Laplaceova Rovnice

skalární formě Laplaceova rovnice je rovnice partialdifferential

(1)

kde je Laplaceova operátoru.

Všimněte si, že operátor je běžně zapsán jako matematiky (Krantz 1999, s. 16). Laplaceova rovnice je zvláštní případ diferenciální rovnice, Helmholtzova

(2)

s , nebo Poissonova rovnice

(3)

s .

vektorová Laplaceova rovnice je dána

(4)

funkce , který splňuje požadavky Laplaceova rovnice je řekl, aby byl harmonický. Řešení Laplaceovy rovnice má tu vlastnost, že průměrná hodnota nad sférickým povrchem se rovná hodnotě ve středu koule (Gaussova věta o harmonické funkci). Řešení nemají lokální maxima ani minima. Protože Laplaceova rovnice je lineární, superpozice libovolných dvou řešení je také řešením.

řešení Laplaceova rovnice je jednoznačně stanoveno, pokud (1) je hodnota funkce je uvedeno na všechny hranice (Dirichletovy hraniční podmínky), nebo (2) normální derivace funkce je uvedeno na všechny hranice (Neumannovy okrajové podmínky).

Coordinate System	Variables	Solution Functions
Cartesian		exponential functions, circular functions, hyperbolic functions
circular cylindrical		Bessel functions, exponential functions, circular functions
conical		ellipsoidal harmonics, power
confocal ellipsoidal		ellipsoidal harmonics of the first kind
elliptic cylindrical		Mathieu function, circular functions
oblate spheroidal		Legendre polynomial, circular functions
parabolic		Bessel functions, circular functions
parabolic cylindrical		parabolic cylinder functions, Bessel functions, kruhové funkce
paraboloidal		kruhové funkce
prolate tvárné		Legendrovy polynom, kruhové funkce
sférické		Legendrovy polynom, síla, kruhová funkce

Laplaceova rovnice lze řešit pomocí separace proměnných, v 11 souřadných systémů, že Helmholtzova diferenciální rovnice může. Forma těchto řešení je shrnuta v tabulce výše. Kromě těchto 11 souřadnicových systémů může být oddělení dosaženo ve dvou dalších souřadnicových systémech zavedením multiplikativního faktoru. V těchto souřadných systémů, oddělené formě je

(5)

a nastavení

(6)

kde jsou faktory měřítka, dává Laplaceova rovnice

(7)

Pokud pravá strana je rovna , kde je konstantní a je libovolná funkce, a pokud

(8)

kde je Stäckel determinant, pak rovnice může být řešena pomocí metody diferenciální rovnice, Helmholtzova. Dva systémy, kde je tento případ jsou bispherical a toroidu, čímž se celkový počet oddělitelné systémy Laplaceova rovnice 13 (Morse a Feshbach 1953, s. 665-666).

v dvourozměrných bipolárních souřadnicích je Laplaceova rovnice oddělitelná, ačkoli Helmholtzova diferenciální rovnice není.

Zwillinger (1997, str. 128) volání

(9)

Laplaceova rovnice.