astronomen Galileo Galilei skrev i sin Il Saggiatore, at ” er skrevet på matematikens sprog, og dets tegn er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer.”Kunstnere, der stræber efter og søger at studere naturen, skal først efter Galileos opfattelse fuldt ud forstå matematik. Matematikere har omvendt forsøgt at fortolke og analysere kunst gennem linsen af geometri og rationalitet. Matematikeren Felipe Cucker antyder, at matematik, og især geometri, er en kilde til Regler for “regeldrevet kunstnerisk skabelse”, men ikke den eneste. Nogle af de mange tråde af det resulterende komplekse forhold er beskrevet nedenfor.
matematik som kunstrediger
matematikeren Jerry P. King beskriver matematik som en kunst og siger, at “nøglerne til matematik er skønhed og elegance og ikke sløvhed og teknik”, og at skønhed er den motiverende kraft for matematisk forskning. King citerer matematikeren G. H. Hardys essay fra 1940 en matematikers undskyldning. I den diskuterer Hardy, hvorfor han finder to sætninger fra klassisk tid som første sats, nemlig Euclids bevis, der er uendeligt mange primtal, og beviset for, at kvadratroden af 2 er irrationel. King vurderer denne sidste mod Hardys kriterier for matematisk elegance: “Alvor, dybde, generalitet, uventet, uundgåelighed og økonomi” (Kongens kursiv) og beskriver beviset som “æstetisk tiltalende”. Den ungarske matematiker Paul Erd Kriss var enig i, at matematik besad skønhed, men overvejede årsagerne uden forklaring: “hvorfor er tal smukke? Det er som at spørge, Hvorfor er Beethovens niende symfoni smuk. Hvis du ikke kan se hvorfor, kan nogen ikke fortælle dig det. Jeg ved, at tallene er smukke.”
matematiske værktøjer til artEdit
matematik kan skelnes inden for mange af kunstene, såsom musik, dans, maleri, arkitektur og skulptur. Hver af disse er rigt forbundet med matematik. Blandt forbindelserne til billedkunst, matematik kan give værktøjer til kunstnere, såsom reglerne for lineært perspektiv som beskrevet af Brook Taylor og Johann Lambert, eller metoderne til beskrivende geometri, nu anvendt i programmelmodellering af faste stoffer, dating tilbage til Albrecht D Larrrer og Gaspard Monge. Kunstnere fra Luca Pacioli i middelalderen og Leonardo da Vinci og Albrecht D. lurer i renæssancen har gjort brug af og udviklet matematiske ideer i forfølgelsen af deres kunstneriske arbejde. Brugen af perspektiv begyndte på trods af nogle embryonale anvendelser i arkitekturen i det antikke Grækenland med italienske malere som f.eks Giotto i det 13. århundrede; regler som f. eks forsvindingspunktet blev først formuleret af Brunelleschi omkring 1413, hvor hans teori påvirkede Leonardo og D kurrer. Hans arbejde med det optiske spektrum påvirkede Goethes teori om farver og til gengæld kunstnere som Philipp Otto Runge, J. M. V. Turner, Pre-Raphaelitterne og Kandinsky. Kunstnere kan også vælge at analysere symmetrien i en scene. Værktøjer kan anvendes af matematikere, der udforsker kunst, eller kunstnere inspireret af matematik, såsom M. C. Escher og arkitekten Frank Gehry, der mere ihærdigt argumenterede for, at computerstøttet design gjorde det muligt for ham at udtrykke sig på en helt ny måde.
Han hævder, at matematiske objekter, der kan konstrueres, kan ses enten “som processer til simulering af fænomener” eller som værker af “computerkunst”. Han mener karakteren af matematisk tanke, observere, at fraktaler var kendt for matematikere i et århundrede, før de blev anerkendt som sådan. Det er hensigtsmæssigt at underkaste matematiske objekter enhver metode, der anvendes til at “komme overens med kulturelle artefakter som kunst, spændingen mellem objektivitet og subjektivitet, deres metaforiske betydninger og karakteren af repræsentative systemer.”Han giver som tilfælde et billede fra Mandelbrot-sættet, et billede genereret af en cellulær automatalgoritme og et computergengivet billede og diskuterer med henvisning til Turing-testen, om algoritmiske produkter kan være kunst. Sasho Kalajdskijs matematik og kunst: En introduktion til visuel matematik tager en lignende tilgang og ser på passende visuelle matematikemner som fliser, fraktaler og hyperbolsk geometri.
