topologie
5.2. Kompaktní a Perfektní Sady
již Jsme viděli, že všechny otevřené soubory v reálném řádek lze zapsat jako spočetné unie disjunktní otevřené intervaly. Nyní se blíže podíváme na uzavřené sady. Nejdůležitější typ uzavřených sad v reálné řadě se nazývá kompaktní sady:
| definice 5.2.1: Kompaktní Sady | |
| sada S reálných čísel, se nazývá kompaktní, jestliže každá posloupnost v S má podposloupnost, která konverguje k prvku znovu obsažené v S | |
| Příklady 5.2.2: | |
|
|
Je kompaktní interval ? Co takhle, A C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Je C otevřený kryt pro S ? 
= { t 
R: / t – 
/ & lt 
a Zde je charakterizace kompaktních množin pouze na základě otevřené soubory:
| Věta 5.2.6: Heine-Borel Věta | |
sada S reálných čísel je kompaktní tehdy a jen tehdy, pokud každý otevřete kryt C z Y může být snížena na konečných subcovering.
 Důkaz |
|
Kompaktní sady sdílejí mnoho vlastností s konečnými množinami. Pokud jsou například A A B dvě neprázdné sady s 
B, pak a 
B # 0. To je ve skutečnosti pravda i pro finitely mnoho sad, ale neplatí pro nekonečně mnoho sad.
| příklady 5.2.7: | |
|
|
kompaktní sady mají na druhé straně následující pěknou vlastnost, která bude použita v některých z následujících kapitol:
| Návrh 5.2.8: Průsečík Vnořené Kompaktní Sady | |
| Předpokládejme, že { Aj } je kolekce sady taková, že každý Aj non-prázdné, kompaktní, a Aj+1 Aj. Pak A = Aj není prázdný.
Důkaz |
|
Další zajímavé kolekce z uzavřené sady jsou perfektní sad:
| Definice 5.2.9: Perfektní Sada | |
| sada S je ideální, pokud je uzavřený a každý bod S je akumulace bod S. | |
| Příklad 5.2.10: | |
|
|
{0} ? při použití výše uvedeného výsledku uvidíme, že perfektní sady jsou uzavřené sady, které obsahují spoustu bodů:
| propozice 5.2.11: perfektní sady jsou nespočetné | |
| každá neprázdná dokonalá sada musí být nespočetná.
Důkaz |
|
To může přinést rychlý, ale spíše sofistikovaný důkaz toho, že na intervalu je nespočetná: interval je ideální nastavit, proto to musí být nespočet.
dalším, poněkud zvláštním příkladem uzavřené, kompaktní a dokonalé sady je sada Cantor.
| definice 5.2.12: Cantor Polovině Třetí Set | |
Začít s jednotkou intervalu
Odstranit ze to nastavit střední třetině a nastavit
Odstranit ze to nastavit dva prostřední třetiny a nastavit
Pokračovat tímto způsobem, kde
Pak Cantorova množina C je definován jako
|
|
Cantor set dává údaj o složité struktuře uzavřené množiny v reálném line. To má následující vlastnosti:
| Příklad 5.2.13: Vlastnosti Cantor Set | |
|
|
Přemýšlejte o této sadě. Zdá se překvapivé, že
- množina délky nula může obsahovat nespočetně mnoho bodů.
- perfektní sada nemusí obsahovat otevřená množina
Proto, Cantor set ukazuje, že uzavřené podmnožiny reálné osy může být složitější, než intuice se mohlo na první navrhnout. Ve skutečnosti se často používá k konstrukci obtížných, protiintuitivních objektů v analýze.