Die skalare Form der Laplace-Gleichung ist die Partialdifferentialgleichung
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wobei 
der Laplace ist.
Beachten Sie, dass der Operator 
von Mathematikern üblicherweise als 
geschrieben wird (Krantz 1999, S. 16). Die Laplace-Gleichung ist ein Sonderfall der Helmholtz-Differentialgleichung
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mit 
oder Poisson-Gleichung
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mit 
.
Die Vektorgleichung von Laplace ist gegeben durch
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Eine Funktion 
, die die Laplace-Gleichung erfüllt, wird als harmonisch bezeichnet. Eine Lösung der Laplace-Gleichung hat die Eigenschaft, dass der Durchschnittswert über eine sphärische Oberfläche gleich dem Wert in der Mitte der Kugel ist (Satz der harmonischen Funktion von Gauß). Lösungen haben keine lokalen Maxima oder Minima. Da die Laplace-Gleichung linear ist, ist auch die Überlagerung zweier beliebiger Lösungen eine Lösung.
Eine Lösung der Laplace-Gleichung ist eindeutig bestimmt, wenn (1) der Wert der Funktion an allen Grenzen angegeben ist (Dirichlet-Randbedingungen) oder (2) die normale Ableitung der Funktion an allen Grenzen angegeben ist (Neumann-Randbedingungen).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, zirkuläre Funktionen | |
| parabolisch |  |
zirkuläre Funktionen |
| prolate sphäroidal |  |
Legendre Polynom, zirkuläre Funktionen |
| sphärisch |  |
Legendre Polynom, Potenz, Kreisfunktionen |
Die Laplace-Gleichung kann durch Trennung von Variablen in allen 11 Koordinatensystemen gelöst werden, die die Helmholtz-Differentialgleichung kann. Die Form dieser Lösungen ist in der obigen Tabelle zusammengefasst. Zusätzlich zu diesen 11 Koordinatensystemen kann durch Einführung eines multiplikativen Faktors eine Trennung in zwei weitere Koordinatensysteme erreicht werden. In diesen Koordinatensystemen ist die getrennte Form
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und einstellung
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wobei 
Skalenfaktoren sind, ergibt die Laplace-Gleichung
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(7)
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Wenn die rechte Seite gleich 
ist, wobei 
eine Konstante und 
eine beliebige Funktion ist, und wenn
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wenn 
die Stäckel-Determinante ist, kann die Gleichung mit den Methoden der Helmholtz-Differentialgleichung gelöst werden. Die beiden Systeme, in denen dies der Fall ist, sind bisphärisch und toroidal, was die Gesamtzahl der trennbaren Systeme für die Laplace-Gleichung auf 13 erhöht (Morse und Feshbach 1953, S. 665-666).
In zweidimensionalen bipolaren Koordinaten ist die Laplace-Gleichung trennbar, die Helmholtz-Differentialgleichung jedoch nicht.
Zwillinger (1997, S. 128) fordert
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die Laplace-Gleichungen.