nogle af de første computerkunstværker blev skabt af Desmond Paul Henrys “tegnemaskine 1”, en analog maskine baseret på en bombsight-computer og udstillet i 1962. Maskinen var i stand til at skabe komplekse, abstrakte, asymmetriske, krøllede, men gentagne stregtegninger. For nylig har Hamid Naderi Yeganeh skabt former, der tyder på virkelige verdensobjekter som fisk og fugle, ved hjælp af formler, der successivt varieres for at tegne familier af kurver eller vinklede linjer. Kunstnere som Mikael Hvidtfeldt Christensen skaber værker af generativ eller algoritmisk kunst ved at skrive manuskripter til et system som struktur Synth: kunstneren dirigerer effektivt systemet til at anvende en ønsket kombination af matematiske operationer på et valgt datasæt.
-
matematisk skulptur af Bathsheba Grossman, 2007
-
fraktal skulptur: 3D Fraktal 03 / H / dd af Hartmut Skerbisch, 2003
-
Fibonacci ord: detalje af illustrationer af Samuel Monnier, 2009
-
Computer kunst billede produceret af Desmond Paul Henrys “Tegning Machine 1”, udstillet 1962
-
en fugl i Flugt, af Hamid Naderi Yeganeh, 2016, konstrueret med en familie af matematiske kurver.
fra matematik til kunstrediger
matematikeren og den teoretiske fysiker Henri Poincar Kristians videnskab og hypotese blev bredt læst af kubisterne, herunder Pablo Picasso og Jean Metsinger. Da han var grundigt fortrolig med Bernhard Riemanns arbejde med ikke-euklidisk geometri, var Poincar Kristian mere end klar over, at euklidisk geometri kun er en af mange mulige geometriske konfigurationer snarere end som en absolut objektiv sandhed. Den mulige eksistens af en fjerde dimension inspirerede kunstnere til at stille spørgsmålstegn ved klassisk Renæssanceperspektiv: ikke-euklidisk geometri blev et gyldigt alternativ. Konceptet om, at maleri kunne udtrykkes matematisk, i farve og form, bidrog til Kubismen, den kunstbevægelse, der førte til abstrakt kunst. I 1910 skrev han, at: “udstikker et frit, mobilt perspektiv, hvorfra den geniale matematiker Maurice Princet har udledt en hel geometri”. Senere skrev Metsinger i sine memoarer:
Maurice Princet sluttede sig ofte til os … det var som kunstner, at han konceptualiserede matematik, som æstetiker, at han påberåbte sig n-dimensionelle kontinuum. Han elskede at få kunstnerne interesseret i de nye synspunkter på rummet, der var blevet åbnet af Schlegel og nogle andre. Det lykkedes ham.
impulsen til at lave undervisnings-eller forskningsmodeller af matematiske former skaber naturligvis objekter, der har symmetrier og overraskende eller behagelige former. Nogle af disse har inspireret kunstnere som Dadaisterne Man Ray, Marcel Duchamp og maks Ernst, og efter Man Ray, Hiroshi Sugimoto.
Man Ray fotograferede nogle af de matematiske modeller i Institut Henri Poincar i Paris, herunder Objet matematik (matematisk objekt). Han bemærkede, at dette repræsenterede Enneper overflader med konstant negativ krumning, afledt af pseudosfæren. Dette matematiske fundament var vigtigt for ham, da det gjorde det muligt for ham at benægte, at objektet var “abstrakt”, i stedet for at hævde, at det var lige så reelt som urinalen, som Duchamp lavede til et kunstværk. Man Ray indrømmede, at objektets formel “ikke betød noget for mig, men selve formerne var så varierede og autentiske som enhver i naturen.”Han brugte sine fotografier af de matematiske modeller som tal i hans serie han gjorde på Shakespeares skuespil, såsom hans 1934 maleri Antony og Cleopatra. Kunstreporteren Jonathan Keats, skriver ind ForbesLife, argumenterer for, at man Ray fotograferede “de elliptiske paraboloider og koniske punkter i det samme sensuelle lys som hans billeder af Kiki de Montparnasse”, og “genialt genbruger de seje beregninger af matematik for at afsløre begærets topologi”. Det tyvende århundrede billedhuggere som Henry Moore, Barbara og Naum Gabo tog inspiration fra matematiske modeller. Moore skrev om sin 1938 strengede mor og barn: “uden tvivl var kilden til mine strengede figurer Videnskabsmuseet … Jeg var fascineret af de matematiske modeller, jeg så der … Det var ikke den videnskabelige undersøgelse af disse modeller, men evnen til at se gennem strengene som med et fuglebur og se en form inden i en anden, der begejstrede mig.”
