Topologia
5.2. Insiemi compatti e perfetti
Abbiamo già visto che tutti gli insiemi aperti nella linea reale possono essere scritti come unione numerabile di intervalli aperti disgiunti. Ora daremo un’occhiata più da vicino ai set chiusi. Il tipo più importante di insiemi chiusi nella linea reale sono chiamati insiemi compatti:
| Definizione 5.2.1: Compatto Set di | |
| Un insieme S di numeri reali è chiamato compatto se ogni sequenza S ha una sottosequenza che converge a un elemento nuovo contenute in S. | |
| Esempi 5.2.2: | |
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È l’intervallo compatto ? Che ne dici di, e C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. C è una copertura aperta per S ? 
= {t 
R : | t – 
| & lt 
e Ecco la caratterizzazione di set compatti basati solo su set aperti:
| Teorema 5.2.6: Teorema di Heine-Borel | |
Un insieme S di numeri reali è compatto se e solo se ogni copertina aperta C di S può essere ridotta a una sottocopertura finita.
 Prova |
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Gli insiemi compatti condividono molte proprietà con gli insiemi finiti. Ad esempio, se A e B sono due set non vuoti con A 
B, allora A 
B # 0. Questo è, infatti, vero anche per molti set finitamente, ma non è vero per infiniti set.
| Esempi 5.2.7: | |
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I set compatti, d’altra parte, hanno la seguente proprietà nice, che verrà utilizzata in alcuni dei seguenti capitoli:
| Proposizione 5.2.8: intersezione di insiemi compatti nidificati | |
| Supponiamo che { Aj} sia una raccolta di set tale che ogni Aj non sia vuoto, compatto e Aj+1 Aj. Quindi A = Aj non è vuoto.
> Prova |
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un’Altra interessante raccolta di chiuso imposta sono il perfetto set di:
| Definizione 5.2.9: Set Perfetto | |
| Un insieme S è perfetto, se è chiuso e ogni punto di S è un punto di accumulazione di S. | |
| Esempio 5.2.10: | |
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{0} ? Come applicazione del risultato di cui sopra, vedremo che gli insiemi perfetti sono insiemi chiusi che contengono molti punti:
| Proposizione 5.2.11: Gli insiemi perfetti non sono numerabili | |
| Ogni set perfetto non vuoto deve essere numerabile.
Prova |
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Questo può produrre una prova rapida, ma piuttosto sofisticata del fatto che l’intervallo è innumerevoli: l’intervallo è un insieme perfetto, quindi, deve essere innumerevoli.
Un altro esempio piuttosto particolare di un insieme chiuso, compatto e perfetto è l’insieme Cantor.
| Definizione 5.2.12: Cantor Metà Terzo Set | |
Iniziare con l’intervallo unitario
Rimuovere dal set di terza media e set
Rimuovere dal set le due metà terzi e set
Continuare in questo modo, dove
Quindi l’insieme di Cantor C è definito come
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insieme di Cantor dà un’indicazione della struttura complessa di chiuso imposta nella linea reale. Essa ha le seguenti proprietà:
| Esempio 5.2.13: le Proprietà dell’Insieme di Cantor | |
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Pensa a questo set. Sembra sorprendente che
- un insieme di lunghezza zero possa contenere innumerevoli punti.
- un set perfetto non deve contenere un set aperto
Pertanto, il set di Cantor mostra che sottoinsiemi chiusi della linea reale possono essere più complicati di quanto l’intuizione possa inizialmente suggerire. È infatti spesso usato per costruire oggetti difficili e contro-intuitivi nell’analisi.