Laplacen yhtälön skalaarimuoto on osadifferentiaaliyhtälö
 |
(1)
|
missä 
on Laplasiaani.
huomaa, että operaattori 
kirjoitetaan yleisesti matemaatikkojen mukaan nimellä 
(Krantz 1999, s. 16). Laplacen yhtälö on erikoistapaus Helmholtzin differentiaaliyhtälöstä
 |
(2)
|
kanssa 
, eli Poissonin yhtälö
 |
(3)
|
kanssa 
.
vektorin Laplacen yhtälö saadaan
 |
(4)
|
funktio 
, joka täyttää Laplacen yhtälön, sanotaan olevan harmoninen. Laplacen yhtälön ratkaisulla on se ominaisuus, että pallopinnan keskiarvo on yhtä suuri kuin pallon keskipisteessä oleva arvo (Gaussin harmoninen funktiolause). Ratkaisuissa ei ole paikallisia maksimeja tai minimejä. Koska Laplacen yhtälö on lineaarinen, minkä tahansa kahden ratkaisun superpositio on myös ratkaisu.
Laplacen yhtälön ratkaisu on yksikäsitteisesti määritelty, jos (1) funktion arvo on määritelty kaikilla rajoilla (Dirichlet ’ n reunaehdot) tai (2) funktion normaali derivaatta on määritelty kaikilla rajoilla (Neumannin reunaehdot).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, ympyräfunktiot | |
| paraboloidinen |  |
ympyräfunktiot |
| prolaatti pallomainen |  |
Legendren polynomi, ympyräfunktiot |
| pallomainen |  |
Legendren polynomi, teho, pyöreät funktiot |
Laplacen yhtälö voidaan ratkaista erottamalla muuttujia Kaikissa 11 koordinaatistossa, joihin Helmholtzin differentiaaliyhtälö pystyy. Näiden ratkaisujen muoto on tiivistetty yllä olevaan taulukkoon. Näiden 11 koordinaatiston lisäksi erottelu voidaan saavuttaa kahdessa lisäkoordinaatistossa ottamalla käyttöön kertova tekijä. Näissä koordinaatistoissa erotettu muoto on
 |
(5)
|
ja asetus
 |
(6)
|
missä 
ovat mittakertoimia, saadaan Laplacen yhtälö
 |
(7)
|
jos oikea sivu on yhtä suuri kuin 
, missä 
on vakio ja 
on mikä tahansa funktio, ja jos
 |
(8)
|
missä 
on Stäckelin determinantti, voidaan yhtälö ratkaista Helmholtzin differentiaaliyhtälön menetelmillä. Kaksi järjestelmää, joissa näin on, ovat bispherical ja toroidal, jolloin Laplacen yhtälön separoituvien järjestelmien kokonaismäärä on 13 (Morse and Feshbach 1953, s.665-666).
kaksiulotteisissa bipolaarisissa koordinaatistoissa Laplacen yhtälö on separoituva, vaikka Helmholtzin differentiaaliyhtälö ei ole.
Zwillinger (1997, s. 128) kutsuu
 |
(9)
|
Laplacen yhtälöt.