kunstnerne Theo van Doesburg og Piet Mondrian grundlagde De Stijl-bevægelsen, som de ønskede at “etablere et visuelt ordforråd bestående af elementære geometriske former, der er forståelige af alle og tilpasses enhver disciplin”. Mange af deres kunstværker består synligt af styrede firkanter og trekanter, nogle gange også med cirkler. De Stijl kunstnere arbejdede inden for maleri, møbler, indretning og arkitektur. Efter opløsningen af De Stijl grundlagde Van Doesburg avantgarde Kunstbetonbevægelse, der beskriver hans aritmetiske komposition 1929-1930, en serie på fire sorte firkanter på diagonalen af en firkantet baggrund, som “en struktur, der kan styres, en bestemt overflade uden tilfældige elementer eller individuel caprice”, men alligevel “mangler ikke ånd, mangler ikke det universelle og ikke … tom, da der er alt, der passer til den indre rytme”. Kunstkritikeren Gladys Fabre bemærker, at der er to fremskridt i maleriet, nemlig de voksende sorte firkanter og de skiftende baggrunde.
matematikken i tessellation, polyhedra, formning af rummet og selvreference gav grafikeren M. C. Escher (1898-1972) en levetid på materialer til hans træsnit. I Alhambra-skitsen viste Escher, at kunst kan oprettes med polygoner eller regelmæssige former såsom trekanter, firkanter og sekskanter. Escher brugte uregelmæssige polygoner ved flisebelægning af flyet og brugte ofte refleksioner, gliderefleksioner og oversættelser for at opnå yderligere mønstre. Mange af hans værker indeholder umulige konstruktioner, lavet ved hjælp af geometriske objekter, der skaber en modsigelse mellem perspektivprojektion og tre dimensioner, men er behagelige for det menneskelige syn. Eschers stigende og faldende er baseret på den “umulige trappe” skabt af den medicinske videnskabsmand Lionel Penrose og hans søn matematikeren Roger Penrose.
nogle af Eschers mange tessellationstegninger blev inspireret af samtaler med matematikeren Hsm om hyperbolsk geometri. Escher var især interesseret i fem specifikke polyeder, der vises mange gange i hans arbejde. De platoniske faste stoffer-tetraeder, terninger, oktaeder, dodecahedronerog icosahedroner—er især fremtrædende i orden og kaos og fire regelmæssige faste stoffer. Disse stellerede figurer ligger ofte inden for en anden figur, som yderligere fordrejer synsvinklen og konformationen af polyhedronerne og giver et mangesidet perspektivkunstværk.
den visuelle intricacy af matematiske strukturer som tessellations og polyhedra har inspireret en række matematiske kunstværker. Hart arbejder på teorien om polyhedra og sculpts objekter inspireret af dem; Magnus Vinninger gør “særligt smukke” modeller af komplekse stellated polyhedra.
de forvrængede perspektiver af anamorfose er blevet udforsket i kunsten siden det sekstende århundrede, da Hans Holbein den yngre indarbejdede en alvorligt forvrænget kranium i sit maleri ambassadørerne fra 1533. Mange kunstnere siden da, inklusive Escher, har gjort brug af anamorfe tricks.
