Topologia
5.2. Zestawy Compact i Perfect
widzieliśmy już, że wszystkie zestawy otwarte w wierszu rzeczywistym mogą być zapisywane jako policzalne połączenie rozłącznych otwartych interwałów. Przyjrzymy się teraz bliżej zamkniętym zestawom. Najważniejszym rodzajem zbiorów zamkniętych w linii rzeczywistej są tzw. zbiory zwarte:
| definicja 5.2.1: Zestawy kompaktowe | |
| zbiór s liczb rzeczywistych nazywa się zwartym, jeśli każdy ciąg w S MA podciągnięcie zbieżne do elementu ponownie zawartego w S. | |
| przykłady 5.2.2: | |
|
|
czy interwał jest zwarty ? A może, i C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Czy C jest otwartą pokrywą dla S ? 
= {t 
R: | t – 
| < 
i oto charakterystyka zbiorów zwartych opartych tylko na zbiorach otwartych:
| twierdzenie 5.2.6: Twierdzenie Heinego-Borela | |
zbiór s liczb rzeczywistych jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każde otwarte pokrycie C S może być zredukowane do skończonego podzbioru.
 dowód |
|
zbiory Zwarte dzielą wiele właściwości ze zbiorami skończonymi. Na przykład, Jeśli a i B są dwoma niepustymi zbiorami z 
B, to A 
B # 0. W rzeczywistości jest to prawdą również dla nieskończenie wielu zbiorów, ale nie jest prawdą dla nieskończenie wielu zbiorów.
| przykłady 5.2.7: | |
|
|
natomiast zestawy kompaktowe mają następującą właściwość nice, która zostanie użyta w niektórych z poniższych rozdziałów:
| propozycja 5.2.8: przecięcie zagnieżdżonych zestawów kompaktowych | |
| Załóżmy, że { AJ } jest zbiorem zbiorów takich, że każde Aj niepuste, zwarte i Aj + 1 Aj. Wtedy A = Aj nie jest pusty.
dowód |
|
kolejną ciekawą kolekcją zamkniętych zestawów są zestawy idealne:
| definicja 5.2.9: idealny zestaw | |
| zbiór S jest idealny, jeśli jest zamknięty i każdy punkt S jest punktem akumulacji S. | |
| przykład 5.2.10: | |
|
|
{0} ? jako zastosowanie powyższego wyniku zobaczymy, że zestawy doskonałe są zbiorami zamkniętymi, które zawierają wiele punktów:
| propozycja 5.2.11: zestawy idealne są niezliczone | |
| każdy niepusty zbiór idealny musi być niepoliczalny.
dowód |
|
może to dać szybki, ale raczej wyrafinowany dowód na to, że interwał jest niezliczalny: interwał jest zbiorem idealnym, dlatego musi być niezliczalny.
innym, dość osobliwym przykładem zamkniętego, zwartego i doskonałego zbioru jest zbiór Cantora.
| definicja 5.2.12: Cantor Middle third Set | |
zacznij od interwału jednostki
Usuń z tego zestawu środkową trzecią i ustaw
Usuń z tego zestawu dwie środkowe trzecie i ustaw
Kontynuuj w ten sposób, gdzie
wtedy zbiór Cantora C jest zdefiniowany jako
|
|
zbiór Cantora wskazuje skomplikowaną strukturę zbiorów zamkniętych w linii rzeczywistej. Posiada następujące właściwości:
| przykład 5.2.13: właściwości zestawu Cantora | |
|
|
pomyśl o tym zestawie. Wydaje się zaskakujące, że
- zbiór o długości zero może zawierać nieskończenie wiele punktów.
- zbiór idealny nie musi zawierać zbioru otwartego
dlatego zbiór Cantora pokazuje, że zamknięte podzbiory linii rzeczywistej mogą być bardziej skomplikowane niż intuicja mogłaby na początku sugerować. W rzeczywistości jest często używany do konstruowania trudnych, kontrintuicyjnych obiektów w analizie.