Równanie Laplace 'a

skalarną formą równania Laplace’ a jest równanie cząstkowe

(1)

gdzie to Laplacian.

zauważ, że operator jest powszechnie zapisywany jako przez matematyków (Krantz 1999, str. 16). Równanie Laplace ’ a jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego Helmholtza

(2)

z , czyli równanie Poissona

(3)

z .

równanie wektora Laplace ’ a jest podane przez

(4)

funkcja spełniająca równanie Laplace ’ a mówi się, że jest harmoniczna. Rozwiązanie równania Laplace ’ a ma tę właściwość, że średnia wartość na powierzchni sferycznej jest równa wartości w środku sfery (twierdzenie Gaussa o funkcji harmonicznej). Rozwiązania nie mają lokalnych maksimów ani minimów. Ponieważ równanie Laplace ’ a jest liniowe, superpozycja dowolnych dwóch rozwiązań jest również rozwiązaniem.

rozwiązanie równania Laplace ’ a jest jednoznacznie określone, Jeśli (1) wartość funkcji jest określona na wszystkich granicach (warunki brzegowe Dirichleta) lub (2) normalna pochodna funkcji jest określona na wszystkich granicach (warunki brzegowe Neumanna).

Coordinate System	Variables	Solution Functions
Cartesian		exponential functions, circular functions, hyperbolic functions
circular cylindrical		Bessel functions, exponential functions, circular functions
conical		ellipsoidal harmonics, power
confocal ellipsoidal		ellipsoidal harmonics of the first kind
elliptic cylindrical		Mathieu function, circular functions
oblate spheroidal		Legendre polynomial, circular functions
parabolic		Bessel functions, circular functions
parabolic cylindrical		parabolic cylinder functions, Bessel functions, funkcje kołowe
paraboloidalne		funkcje kołowe
prolate sferoidalne		wielomian Legendre 'a, funkcje kołowe
sferyczne		Legendre wielomian, potęga, funkcje kołowe

równanie Laplace’ a można rozwiązać przez rozdzielenie zmiennych we wszystkich 11 układach współrzędnych, jakie może mieć równanie różniczkowe Helmholtza. Formę tych rozwiązań podsumowano w powyższej tabeli. Oprócz tych 11 układów współrzędnych, separację można osiągnąć w dwóch dodatkowych układach współrzędnych poprzez wprowadzenie czynnika mnożnikowego. W tych układach współrzędnych postać rozdzielona jest

(5)

i ustawienie

(6)

gdzie są współczynnikami skalarowymi, daje równanie Laplace ’ a

(7)

jeśli prawa strona jest równa , gdzie jest stałą i jest dowolną funkcją, a jeśli

(8)

gdzie jest wyznacznikiem Stäckela, wówczas równanie można rozwiązać za pomocą metod równania różniczkowego Helmholtza. Dwa systemy, w których jest to przypadek, są bisferyczne i toroidalne, przynosząc całkowitą liczbę układów rozdzielnych dla równania Laplace ’ a do 13 (Morse and Feshbach 1953, s. 665-666).

w dwuwymiarowych współrzędnych bipolarnych równanie Laplace ’ a jest rozdzielne, chociaż równanie różniczkowe Helmholtza nie jest.

zwillinger (1997, str. 128)

(9)

równania Laplace ’ a.