topologiens matematik har inspireret flere kunstnere i moderne tid. Billedhuggeren John Robinson (1935-2007) skabte værker som Gordian Knot og bånd af venskab, der viser knude teori i poleret bronse. Andre værker af Robinson udforsker torusernes topologi. Genesis er baseret på borromeanske ringe – et sæt af tre cirkler, hvoraf ikke to forbinder, men hvor hele strukturen ikke kan adskilles uden at bryde. Billedhuggeren Helaman Ferguson skaber komplekse overflader og andre topologiske genstande. Hans værker er visuelle repræsentationer af matematiske objekter; den ottefoldige måde er baseret på den projektive specielle lineære gruppe PSL(2,7), en endelig gruppe på 168 elementer. Billedhuggeren Bathsheba Grossman baserer ligeledes sit arbejde på matematiske strukturer. Kunstneren Nelson Saiers inkorporerer matematiske begreber og teoremer i sin kunst fra toposer og ordninger til de fire farver sætning og irrationalitet af Kristus.
et liberalt kunstundersøgelsesprojekt undersøger sammenhænge mellem matematik og kunst gennem M.
matematiske objekter, herunder Lorens manifold og det hyperbolske plan, er blevet udformet ved hjælp af fiberkunst inklusive hækling. Den amerikanske væver ada skrev en 1949 monografi algebraiske udtryk i håndvævede tekstiler, der definerer vævemønstre baseret på udvidelsen af multivariate polynomer. Matematikeren Daina Taimi Kurra demonstrerede træk ved det hyperbolske plan ved hækling i 2001. Dette førte Margaret og Christine til at hækle et koralrev, der består af mange havdyr som nudibranchs, hvis former er baseret på hyperbolske fly. Matematikeren J. C. P. Miller brugte rule 90 cellulær automat til at designe gobeliner, der skildrer både træer og abstrakte mønstre af trekanter. “Mathekniticians” Pat Ashforth og Steve Plummer bruger strikkede versioner af matematiske objekter som f.eks. Deres” mathghans ” (afghanere for skoler) projekt indført strikning i den britiske matematik og teknologi pensum.
-
firedimensionelt rum til Kubisme: Esprit Jouffret ‘ s 1903 trait Pristl pristentaire de g pristom pristrie prisT kvatre dimensioner.
-
De Stijl: Theo van Doesburgs geometriske sammensætning I (stilleben), 1916
-
pædagogik til kunst: Magnus Venninger med nogle af hans stellerede polyeder, 2009
-
Et m Pristbius strip tørklæde i hæklet, 2007
-
Anamorfisme: ambassadørerne af Hans Holbein den yngre, 1533, med alvorligt forvrænget kranium i forgrunden
-
Hæklet koralrev: mange dyr modelleret som hyperbolske fly med forskellige parametre af Margaret og Christine Vartheim. Restauranter i nærheden af f Reef, t Reef, 2013
illustrerende matematikrediger
modellering er langt fra den eneste mulige måde at illustrere matematiske begreber på. Giottos Stefaneschi-Triptykon, 1320, illustrerer rekursion i form af mise en abyme; det centrale panel af triptykonet indeholder nederst til venstre den knælende figur af kardinal Stefaneschi, der holder triptykonet op som et tilbud. Giorgio de Chiricos metafysiske malerier som hans store metafysiske interiør fra 1917 udforsker spørgsmålet om niveauer af repræsentation i kunsten ved at skildre malerier i hans malerier.
kunst kan eksemplificere logiske paradokser, som i nogle malerier af den surrealistiske ren Kurt Magritte, som kan læses som semiotiske vittigheder om forvirring mellem niveauer. I La condition humaine (1933) skildrer Magritte et staffeli (på det rigtige lærred), der problemfrit understøtter en udsigt gennem et vindue, der er indrammet af “rigtige” gardiner i maleriet. Tilsvarende Escher ‘ S Print Gallery (1956) er et tryk, der skildrer en forvrænget by, der indeholder et galleri, der rekursivt indeholder billedet, og så ad infinitum. Magritte brugte kugler og kuboider til at fordreje virkeligheden på en anden måde og malede dem sammen med et udvalg af huse i sin hovedregning fra 1931, som om de var børns byggesten, men husstørrelse. The Guardian bemærkede, at det” uhyggelige legetøjsbybillede “profeterede modernismens usurpation af” hyggelige traditionelle former”, men også spiller med den menneskelige tendens til at søge mønstre i naturen.
