La forme scalaire de l’équation de Laplace est l’équation différentielle partielle
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(1)
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où 
est le laplacien.
Notez que l’opérateur 
est couramment écrit 
par les mathématiciens (Krantz 1999, p. 16). L’équation de Laplace est un cas particulier de l’équation différentielle de Helmholtz
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(2)
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avec 
, ou l’équation de Poisson
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(3)
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avec 
.
L’équation de Laplace du vecteur est donnée par
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Une fonction 
qui satisfait l’équation de Laplace est dite harmonique. Une solution à l’équation de Laplace a la propriété que la valeur moyenne sur une surface sphérique est égale à la valeur au centre de la sphère (théorème de la fonction harmonique de Gauss). Les solutions n’ont pas de maxima ou de minima locaux. Parce que l’équation de Laplace est linéaire, la superposition de deux solutions quelconques est également une solution.
Une solution à l’équation de Laplace est déterminée de manière unique si (1) la valeur de la fonction est spécifiée sur toutes les limites (conditions aux limites de Dirichlet) ou (2) la dérivée normale de la fonction est spécifiée sur toutes les limites (conditions aux limites de Neumann).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, fonctions circulaires | |
| paraboloïdal |  |
fonctions circulaires |
| sphéroïdal prolaté |  |
Polynôme de Legendre, fonctions circulaires |
| sphériques |  |
Polynôme de Legendre, puissance, fonctions circulaires |
L’équation de Laplace peut être résolue par la séparation des variables dans les 11 systèmes de coordonnées que l’équation différentielle de Helmholtz peut. La forme que prennent ces solutions est résumée dans le tableau ci-dessus. En plus de ces 11 systèmes de coordonnées, la séparation peut être réalisée dans deux systèmes de coordonnées supplémentaires en introduisant un facteur multiplicatif. Dans ces systèmes de coordonnées, la forme séparée est
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et réglage
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où 
sont des facteurs d’échelle, donne l’équation de Laplace
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(7)
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Si le côté droit est égal à 
, où 
est une constante et 
est une fonction quelconque, et si
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où 
est le déterminant de Stäckel, alors l’équation peut être résolue en utilisant les méthodes de l’équation différentielle de Helmholtz. Les deux systèmes où c’est le cas sont bisphériques et toroïdaux, ce qui porte à 13 le nombre total de systèmes séparables pour l’équation de Laplace (Morse et Feshbach 1953, pp. 665-666).
En coordonnées bipolaires bidimensionnelles, l’équation de Laplace est séparable, bien que l’équation différentielle de Helmholtz ne l’est pas.
Zwillinger (1997, p. 128) appels
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les équations de Laplace.