MathCS.org -Valós Elemzés: 5.2. Kompakt és tökéletes készletek

topológia

5.2. Kompakt és tökéletes halmazok

már láttuk, hogy a valós sorban lévő összes nyitott halmaz felírható diszjunkt nyitott intervallumok megszámlálható uniójaként. Most közelebbről megvizsgáljuk a zárt készleteket. A valós sorban a zárt halmazok legfontosabb típusát kompakt halmazoknak nevezzük:

meghatározás 5.2.1: Kompakt készletek
	a valós számok halmazát nevezzük kompakt ha minden szekvencia ban ben S van egy szekvenciája, amely ismét konvergál egy elemhez S.

példák 5.2.2:

az intervallum kompakt ? Mi a helyzet, és C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. A C nyitott fedél az S számára ?
Legyen S = . Határozza meg a = { t R : | t – | &lt és s} értéket egy fix &gt 0 esetén. Az összes gyűjteménye { }, S, nyitott fedél S számára ? Hány típusú készletre van szükség az S lefedéséhez ?
Legyen S = (0, 1). Adjon meg egy gyűjteményt C = {(1 / j, 1), minden j &gt 0 }. A C nyitott fedél az S számára ? Hány készletre van szükség a C gyűjteményből az S fedezéséhez ?

itt van a kompakt halmazok jellemzése, amely csak nyitott halmazokon alapul:

tétel 5.2.6: Heine-Borel-tétel
	a valós számok halmaza s csak akkor kompakt, ha minden nyitott fedél C nak, – nek s redukálható véges alfedésre. bizonyíték

a kompakt halmazok sok tulajdonsággal rendelkeznek a véges halmazokkal. Például, ha A és B két nem üres halmaz, amelyek B, akkor A B # 0. Ez valójában véges sok halmazra is igaz, de végtelen sok halmazra nem igaz.

példák 5.2.7:
	Tekintsük a gyűjtemény készletek (0, 1 / j) minden j &gt 0. Mi ezeknek a halmazoknak a metszéspontja ? tudsz végtelen sok zárt halmazt találni úgy, hogy metszéspontjuk üres legyen, és hogy mindegyik halmaz az elődjében legyen ? Ez azt jelenti, hogy megtalálod az AJ halmazokat úgy, hogy Aj+1 Aj és aj = 0 ?

a kompakt készletek viszont a következő szép tulajdonsággal rendelkeznek, amelyet a következő fejezetek egy részében használnak:

5.2.8. javaslat: beágyazott kompakt készletek metszéspontja
	tegyük fel, hogy az { Aj } halmazok olyan gyűjteménye, hogy minden Aj nem üres, kompakt, és Aj+1 Aj. Akkor A = Aj nem üres. bizonyíték

a zárt készletek másik érdekes gyűjteménye a tökéletes készlet:

meghatározás 5.2.9: tökéletes készlet
	egy s halmaz akkor tökéletes, ha zárt, és S minden pontja s felhalmozási pontja.

példa 5.2.10:
	Keressen egy tökéletes készletet. Keressen egy zárt készletet, amely nem tökéletes. Keressen egy kompakt készletet, amely nem tökéletes. Keressen egy határtalan zárt készletet, amely nem tökéletes. Keressen egy zárt készletet, amely sem kompakt, sem tökéletes. a készlet {1, 1/2, 1/3, …- tökéletes ? Mi a helyzet a készlet {1, 1/2, 1/3, …} {0} ?

a fenti eredmény alkalmazásaként látni fogjuk, hogy a tökéletes halmazok zárt halmazok, amelyek sok pontot tartalmaznak:

javaslat 5.2.11: a tökéletes készletek megszámlálhatatlanok
	minden nem üres tökéletes készletnek megszámlálhatatlannak kell lennie. bizonyíték

ez gyors, de meglehetősen kifinomult bizonyítékot adhat arra, hogy az intervallum megszámlálhatatlan: az intervallum tökéletes készlet, ezért megszámlálhatatlannak kell lennie.

egy másik, meglehetősen sajátos példa a zárt, kompakt és tökéletes készletre a Cantor készlet.

meghatározás 5.2.12: Cantor középső harmadik szett

Kezdje az egység intervallummal

S0 =

távolítsa el ebből a készletből a középső harmadot, majd állítsa be

S1 = S0 \ (1/3, 2/3)

távolítsa el ebből a készletből a két középső harmadot és állítsa be

S2 = S1 \ { (1/9, 2/9) (7/9, 8/9) }

folytassa így, ahol

Sn + 1 = Sn \ { az SN részintervallumainak középső harmada }

akkor a Cantor halmaz meghatározása

C = Sn

a Cantor készlet jelzi a zárt halmazok bonyolult szerkezetét a valós sorban. A következő tulajdonságokkal rendelkezik:

5.2.13. példa: a Cantor-készlet tulajdonságai
	mutassa meg, hogy a Cantor készlet kompakt (azaz zárt és korlátozott) mutassa meg, hogy a Cantor készlet Tökéletes (és ezért megszámlálhatatlan) mutassuk meg, hogy a Cantor halmaz hossza nulla, de tartalmaz megszámlálhatatlanul sok pontot. mutassa meg, hogy a Cantor készlet nem tartalmaz nyitott készletet

gondolj erre a készletre. Meglepőnek tűnik, hogy

a nulla hosszúságú halmaz megszámlálhatatlanul sok pontot tartalmazhat.
a tökéletes halmaznak nem kell nyílt halmazt tartalmaznia

ezért a Cantor-halmaz azt mutatja, hogy a valós vonal zárt részhalmazai bonyolultabbak lehetnek, mint azt az intuíció először sugallná. Valójában gyakran használják nehéz, ellen-intuitív objektumok elemzésére.

Következő / Előző / Szószedet / Térkép

interaktív valós elemzés

topológia

5.2. Kompakt és tökéletes halmazok

Vélemény, hozzászólás? Kilépés a válaszból

Legutóbbi bejegyzések