Salvadors sidste maleri, Svalens hale (1983), var en del af en serie inspireret af ren Kurt Thoms katastrofeteori. Den spanske maler og billedhugger Pablo Palasuelo (1916-2007) fokuserede på undersøgelsen af formen. Han udviklede en stil, som han beskrev som livets geometri og hele naturens geometri. Bestående af enkle geometriske former med detaljeret mønster og farve, i værker som vinkel i og Automnes, udtrykte han sig i geometriske transformationer.
kunstneren Adrian Gray praktiserer stenbalancering, udnytter friktion og tyngdepunktet til at skabe slående og tilsyneladende umulige kompositioner.
kunstnere tager imidlertid ikke nødvendigvis geometri bogstaveligt. Som Douglas Hofstadter skriver i sin refleksion over menneskelig tanke fra 1980, g Krisdel, Escher, Bach, ved hjælp af (blandt andet) kunstens matematik: “forskellen mellem en Escher-tegning og ikke-euklidisk geometri er, at i sidstnævnte kan forståelige fortolkninger findes for de udefinerede udtryk, hvilket resulterer i et forståeligt totalsystem, hvorimod for førstnævnte er slutresultatet ikke foreneligt med ens opfattelse af verden, uanset hvor længe man stirrer på billederne.”Hofstadter diskuterer det tilsyneladende paradoksale litografiske Printgalleri af M. C. Escher; det skildrer en kystby, der indeholder et kunstgalleri, der ser ud til at indeholde et maleri af kystbyen, der er en “mærkelig løkke, eller sammenfiltret hierarki” til virkelighedsniveauerne i billedet. Kunstneren selv, bemærker Hofstadter, ses ikke; hans virkelighed og hans forhold til litografien er ikke paradoksale. Billedets centrale tomrum har også tiltrukket interesse matematikere Bart de Smit og Hendrik Lenstra, der foreslår, at det kunne indeholde en Droste effekt kopi af sig selv, roteret og skrumpet; dette ville være en yderligere illustration af rekursion ud over det bemærket af Hofstadter.
analyse af kunsthistorieredit
algoritmisk analyse af billeder af kunstværker, for eksempel ved hjælp af røntgenfluorescensspektroskopi, kan afsløre information om kunst. Sådanne teknikker kan afdække billeder i lag af maling, der senere er dækket af en kunstner; hjælpe kunsthistorikere med at visualisere et kunstværk, før det knækkede eller falmede; hjælpe med at fortælle en kopi fra en original eller skelne en mesters penselstrøg fra hans lærlinge.
Jackson Pollocks dryppemaleristil har en bestemt fraktal dimension; blandt de kunstnere, der kan have påvirket Pollocks kontrollerede kaos, maks Ernst malede Lissajous figurer direkte ved at svinge en punkteret spand maling over et lærred.
computerforskeren Neil Dodgson undersøgte, om Bridget Rileys stribemalerier kunne karakteriseres matematisk og konkluderede, at mens separationsafstand kunne “give en vis karakterisering” og global entropi arbejdede på nogle malerier, mislykkedes autokorrelation, da Rileys mønstre var uregelmæssige. Lokal entropi fungerede bedst og korrelerede godt med beskrivelsen givet af kunstkritikeren Robert Kudielka.
Den amerikanske matematiker George Birkhoffs æstetiske mål fra 1933 foreslår en kvantitativ måling af den æstetiske kvalitet af et kunstværk. Det forsøger ikke at måle et værks konnotationer, såsom hvad et maleri kan betyde, men er begrænset til “ordenselementer” i en polygonal figur. Birkhoff kombinerer først (som en sum) fem sådanne elementer: om der er en lodret symmetriakse; om der er optisk ligevægt; hvor mange rotationssymmetrier den har; hvordan tapetlignende figuren er; og om der er utilfredsstillende træk såsom at have to hjørner for tæt sammen. Denne metric, O, tager en værdi mellem -3 og 7. Den anden metric, C, tæller elementer i figuren, som for en polygon er antallet af forskellige lige linjer, der indeholder mindst en af dens sider. Birkhoff definerer derefter sit æstetiske mål for et objekts skønhed som O/C. Dette kan fortolkes som en balance mellem den glæde, der ser på objektet, og den mængde indsats, der er nødvendig for at tage det ind. Birkhoffs forslag er blevet kritiseret på forskellige måder, ikke mindst for at forsøge at sætte skønhed i en formel, men han hævdede aldrig at have gjort det.
