Topologie
5.2. Kompakte und perfekte Mengen
Wir haben bereits gesehen, dass alle offenen Mengen in der reellen Linie als zählbare Vereinigung von disjunkten offenen Intervallen geschrieben werden können. Wir werden uns nun geschlossene Sets genauer ansehen. Die wichtigste Art von geschlossenen Sets in der realen Linie werden als kompakte Sets bezeichnet:
| Definition 5.2.1: Kompakte Sets | |
| Eine Menge S reeller Zahlen wird als kompakt bezeichnet, wenn jede Sequenz in S eine Teilsequenz hat, die zu einem Element konvergiert, das wiederum in S enthalten ist. | |
| Beispiele 5.2.2: | |
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Ist das Intervall kompakt ? Wie wäre es , und C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Ist C eine offene Abdeckung für S? 
= { t 
R : | t – 
| < 
und Hier ist die Charakterisierung von kompakten Sets, die nur auf offenen Sets basieren:
| Satz 5.2.6: Satz von Heine-Borel | |
Eine Menge S reeller Zahlen ist genau dann kompakt, wenn jede offene Abdeckung C von S auf eine endliche Unterabdeckung reduziert werden kann.
 Beweis |
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Kompakte Mengen teilen viele Eigenschaften mit endlichen Mengen. Wenn A und B beispielsweise zwei nicht leere Mengen mit A 
B sind, dann A 
B # 0 . Das gilt in der Tat auch für endlich viele Mengen, aber nicht für unendlich viele Mengen.
| Beispiele 5.2.7: | |
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Kompakte Sets hingegen haben die folgende nette Eigenschaft, die in einigen der folgenden Kapitel verwendet wird:
| Vorschlag 5.2.8: Schnittpunkt verschachtelter kompakter Mengen | |
| Angenommen, { Aj } ist eine Sammlung von Mengen, so dass jeder Aj nicht leer, kompakt und Aj+1 Aj . Dann ist A = Aj nicht leer.
Beweis |
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Eine weitere interessante Sammlung geschlossener Sets sind die Perfect Sets:
| Definition 5.2.9: Perfekter Satz | |
| Eine Menge S ist perfekt, wenn sie geschlossen ist und jeder Punkt von S ein Akkumulationspunkt von S ist. | |
| Beispiel 5.2.10: | |
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{0} ? Als Anwendung des obigen Ergebnisses werden wir sehen, dass perfekte Mengen geschlossene Mengen sind, die viele Punkte enthalten:
| Satz 5.2.11: Vollkommene Mengen sind unzählbar | |
| Jede nicht leere perfekte Menge muss unzählbar sein.
Beweis |
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Dies kann einen schnellen, aber ziemlich ausgeklügelten Beweis dafür liefern, dass das Intervall unzählig ist: Das Intervall ist eine perfekte Menge, daher muss es unzählig sein.
Ein weiteres, eher eigenartiges Beispiel für ein geschlossenes, kompaktes und perfektes Set ist das Cantor Set.
| Definition 5.2.12: Cantor Mittleres Drittel | |
Beginnen Sie mit dem Einheitsintervall
Entfernen Sie von diesem Satz das mittlere Drittel und setzen Sie
Entfernen Sie von diesem Satz die beiden mittleren Drittel und setzen Sie
Fahren Sie auf diese Weise fort, wobei
Dann ist die Kantormenge C definiert als
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Die Cantor-Menge gibt einen Hinweis auf die komplizierte Struktur geschlossener Mengen in der realen Linie. Es hat folgende Eigenschaften:
| Beispiel 5.2.13: Eigenschaften des Cantor-Sets | |
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Denken Sie an dieses Set. Es scheint überraschend, dass
- eine Menge der Länge Null unzählige Punkte enthalten kann.
- Eine perfekte Menge muss keine offene Menge enthalten
Daher zeigt die Cantor-Menge, dass geschlossene Teilmengen der reellen Linie komplizierter sein können, als es die Intuition zunächst vermuten lässt. Es wird in der Tat oft verwendet, um schwierige, kontraintuitive Objekte in der Analyse zu konstruieren.