomok definíciója:

z n m ( fő , fő ) = R n m ( fő, fő ) cos ( fő, fő ) {\displaystyle Z_{n}^{fő, fő, fő )=R_{n}^{Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő, Fő!}

$Z_{n}^{{m}} (\rho, \ phi )=R_{n}^{m} (\rho)\,\cos(m\, \phi)\!$

és a páratlan Zernike − polinomok , mint

z n-m ( fő, fő ) = R n m ( fő, fő ) sin ( fő), {\displaystyle Z_{n}^{- m}(\rho, \phi )=R_{n}^{m}(\rho)\, \sin(fő,\phi),\!}

$Z_{n}^{{- m}} (\rho, \ phi )=R_{n}^{m} (\rho )\, \ sin (m\, \phi),\!$

ahol m és n nemnegatív egész számok n-vel \ m {\displaystyle n \ geq m}

$N \ geq m$

, az azimutális szög radiánban, a normalizált radiális távolság pedig az azimutális szög. Az R n m {\displaystyle R_{n}^{m}}

$R_{n}^{m}$

radiális polinomoknak nincs azimutális függőségük, és meghatározásuk: r n m ( fő) = fő ( fő) K = 0 (fő) / 2 ( fő) 1) k (fő)! k ! ((n + m) / 2-k)! ((n-m) / 2-k)! ha n − m páros {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\ sum _ {k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!{k!\, ((n+m)/2-k)!\, ((n-m)/2-k)!}}\; \ rho ^{n-2\, k} \ quad {\mbox{if }}n-m {\mbox{ páros}}}

$R_{n}^{m} (\rho)=\!\ sum _ {{k=0}}^{{(n-m)/2}}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!{k!\, ((n+m)/2-k)!\, ((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{{n-2\, k}} \ quad {\mbox{if }}n-m {\mbox{ páros}}$

és R n m ( ++ ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m} (\rho )=0}

$R_{n}^{m} (\rho) =0$

ha n − m {\displaystyle n-m}

$n-m$

páratlan.

az első néhány Zernike polinom, szorozva a megfelelő illesztési együtthatókkal, a következők:

a 0 6 {\displaystyle a_{0} \ alkalommal 1} $a_{0} \ alkalommal 1$	“dugattyú”, egyenlő a hullámfront középértékével
a 1 (1) cos (1) {\displaystyle a_ {1}\times \Rho \cos (\phi )} $a_{1} \ times \ rho \ cos (\phi )$	“X-Tilt”, a teljes gerenda eltérése sagittális irányban
a 2-es számú sin (0) {\displaystyle a_ {2}\times \Rho \sin (\phi )} $a_{2} \ times \ rho \ sin (\phi )$	“Y-Tilt”, a teljes gerenda eltérése tangenciális irányban
a 3 ( 2 6-1) {\displaystyle a_ {3}\alkalommal (2 \ rho ^{2}-1)} $a_{3}\alkalommal (2 \ rho ^{2}-1)$	“Defocus”, egy parabolikus hullámfront, amely a fókuszon kívül esik
a 4 ( 2) cos (2) cos (2) {\displaystyle a_{4}\times \Rho ^{2}\cos (2\phi )} $a_{4}\times \rho ^{2}\cos(2 \ phi )$	“0° asztigmatizmus”, henger alakú az X vagy Y tengely mentén
5 db 2 sin 6 ( 2) {\displaystyle a_{5} \ times \ rho ^{2} \ sin(2 \ phi )} $a_{5}\times \rho ^{2}\sin(2 \ phi )$	“45° asztigmatizmus”, hengeres alak, amely az X tengelytől 45-re van orientálva
a 6 ( 3 ) 2 − 2) (3) cos (6) {\displaystyle a_{6}\alkalommal (3\rho ^{2}-2)\rho \cos (\phi )} $a_{6}\alkalommal (3\rho ^{2}-2) \ rho \ cos (\phi )$	“X-Coma”, a vízszintes irányban fáklyázó komatikus kép
a 7 ( 3 ( 2) − 2) – sin (0) – sin (7) {\displaystyle a_{7}\ – szor (3 \ rho ^{2}-2) \ rho \ sin (\phi )} $a_{7}\alkalommal (3\rho ^{2}-2) \ rho \ sin (\phi )$	“Y-kóma”, a függőleges irányban fáklyázó komatikus kép
a 8 − szor ( 6-6-6-2 + 1) {\displaystyle a_{8} \ – szor (6 \ rho ^{4}-6 \ rho ^{2}+1)} $a_{8} \ alkalommal (6 \ rho ^{4}-6 \ rho ^{2}+1)$	“harmadik rendű gömb aberráció”

ahol {\displaystyle \ rho }

$\rho$

a pupilla normalizált sugara 0 db 1 {\displaystyle 0 \ leq \ Rho \ leq 1}

$0\leq \rho \leq 1$

, \{\displaystyle\phi }

$\phi$

a pupilla körüli azimutális szög , ahol a pupilla körül 0 6 0 Kb {\displaystyle 0 \leq \Phi\leq 2\pi }

$0 \leq \Phi\leq 2\pi$

és az illesztési együtthatók a 0 , … , a 8 {\displaystyle a_{0}, \ ldots ,a_{8}}

$a_{0}, \ ldots, a_{8}$

a hullámhossz hullámfront hibái.

a szinuszokat és koszinuszokat használó Fourier-szintézishez hasonlóan egy hullámfront tökéletesen ábrázolható egy kellően nagy számú magasabb rendű Zernike-polinommal. A nagyon meredek gradiensekkel vagy nagyon magas térbeli frekvenciaszerkezettel rendelkező hullámfrontokat, például légköri turbulencia vagy aerodinamikai áramlásmezők révén történő terjedéssel, azonban a Zernike polinomok nem jól modellezik, amelyek hajlamosak aluláteresztő szűrő finom térbeli meghatározása a hullámfrontban. Ebben az esetben más illesztési módszerek, például fraktálok vagy egyes értékbontás jobb illesztési eredményeket hozhatnak.

a körpolinomokat Frits Zernike vezette be egy aberrált optikai rendszer pontképének értékelésére, figyelembe véve a diffrakció hatásait. A tökéletes pontképet diffrakció jelenlétében Airy már 1835-ben leírta. Csaknem száz évbe telt, mire az aberrált rendszerek (Zernike és Nijboer) pontképének átfogó elméletét és modellezését kidolgozták. Nijboer és Zernike elemzése az optimális fókuszsíkhoz közeli intenzitáseloszlást írja le. A közelmúltban kifejlesztettek egy kiterjesztett elméletet, amely lehetővé teszi a pontkép amplitúdójának és intenzitásának kiszámítását egy sokkal nagyobb térfogaton a fókusz régióban (kiterjesztett Nijboer-Zernike elmélet). Ez a kiterjesztett Nijboer-Zernike-elmélet a pontkép vagy a’ pont-szórás függvény ‘ kialakulásáról alkalmazást talált a képképződés általános kutatásában, különösen a nagy numerikus apertúrájú rendszerek esetében, valamint az optikai rendszerek aberrációik szempontjából történő jellemzésében.