Stimuli til matematisk forskningrediger
kunst har undertiden stimuleret udviklingen af matematik, som da Brunelleschis teori om perspektiv inden for arkitektur og maleri startede en forskningscyklus, der førte til Brook Taylor og Johann Heinrich Lamberts arbejde om de matematiske fundamenter for perspektivtegning og i sidste ende til matematikken i Projektiv geometri af Girard Desargues og Jean-Victor Poncelet.
den japanske papirfoldningskunst af origami er blevet omarbejdet matematisk af Tomoko Fus Kurt ved hjælp af moduler, kongruente stykker papir såsom firkanter og gør dem til polyeder eller fliser. Papirfoldning blev brugt i 1893 af T. Sundara Rao i sine geometriske øvelser i papirfoldning for at demonstrere geometriske beviser. Det er en af de mest populære og mest populære måder at gøre dette på.
-
Stimulus til Projektiv geometri: Albertis diagram, der viser en cirkel set i perspektiv som en ellipse. Della Pittura, 1435-6
-
matematisk origami: Spring til handling, af Jeff Beynon, lavet af et enkelt papirrektangel.
Illusion til op artEdit
optiske illusioner som Fraser-spiralen demonstrerer slående begrænsninger i menneskelig visuel opfattelse, skabe det, som kunsthistorikeren Ernst Gombrich kaldte et “forvirrende trick.”De sorte og hvide reb, der ser ud til at danne spiraler, er faktisk koncentriske cirkler. I midten af det tyvende århundrede op kunst eller optisk kunst stil af maleri og grafik udnyttet sådanne effekter til at skabe indtryk af bevægelse og blinkende eller vibrerende mønstre set i værker af kunstnere som Bridget Riley, Spyros Horemis, og Victor Vasarely.
hellig geometryEdit
en kunststreng fra Det antikke Grækenland og fremefter ser Gud som verdens geometer, og verdens geometri derfor som hellig. Troen på, at Gud skabte universet i henhold til en geometrisk plan, har gammel oprindelse. Plutarch tilskrev Platon Troen og skrev, at” Platon sagde, at Gud konstant geometriserer ” (Convivialium disputationum, liber 8,2). Dette billede har påvirket vestlig tanke lige siden. Det platoniske koncept stammer i sin tur fra en Pythagoreansk forestilling om harmoni i musik, hvor noterne var fordelt i perfekte proportioner svarende til længderne på lyrens strenge; faktisk mente pythagoreerne, at alt var arrangeret efter antal. På samme måde dikterer de regelmæssige eller platoniske faste stoffer i Platonisk tanke de proportioner, der findes i naturen og i kunsten. En belysning i kodeksen Vindobonensis fra det 13 .århundrede viser, at Gud tegner universet ud med et par kompasser, der kan henvise til et vers i Det Gamle Testamente: “da han etablerede himlen, var jeg der: da han satte et kompas på dybets overflade” (Ordsprogene 8:27),. I 1596 modellerede den matematiske astronom Johannes Kepler universet som et sæt indlejrede platoniske faste stoffer, der bestemmer de relative størrelser af planeternes baner. Blakes Oldtid af Dage og hans maleri af fysikeren Isaac, nøgen, bøjet og tegning med et kompas, bruger kompassernes symbolik til at kritisere konventionel fornuft og materialisme som snæversynet.Salvador Dal Krists korsfæstelse i 1954 (Corpus Hypercubus) skildrer korset som en hypercube, der repræsenterer det guddommelige perspektiv med fire dimensioner snarere end de sædvanlige tre. I Dalkrurs nadveren den sidste nadver (1955) Kristus og hans disciple er afbildet inde i en kæmpe dodecahedron.
-
Gud geometeret. Vindobonensis, c. 1220
-
skabelsen, med Pantocrator bærende . Bøger af St Louis, ca. 1220-40
-
Johannes Keplers platoniske faste model for planetafstand i solsystemet fra Mysterium Cosmographicum, 1596
-
Blake er den gamle af dage, 1794
-
begivenheder i Blake ‘ s, c. 1800