scalare forma di equazione di Laplace è il partialdifferential equazione
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dove 
è il Laplaciano.
Si noti che l’operatore
è comunemente scritto come
dai matematici (Krantz 1999, p. 16). Equazione di Laplace è un caso particolare dell’equazione di Helmholtz
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con 
, o l’equazione di Poisson
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con 
.
L’equazione di Laplace vettoriale è data da
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Si dice che una funzione 
che soddisfa l’equazione di Laplace sia armonica. Una soluzione all’equazione di Laplace ha la proprietà che il valore medio su una superficie sferica è uguale al valore al centro della sfera (teorema della funzione armonica di Gauss). Le soluzioni non hanno massimi o minimi locali. Poiché l’equazione di Laplace è lineare, anche la sovrapposizione di due soluzioni qualsiasi è una soluzione.
Una soluzione all’equazione di Laplace è determinata in modo univoco se (1) il valore della funzione è specificato su tutti i confini (condizioni al contorno di Dirichlet) o (2) la derivata normale della funzione è specificata su tutti i confini (condizioni al contorno di Neumann).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, funzioni circolari | |
| paraboloidal |  |
funzioni circolari |
| prolato sferoidale |  |
il polinomio di Legendre, funzioni circolari |
| sferica |  |
il polinomio di Legendre, potenza, funzioni circolari |
equazione di Laplace può essere risolto mediante separazione di variabili in tutti e 11 i sistemi di coordinate che Helmholtz equazione differenziale può. La forma che queste soluzioni assumono è riassunta nella tabella sopra. Oltre a questi 11 sistemi di coordinate, la separazione può essere ottenuta in due sistemi di coordinate aggiuntive introducendo un fattore moltiplicativo. In questi sistemi di coordinate, la separazione di forma è
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e impostazione
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dove 
sono fattori di scala, dà l’equazione di Laplace
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Se il lato destro è uguale a 
, dove 
è una costante e 
qualsiasi funzione, e se
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dove 
è il Stäckel determinante, quindi l’equazione può essere risolta usando i metodi di Helmholtz equazione differenziale. I due sistemi in cui questo è il caso sono bisferici e toroidali, portando il numero totale di sistemi separabili per l’equazione di Laplace a 13 (Morse e Feshbach 1953, pp. 665-666).
In coordinate bipolari bidimensionali, l’equazione di Laplace è separabile, sebbene l’equazione differenziale di Helmholtz non lo sia.
Zwillinger (1997, p. 128) chiama
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le equazioni di Laplace.