ラプラス方程式のスカラー形式は、部分微分方程式です
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(1)
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ここで、
はラプラシアンです。
演算子
は数学者によって
と書かれていることに注意してください(Krantz1999,p.16)。 ラプラス方程式はヘルムホルツ微分方程式の特殊な場合である
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(2)
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、またはポアソンの方程式
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(3)
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と
。
ベクトルラプラスの方程式は次式で与えられます
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(4)
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ラプラスの方程式を満たす関数
は高調波であると言われています。 ラプラス方程式の解は、球面上の平均値が球の中心の値に等しいという性質を持つ（ガウスの調和関数定理）。 解には極大値や極小値はありません。 ラプラス方程式は線形であるため、任意の2つの解の重ね合わせも解である。
ラプラス方程式の解は、(1)関数の値がすべての境界で指定されている場合(ディリクレ境界条件)、または(2)関数の正規導関数がすべての境界で指定されている場合(ノイマン境界条件)に一意的に決定されます。
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, 循環関数 | |
| 放物面 |  |
循環関数 |
| 長楕円体 |  |
ルジャンドル多項式、循環関数 |
| 球面 |  |
ルジャンドル多項式,べき乗,循環関数 |
ラプラス方程式は、ヘルムホルツ微分方程式ができるすべての11座標系における変数の分離によって解くことができる。 これらの解決策の形式は、上の表に要約されています。 これらの11の座標系に加えて、乗法因子を導入することによって、2つの追加の座標系で分離を達成することができる。 これらの座標系では、分離された形式は次のようになります
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(5)
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と設定
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(6)
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ここで、
はスケール係数であり、ラプラスの方程式を与える
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(7)
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右辺が
に等しい場合、
は定数であり、
は任意の関数であり、次の場合
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(8)
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ここで、
はStäckel行列式であり、この方程式はHelmholtz微分方程式の方法を使用して解くことができます。 これが当てはまる2つの系は二球型とトロイダル型であり、ラプラス方程式の分離可能な系の総数は13になる（Morse and Feshbach1953,pp.665-666）。
二次元バイポーラ座標では、ヘルムホルツ微分方程式はそうではないが、ラプラスの方程式は分離可能である。
Zwillinger(1997,p.128)calls
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(9)
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ラプラス方程式