Topologie
5.2. Ensembles compacts et parfaits
Nous avons déjà vu que tous les ensembles ouverts de la ligne réelle peuvent être écrits comme l’union dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. Nous allons maintenant examiner de plus près les ensembles fermés. Le type le plus important d’ensembles fermés dans la ligne réelle est appelé ensembles compacts:
| Définition 5.2.1: Ensembles Compacts | |
| Un ensemble S de nombres réels est appelé compact si chaque séquence de S a une sous-séquence qui converge à nouveau vers un élément contenu dans S. | |
| Exemples 5.2.2: | |
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L’intervalle est-il compact? Que diriez-vous, et C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Est-ce que C est une couverture ouverte pour S? 
= {t 
R: |t-
|< 
et Voici la caractérisation des ensembles compacts basés uniquement sur des ensembles ouverts:
| Théorème 5.2.6: Théorème de Heine-Borel | |
Un ensemble S de nombres réels est compact si et seulement si chaque couverture ouverte C de S peut être réduite à une sous-couverture finie.
 Épreuve |
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Les ensembles compacts partagent de nombreuses propriétés avec les ensembles finis. Par exemple, si A et B sont deux ensembles non vides avec A
B alors A
B #0. C’est, en fait, vrai aussi pour un nombre infini d’ensembles, mais ne l’est pas pour un nombre infini d’ensembles.
| Exemples 5.2.7: | |
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Les ensembles compacts, en revanche, ont la belle propriété suivante, qui sera utilisée dans certains des chapitres suivants:
| Proposition 5.2.8 : Intersection d’Ensembles Compacts Imbriqués | |
| Supposons que {Aj} est une collection d’ensembles tels que chaque Aj non vide, compact et Aj +1 Aj. Alors A = Aj n’est pas vide.
Épreuve |
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Une autre collection intéressante d’ensembles fermés sont les ensembles parfaits:
| Définition 5.2.9 : Ensemble parfait | |
| Un ensemble S est parfait s’il est fermé et que chaque point de S est un point d’accumulation de S. | |
| Exemple 5.2.10: | |
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{0} ? En application du résultat ci-dessus, nous verrons que les ensembles parfaits sont des ensembles fermés qui contiennent beaucoup de points:
| Proposition 5.2.11: Les ensembles parfaits sont innombrables | |
| Chaque ensemble parfait non vide doit être indénombrable.
Épreuve |
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Cela peut donner une preuve rapide, mais plutôt sophistiquée du fait que l’intervalle est indénombrable: l’intervalle est un ensemble parfait, par conséquent, il doit être indénombrable.
Un autre exemple assez particulier d’ensemble fermé, compact et parfait est l’ensemble de Cantor.
| Définition 5.2.12: Cantor Troisième Set du Milieu | |
Commencez par l’intervalle d’unité
Retirez de cet ensemble le tiers moyen et définissez
Retirez de cet ensemble les deux tiers moyens et définissez
Continuez de cette manière, où
Alors l’ensemble de Cantor C est défini comme
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L’ensemble de Cantor donne une indication de la structure compliquée des ensembles fermés dans la ligne réelle. Il possède les propriétés suivantes:
| Exemple 5.2.13 : Propriétés de l’ensemble de Cantor | |
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Pensez à cet ensemble. Il semble surprenant que
- un ensemble de longueur zéro puisse contenir un nombre incalculable de points.
- un ensemble parfait ne doit pas nécessairement contenir un ensemble ouvert
Par conséquent, l’ensemble de Cantor montre que les sous-ensembles fermés de la ligne réelle peuvent être plus compliqués que ce que l’intuition pourrait suggérer au début. Il est en fait souvent utilisé pour construire des objets difficiles et contre-intuitifs en analyse.