topologia
5, 2. Kompaktit ja täydelliset joukot
olemme jo nähneet, että kaikki reaalisen rivin avoimet joukot voidaan kirjoittaa disjoint-avoimien intervallien numeroituvana liittona. Tarkastelemme nyt tarkemmin suljettuja kuvauspaikkoja. Reaalirivin tärkeimpiä suljettuja joukkoja kutsutaan kompaktijoukoiksi:
| määritelmä 5.2.1: Kompaktit sarjat | |
| joukko s todellinen määrä on nimeltään kompakti, jos jokainen sekvenssi S On subsequence, että converges on osa jälleen sisältyvät S. | |
| esimerkkejä 5.2.2: | |
|
|
onko intervalli kompakti ? Miten olisi, ja C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Onko C avoin kansi S: lle ? 
= { t 
R: | t – 
/ < 
ja tässä on kompaktien joukkojen luonnehdinta, joka perustuu vain avoimiin joukkoihin:
| lause 5.2.6: Heinen-Borelin lause | |
reaalilukujen joukko S on kompakti, jos ja vain jos jokainen S: n avoin kansi C voidaan supistaa äärelliseen alilukuun.
 todiste |
|
kompakteilla joukoilla on monia ominaisuuksia äärellisten sarjojen kanssa. Esimerkiksi jos A ja B ovat kaksi ei-tyhjää joukkoa, joiden A 
B, Niin a 
B # 0. Tämä on itse asiassa totta finitely monet asetetaan samoin, mutta ei ole totta äärettömän monta sarjaa.
| esimerkkejä 5.2.7: | |
|
|
kompakteissa sarjoissa taas on seuraava kiva ominaisuus, jota käytetään joissakin seuraavissa kappaleissa:
| ehdotus 5.2.8: sisäkkäisten kompaktien sarjojen leikkauspiste | |
| Oletetaan, että { Aj } on kokoelma joukkoja siten, että jokainen Aj ei-tyhjä, kompakti, ja Aj+1 Aj. Silloin A = Aj ei ole tyhjä.
todiste |
|
toinen mielenkiintoinen kokoelma suljettuja sarjoja ovat täydelliset sarjat:
| määritelmä 5.2.9: täydellinen sarja | |
| joukko S on täydellinen, jos se on suljettu ja jokainen S: n piste on S: N kertymäpiste. | |
| esimerkki 5.2.10: | |
|
|
{0} ? sovelluksena edellä tulos, näemme, että täydellinen sarjat ovat suljettuja sarjoja, jotka sisältävät paljon pisteitä:
| ehdotus 5.2.11: täydelliset sarjat ovat Laskemattomia | |
| jokaisen ei-tyhjän täydellisen joukon on oltava lukematon.
todiste |
|
tämä voi tuottaa nopea, mutta melko hienostunut todiste siitä, että intervalli on laskettavissa: intervalli on täydellinen joukko, joten se on laskettavissa.
toinen, melko erikoinen esimerkki suljetusta, kompaktista ja täydellisestä joukosta on Cantorin joukko.
| määritelmä 5.2.12: Cantor keskellä kolmas joukko | |
Aloita yksikkövälillä
Poista tuosta joukosta keskimmäinen kolmannes ja aseta
Poista tuosta joukosta kaksi keskimmäistä kolmannesta ja aseta
jatketaan näin, jossa
niin Cantorin joukko C määritellään seuraavasti:
|
|
Cantorin joukko antaa viitteitä suljettujen joukkojen monimutkaisesta rakenteesta reaalijonossa. Sillä on seuraavat ominaisuudet:
| esimerkki 5.2.13: Cantor-joukon ominaisuudet | |
|
|
ajattele tätä sarjaa. Tuntuu yllättävältä, että
- joukon pituus nolla voi sisältää lukemattoman monta pistettä.
- täydellisen joukon ei tarvitse sisältää avointa joukkoa
, joten Cantorin joukko osoittaa, että reaalijonon suljetut osajoukot voivat olla monimutkaisempia kuin intuitio voisi aluksi antaa ymmärtää. Sitä käytetäänkin usein analysoinnissa hankalien, vastavaikutteisten objektien rakentamiseen.